Vì \({d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}\) nên AB cắt (P) tại điểm I \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 4; - 1;3} \right)\\I\left( { - 1;2;0} \right)\end{array} \right.\)

Vì có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gắp 3 lần khoảng cách từ B đến (P) nên I, C, D thẳng hàng hay \(D = IC \cap (\alpha )\)

+ Nếu \(I\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right. \)

Thay các tọa độ trên vào phương trình \((\alpha) \) ta được:

$3\left( {2 + 6t} \right) + 4t + 5\left( {1 - 2t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 12t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

\(\Rightarrow D\left( { - 4; - 1;3} \right)\) ( thỏa mãn )

+ Nếu \(I( - 1;2;0) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right. \)

Thay các tọa độ trên vào phương trình \((\alpha) \) ta được:

$3\left( {2 + 3t} \right) + 4.(-2t) + 5\left( {1 +t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

\(\Rightarrow D\left( { - 4;4; - 1} \right)\) ( loại)

Vậy \(D\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 16 + 1 + 9 = 26\)