Giải toán 10, giải bài tập toán lớp 10 đầy đủ đại số và hình học
Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình.
Bài 10 trang 107 SGK Đại số 10
Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho \(a>0, \, b>0\). Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b. \)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.
Lời giải chi tiết
Cách 1: Sử dụng BĐT Cô - si:
Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương:
Cách 3: Đặt ẩn phụ kết hợp BĐT Cô - si
Đặt \(x=\sqrt a, y = \sqrt b\) (với \(x>0\) và \(y>0\)) ta được:
\({a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y}; \, \, {b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}\)
Suy ra: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} \)\(= {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\) (1)
Mà \(x^2+y^2≥ 2xy\) (Bất đẳng thức Cô-si)
Nên \(x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔\) \({{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\)
Do đó (1) \({{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\)
\(⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \,(đpcm).\)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 11 trang 107 SGK Đại số 10
- Bài 12 trang 107 SGK Đại số 10
- Bài 13 trang 107 SGK Đại số 10
- Bài 14 trang 107 SGK Đại số 10
- Bài 15 trang 108 SGK Đại số 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
