Cách tìm toạ độ trung điểm của đoạn thẳng trong không gian - Toán 12

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\).

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

Nếu đề bài cho toạ độ trung điểm \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) của đoạn thẳng AB và điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), ta tìm được điểm \(B\left( {2{x_I} - {x_A};2{y_I} - {y_A};2{z_I} - {z_A}} \right)\).

1) Cho hai điểm M(5;2;-3) và N(1;-4;5). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng MN.

Giải:

Ta có \(I\left( {\frac{{5 + 1}}{2};\frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2};\frac{{\left( { - 3} \right) + 5}}{2}} \right) \Leftrightarrow I\left( {3; - 1;1} \right)\).

2) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;3;-5), \(M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)\). Tìm toạ độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Giải:

Ta có toạ độ điểm M là trung điểm của AB nên:

\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)

Từ đó, toạ độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:

\({x_B} = 2{x_M} - {x_A}\), \({y_B} = 2{y_M} - {y_A}\), \({z_B} = 2{z_M} - {z_A}\).

Thay toạ độ của điểm A, M vào:

\({x_B} = 2.\frac{3}{2} - 1 = 2\), \({y_B} = 2 \times 2 - 3 = 1\), \({z_B} = 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - ( - 5) = 4\).

Vậy toạ độ điểm B là B(2;1;4).