Từ điển Toán 12 | Các dạng bài tập Toán 12 Hệ trục tọa độ trong không gian - Toán 12

Cách tìm toạ độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành trong không gian - Toán 12

1. Cách tìm toạ độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành trong không gian

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).

Để ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} - {x_A} = {x_C} - {x_D}}\\{{y_B} - {y_A} = {y_C} - {y_D}}\\{{z_B} - {z_A} = {z_C} - {z_D}}\end{array}} \right.\).

Thay toạ độ ba điểm đã biết, ta tìm được toạ độ điểm còn lại.

Lưu ý: Ta có thể giải \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) hoặc \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \).

2. Ví dụ minh hoạ

1) Hình bình hành ABCD có A(1;0;3), B(2;3;-4), C(-3;1;2). Tìm toạ độ điểm D.

Giải:

\(\overrightarrow {AB} = (2 - 1;3 - 0; - 4 - 3) = (1;3; - 7)\); \(\overrightarrow {DC} = ( - 3 - {x_D};1 - {y_D};2 - {z_D})\).

ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), hay \(( - 3 - {x_D};1 - {y_D};2 - {z_D}) = (1,3, - 7)\).

Giải hệ phương trình:

\( - 3 - {x_D} = 1 \Rightarrow {x_D} =  - 4\);

\(1 - {y_D} = 3 \Rightarrow {y_D} =  - 2\);

\(2 - {z_D} =  - 7 \Rightarrow {z_D} = 9\).

Vậy D(-4;-2;9).

2) Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), và D(1;-1;1). Toạ độ điểm C là (a;b;c). Tính tổng a + b + c.

Giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = (a - 1;b + 1c - 1)\) và \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 = 1}\\{b + 1 = 1}\\{c - 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 0}\\{c = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó a + b + c = 2 + 0 + 2 = 4.