Cách tìm toạ độ vecto vuông góc với hai vecto cho trước trong không gian - Toán 12

Trong toán học, hai vecto được gọi là vuông góc khi góc giữa chúng là 90 độ. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của chúng bằng 0.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a \left( {{x_a};{y_a};{z_a}} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {{x_b};{y_b};{z_b}} \right)\).

Để tìm toạ độ vecto \(\overrightarrow c \) vuông góc với hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), ta tính tích có hướng của hai vecto trên.

\(\overrightarrow c  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_a}}&{{z_a}}\\{{y_b}}&{{z_b}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_a}}&{{x_a}}\\{{z_b}}&{{x_b}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_a}}&{{y_a}}\\{{x_b}}&{{y_b}}\end{array}} \right|} \right)\)

\( = \left( {{y_a}{z_b} - {y_b}{z_a};{z_a}{x_b} - {z_b}{x_a};{x_a}{y_b} - {x_b}{y_a}} \right)\).

Ví dụ minh hoạ:

Cho hai vecto \(\vec u= \left( {3; - 2;5} \right)\) và \(\vec v= \left( {1;1;5} \right)\). Hãy chỉ ra toạ độ của một vecto \(\overrightarrow {\rm{w}} \) vuông góc với cả hai vecto \(\vec u\) và \(\vec v\).

Giải:

\(\overrightarrow {\rm{w}} = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left( { - 2} \right).5 - \left( { - 5} \right).1;\left( { - 5} \right).1 - 3.5;3.1 - \left( { - 2} \right).1} \right) = \left( { - 5; - 20;5} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {\rm{w}} = \left( { - 5; - 20;5} \right)\) vuông góc với cả hai vecto \(\vec u\) và \(\vec v\).