Nguyên hàm - Từ điển môn Toán 12 1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
- Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cùng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
- Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (gọi là họ các nguyên hàm của f(x) trên K), với C là hằng số.
Ta viết \(\int {f(x)dx} = F(x) + C\).
2. Ví dụ minh hoạ về nguyên hàm
1) Tìm \(\int {{x^2}dx} \) trên \(\mathbb{R}\).
Vì \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)' = {x^2}\) với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\) nên \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3}\) là một nguyên hàm của \({x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).
Vậy \(\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) trên \(\mathbb{R}\).
2) Tìm \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \) trên \((0;\pi )\).
Vì \(\left( { - \cot x} \right)' = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) với mọi x thuộc \((0;\pi )\) nên \(F(x) = - \cot x\) là một nguyên hàm của \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) trên \((0;\pi )\).
Vậy \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\) trên \((0;\pi )\).
