Các tính chất cơ bản của nguyên hàm - Toán 12

Ta có các tính chất cơ bản sau:

+ \(\int {kf(x)dx}  = k\int {f(x)dx} \) \((k \in \mathbb{R},k \ne 0)\);

+ \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx}  = \int {f(x)dx}  + \int {g(x)dx} \);

+ \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}  = \int {f(x)dx}  - \int {g(x)dx} \).

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = 3{x^2} + x\);

b) \(f(x) = 9{x^2} - 2x + 7\);

c) \(f(x) = \smallint (4x - 3)({x^2}+ 3)dx\);

d) \(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx} \);

e) \(\int {{2^{2x + 1}}dx} \).

Giải:

a) \(\int {f(x)} dx = \int {(3{x^2} + x)dx}  = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).

b) \(\int {f(x)} dx = \int {(9{x^2} - 2x + 7)dx}  = 3{x^3} - {x^2} + 7x + C\).

c) \(\int {f(x)} dx = \int {(4x - 3)({x^2}+ 3)dx}  = (4{x^3} - 3{x^2} + 12x - 9)dx  \)

\(= {x^4} - {x^3} + 6{x^2} - 9x + C\).

d) \(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx}  =  - \frac{1}{4}\int {\cos xdx}  =  - \frac{1}{4}\sin x + C\).

e) \(\int {{2^{2x + 1}}dx} = 2\int {{{\left( {{2^2}} \right)}^x}dx} = 2\int {{4^x}dx} = 2\int {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C = \frac{{{4^x}}}{{\ln 2}} + C} \).