Cách tính độ dài vecto trong không gian bằng phương pháp toạ độ - Toán 12

* Vecto \(\overrightarrow a \left( {{x_a};{y_a};{z_a}} \right)\) có độ dài là: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} \).

Lưu ý: \({\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = {\overrightarrow u ^2}\).

* Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\). Độ dài vecto \(\overrightarrow {AB} \) hay khoảng cách từ A đến B là: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

1) Tính độ dài của vecto \(\vec u= \left( {1;2;2} \right)\).

Giải:

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3\).

2) Cho hai vecto \(\vec u= \left( {2; - 1;2} \right)\), \(\vec v\) thoả mãn \(\left| {\vec v} \right| = 1\) và \(\left| {\vec u- \vec v} \right| = 4\). Tính độ dài của vecto \(\vec u+ \vec v\).

Giải:

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} = 3\).

\({\left| {\vec u- \vec v} \right|^2} = {\left| {\vec u} \right|^2} - 2.\vec u.\vec v+ {\left| {\vec v} \right|^2} \Leftrightarrow {4^2} = {3^2} - 2.\vec u.\vec v+ {1^2} \Leftrightarrow \vec u.\vec v =  - 3\).

\({\left( {\vec u+ \vec v} \right)^2} = {\left| {\vec u} \right|^2} + 2.\vec u.\vec v+ {\left| {\vec v} \right|^2} = {3^2} + 2.\left( { - 3} \right) + {1^2} = 4 \Rightarrow \left| {\vec u+ \vec v} \right| = \sqrt 4 = 2\).

3) Tính độ dài vecto \(\overrightarrow {IK} \) với I(2;-3;-4) và K(7;-3;8).

Giải:

\(\left| {\overrightarrow {IK} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 2} \right)}^2} + {{\left( {\left( { - 3} \right) - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( {8 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = 13\).