Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên \(n\) có 4 chữ số thỏa mãn \({\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\). Số phần tử của \(S\) là:
-
A.
\(8999\)
-
B.
\(2019\)
-
C.
\(1010\)
-
D.
\(7979\)
- Lấy \(\ln\) hai vế bất phương trình.
- Biến đổi và xét hàm đặc trưng, chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên các khoảng xác định của nó.
- Dựa vào điều kiện đề bài chặn khoảng giá trị của \(f(n)\), từ đó đếm số giá trị \(n\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < \ln {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right) < n\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right)}}{n} < \dfrac{{\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)}}{{2020}}\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{x}\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{\left( {{2^x} + {3^x}} \right)'}}{{{2^x} + {3^x}}}.x - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3} \right)x - \left( {{2^x} + {3^x}} \right).\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\ln 2.x - {2^x}\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right) + {3^x}\ln 3.x - {3^x}\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\left( {x\ln 2 - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right) + {3^x}\left( {x\ln 3 - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\left[ {\ln {2^x} - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right] + {3^x}\left[ {\ln {3^x} - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right]}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow \ln {2^x} < \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)\\{3^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow \ln {3^x} < \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \({\mathbb{N}^*}\).
Lại có: \(f\left( n \right) < f\left( {2020} \right) \Leftrightarrow n > 2020\).
Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(2020 < n \le 9999,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy có \(\dfrac{{9999 - 2021}}{1} + 1 = 7979\) giá trị của \(n\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}}$. Hỏi khẳng định nào sau đây là sai?
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({5^{x + 1}} - \dfrac{1}{5} > 0\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({5^x} < 7 - 2x\)
Tập hợp nghiệm của bất phương trình: ${3^{3x - 2}} + \dfrac{1}{{{{27}^x}}} \le \dfrac{2}{3}$ là:
Nghiệm của bất phương trình \({e^x} + {e^{ - x}} < \dfrac{5}{2}\) là
Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${7^x} \ge 10-3x$
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \ge 2\).
Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${2^{x - 1}} > {\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$ .
Bất phương trình \({\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 2x}} \le {\left( {\sqrt 2 } \right)^3}\) có tập nghiệm là:
Bất phương trình \({\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} > {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{x + 2}}\) có tập nghiệm là:
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{x - 2}}\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09\)
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \dfrac{1}{{125}}\)
Cho hàm số $f\left( x \right) = {5^x}{.9^{{x^3}}}$, chọn phép biến đổi sai khi giải bất phương trình:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1\) là:
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{\sqrt {2x} + 1}} - {3^{x + 1}} \le {x^2} - 2x\) là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình \(f\left( x \right) < {e^x} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi:
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({4^x} - {5.2^x} + 4 < 0\) là:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {{3^{{x^2} - x}} - 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - m} \right) \le 0\) có 5 nghiệm nguyên?
Cho \(x;y\) là hai số thực dương thỏa mãn \(x \ne y\) và \({\left( {{2^x} + \dfrac{1}{{{2^x}}}} \right)^y} < {\left( {{2^y} + \dfrac{1}{{{2^y}}}} \right)^x}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{xy - {y^2}}}\).
