Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - wz - 4} \right|\) bằng:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(2\left( {\sqrt {29} - 3} \right)\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(2\left( {\sqrt {29} - 5} \right)\)
Theo bài ra ta có :
+) \(\left| z \right| = 2 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \({I_1}\left( {0;0} \right)\) bán kính \({R_1} = 2\).
\(\left| i \right|\left| {w - \dfrac{{2 - 5i}}{i}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( { - 5 - 2i} \right)} \right| = 1\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \({I_2}\left( { - 5; - 2} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\).
Đặt \(T = \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - w - \overline z } \right| = 2\left| {z - w - \overline z } \right|\)
Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a - bi \Rightarrow z - \overline z = 2bi\).
\( \Rightarrow T = 2\left| {2bi - w} \right|\).
Gọi \(M\left( {0;2b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(2bi\), \(N\) là điểm biểu diễn số phức \(w\).
\( \Rightarrow T = 2M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N_{\min }}\).
Do \(\left| z \right| = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4 \Leftrightarrow - 2 \le b \le 2 \Leftrightarrow - 4 \le 2b \le 4\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đoạn \(AB\) với \(A\left( { 0;-4} \right),\,\,B\left( {0;4} \right)\).
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{N_{\min }} = 4 \Leftrightarrow N\left( { - 4; - 2} \right),M\left( {0; - 2} \right)\).
Vậy \({T_{\min }} = 2.4 = 8\).
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Với hai số phức bất kì ${z_1},{z_2}$ , khẳng định nào sau đây đúng:
Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 + 2i} \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của\(\left| z \right|\)
Cho số phức $z$ thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = 1\). Số phức \(z - i\) có mô đun nhỏ nhất là:
Xác định số phức \(z\) thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = \sqrt 2 \) mà \(|z|\) đạt giá trị lớn nhất.
Cho số phức \(z\) có \(|z| = 2\) thì số phức \(w = z + 3i\) có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là
Cho số phức \(z\) thoả \(|z - 3 + 4i| = 2\) và \(w = 2z + 1 - i\). Khi đó \(|w|\) có giá trị lớn nhất là:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|{z^2} - i| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(|\bar z|\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(|z - 1 - 2i| = 4\). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(|z + 2 + i|\). Tính \(S = {M^2} + {m^2}\).
Cho số phức \(z\) có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng \(3x - 4y - 3 = 0\), $\left| z \right|$ nhỏ nhất bằng.
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:
Cho \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(|{z_1} - {z_2}| = 1\) và \(|{z_1} + {z_2}| = 3\). Tính \(\max T = |{z_1}| + |{z_2}|\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1| = 1\).
Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1| = 1\).
Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\) , gọi \({z_0}\) là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Xét các số phức \(z,\,{\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {\rm{w}} \right| = 2.\) Khi \(\left| {z + i\,\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z - {\rm{w}}} \right|\) bằng?
