Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Gọi \(z = a + bi\), thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ \(a,b\).
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ để đánh giá \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Giả sử \(z = a + bi\), theo giả thiết ta có
\(|a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} = 10\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
\(10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \le \sqrt {({1^2} + {1^2})[{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}]} \) \( = \sqrt {2.[2{a^2} + 2{b^2} + 18]} = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \)
Suy ra \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \ge 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\)
Do đó \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4\)
Đáp án : B
- Xác định sai mô đun số phức.
- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Cách hình học:
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z\), \(A\left( { - 3;0} \right)\) biểu diễn số phức \( - 3\), \(B\left( {3;0} \right)\) biểu diễn số phức \(3\).
Khi đó \(\left| {z + 3} \right| + \left| {z - 3} \right| = 10 \Leftrightarrow MA + MB = 10 = 2.5\) nên tập hợp điểm biểu diễn \(z\) là elip \(\left( E \right)\) có \(c = 3,a = 5 \Rightarrow b = 4\) \( \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{16} = 1\).
Vẽ elip trên mặt phẳng tọa độ và suy ra GTNN của \(\left| z \right|=OM\). Vì M thuộc Elip trên nên khoảng cách OM nhỏ nhất bằng \(b=4\).
Danh sách bình luận