Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1| = 1\).
-
A.
\(\sqrt 2 \)
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Gọi \(z = x + yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).
Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTLN.
Có \(\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} = - i\). Đặt \(z = x + yi\) thì
\(\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 = - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi\)
Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành \({(y + 1)^2} + {x^2} = 1\)
Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*) có tâm $I\left( {0, - 1} \right)$, bán kính bằng $1$.
Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để $OM$ lớn nhất.
Vì \(O\) nằm trên đường tròn nên $OM$ lớn nhất khi $OM$ là đường kính của (*) \( \Leftrightarrow \) $I$ là trung điểm của $OM$ \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2{x_I}}&{}\\{y = 2{y_I}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}&{}\\{y = - 2}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)\). Suy ra \(z = - 2i \Leftrightarrow |z| = 2\)
Vậy $\max \left| z \right| = 2$
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Với hai số phức bất kì ${z_1},{z_2}$ , khẳng định nào sau đây đúng:
Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 + 2i} \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của\(\left| z \right|\)
Cho số phức $z$ thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = 1\). Số phức \(z - i\) có mô đun nhỏ nhất là:
Xác định số phức \(z\) thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = \sqrt 2 \) mà \(|z|\) đạt giá trị lớn nhất.
Cho số phức \(z\) có \(|z| = 2\) thì số phức \(w = z + 3i\) có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là
Cho số phức \(z\) thoả \(|z - 3 + 4i| = 2\) và \(w = 2z + 1 - i\). Khi đó \(|w|\) có giá trị lớn nhất là:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|{z^2} - i| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(|\bar z|\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(|z - 1 - 2i| = 4\). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(|z + 2 + i|\). Tính \(S = {M^2} + {m^2}\).
Cho số phức \(z\) có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng \(3x - 4y - 3 = 0\), $\left| z \right|$ nhỏ nhất bằng.
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:
Cho \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(|{z_1} - {z_2}| = 1\) và \(|{z_1} + {z_2}| = 3\). Tính \(\max T = |{z_1}| + |{z_2}|\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1| = 1\).
Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\) , gọi \({z_0}\) là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - wz - 4} \right|\) bằng:
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Xét các số phức \(z,\,{\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {\rm{w}} \right| = 2.\) Khi \(\left| {z + i\,\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z - {\rm{w}}} \right|\) bằng?
