Giải phương trình: \(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\) ta được các nghiệm là \({x_1};{x_2}\) với \({x_1} < {x_2}\) . Tính \(3{x_1} - {x_2}.\)
-
A.
\(\dfrac{{25}}{3}\)
-
B.
\( - 1\)
-
C.
\( - \dfrac{7}{3}\)
-
D.
\(1\)
+ Tìm ĐKXĐ
+ Nhận thấy \(x = - 2\) không là nghiệm nên ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\) , khi đó xuất hiện các hạng tử giống nhau, đặt ẩn phụ, tìm đk của ẩn phụ rồi giải phương trình nhận được.
+ Thay giá trị của ẩn phụ vào cách đặt ta tìm được ẩn ban đầu.
+ Đối chiếu đk rồi kết luận nghiệm.
ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\) .
Ta có:
\(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\)
\(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} + 48.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} = 0\)
Với \(x = - 2\) ta có phương trình \(20.{\left( {\dfrac{{ - 4}}{{ - 1}}} \right)^2} = 0\) vô lý \(x = - 2\) không là nghiệm của phương trình.
Lại có với \(x \ne 1;\,\,x \ne - 2\) thì \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\), ta được:
\(20{\left[ {\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} + 48\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5 = 0\)
Đặt \(t = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) , ta có
\(20{t^2} + 48t - 5 = 0 \\20{t^2} + 50t - 2t - 5 = 0\\10t\left( {2t + 5} \right) - \left( {2t + 5} \right) = 0 \\\left( {2t + 5} \right)\left( {10t - 1} \right) = 0\)
\(+)\,2t + 5 = 0\\t = - \dfrac{5}{2}\)
\(+)\,10t - 1 = 0\\t = \dfrac{1}{{10}}\)
Với \(t = - \dfrac{5}{2}\) ta có:
$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = - \dfrac{5}{2}\\2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = - 5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\2{x^2} - 6x + 4 = - 5{x^2} - 15x - 10\\7{x^2} + 9x + 14 = 0\\7\left( {{x^2} + 2.\dfrac{9}{{14}}x + \dfrac{{81}}{{196}}} \right) - \dfrac{{81}}{{28}} + 14 = 0\\7{\left( {x + \dfrac{9}{{14}}} \right)^2} + \dfrac{{311}}{{28}} = 0\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array}$
Với \(t = \dfrac{1}{{10}}\) ta có:
\(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{10}}\\10\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\\9{x^2} - 33x + 18 = 0\\3{x^2} - 11x + 6 = 0\\\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
\(+)\,3x - 2 = 0\\x = \dfrac{2}{3}(TM)\)
\(+)\,x - 3 = 0\\x = 3(TM)\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {3;\,\,\dfrac{2}{3}} \right\}\)
Từ giả thiết suy ra
\({x_1} = \dfrac{2}{3};{x_2} = 3 \\3{x_1} - {x_2} = - 1.\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn câu sai:
Một nhóm bạn trẻ cùng tham gia khởi nghiệp và dự định góp vốn là 240 triệu đồng, số tiền góp mỗi người là như nhau. Nếu có thêm 2 người tham gia cùng thì số tiền mỗi người góp giảm đi 4 triệu đồng. Hỏi nhóm bạn trẻ đó có bao nhiêu người?
Tìm điều kiện xác định của phương trình:\(\begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{{4{x^2} - 8x + 7}} + \dfrac{{3x}}{{4{x^2} - 10x + 7}} = 1\\\end{array}\)
Tổng các nghiệm của phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}\) là
Tích các nghiệm của phương trình: \(\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 2{x^2}\) là
Giải các phương trình
a) \(\left( {3x + 5} \right)\left( {\frac{{12}}{5} - 2x} \right) = 0\)
b) \({\left( {7x - 1} \right)^2} = 4{\left( {1 - 2x} \right)^2}\)
c) \(\frac{{2{x^2}}}{{4x + 3}} - \frac{{4x - 3}}{8} = 1\)
d) \(\frac{x}{{{x^2} + 4x - 5}} - \frac{2}{{x - 1}} = 0\)
