Đề bài

Giải phương trình: \(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\)  ta được các nghiệm là \({x_1};{x_2}\)  với \({x_1} < {x_2}\) . Tính \(3{x_1} - {x_2}.\)

  • A.

    \(\dfrac{{25}}{3}\)                                

  • B.

    \( - 1\)                         

  • C.

    \( - \dfrac{7}{3}\)                              

  • D.

    \(1\)

Phương pháp giải

+ Tìm ĐKXĐ

+ Nhận thấy \(x =  - 2\) không là nghiệm nên ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\) , khi đó xuất hiện các hạng tử giống nhau, đặt ẩn phụ, tìm đk của ẩn phụ rồi giải phương trình nhận được.

+ Thay giá trị của ẩn phụ vào cách đặt ta tìm được ẩn ban đầu.

+ Đối chiếu đk rồi kết luận nghiệm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\) .

Ta có:

\(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\)

\(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} + 48.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} = 0\)

Với \(x =  - 2\) ta có phương trình \(20.{\left( {\dfrac{{ - 4}}{{ - 1}}} \right)^2} = 0\) vô lý \(x =  - 2\) không là nghiệm của phương trình.

Lại có với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 2\) thì \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\), ta được:

\(20{\left[ {\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} + 48\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5 = 0\)

Đặt \(t = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) , ta có

\(20{t^2} + 48t - 5 = 0 \\20{t^2} + 50t - 2t - 5 = 0\\10t\left( {2t + 5} \right) - \left( {2t + 5} \right) = 0 \\\left( {2t + 5} \right)\left( {10t - 1} \right) = 0\)

\(+)\,2t + 5 = 0\\t =  - \dfrac{5}{2}\)

\(+)\,10t - 1 = 0\\t = \dfrac{1}{{10}}\)

Với \(t =  - \dfrac{5}{2}\) ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \dfrac{5}{2}\\2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) =  - 5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\2{x^2} - 6x + 4 =  - 5{x^2} - 15x - 10\\7{x^2} + 9x + 14 = 0\\7\left( {{x^2} + 2.\dfrac{9}{{14}}x + \dfrac{{81}}{{196}}} \right) - \dfrac{{81}}{{28}} + 14 = 0\\7{\left( {x + \dfrac{9}{{14}}} \right)^2} + \dfrac{{311}}{{28}} = 0\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array}$

Với \(t = \dfrac{1}{{10}}\) ta có:

\(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{10}}\\10\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\\9{x^2} - 33x + 18 = 0\\3{x^2} - 11x + 6 = 0\\\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(+)\,3x - 2 = 0\\x = \dfrac{2}{3}(TM)\)

\(+)\,x - 3 = 0\\x = 3(TM)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {3;\,\,\dfrac{2}{3}} \right\}\)

Từ giả thiết suy ra

\({x_1} = \dfrac{2}{3};{x_2} = 3 \\3{x_1} - {x_2} =  - 1.\)

Đáp án : B

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Chọn câu sai:

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Một nhóm bạn trẻ cùng tham gia khởi nghiệp và dự định góp vốn là 240 triệu đồng, số tiền góp mỗi người là như nhau. Nếu có thêm 2 người tham gia cùng thì số tiền mỗi người góp giảm đi 4 triệu đồng. Hỏi nhóm bạn trẻ đó có bao nhiêu người?

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Tìm điều kiện xác định của phương trình:\(\begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{{4{x^2} - 8x + 7}} + \dfrac{{3x}}{{4{x^2} - 10x + 7}} = 1\\\end{array}\)

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Tổng các nghiệm của phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}\)  là

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Tích các nghiệm của phương trình: \(\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 2{x^2}\) là

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Giải các phương trình

a) \(\left( {3x + 5} \right)\left( {\frac{{12}}{5} - 2x} \right) = 0\)

b) \({\left( {7x - 1} \right)^2} = 4{\left( {1 - 2x} \right)^2}\)

c) \(\frac{{2{x^2}}}{{4x + 3}} - \frac{{4x - 3}}{8} = 1\)

d) \(\frac{x}{{{x^2} + 4x - 5}} - \frac{2}{{x - 1}} = 0\)

Xem lời giải >>
Bài 7 : Một cái sân hình chữ nhật có độ dài của một cạnh như hình vẽ. Ở góc sân, người ta làm một cái bồn hoa hình tròn có bán kính \(x\) mét (\(x > 0\)). Biết vòng tròn tiếp xúc với 2 cạnh của hình chữ nhật và khoảng cách từ cạnh (chiều dài) của hình chữ nhật đến đường tròn là 2 mét (xem hình minh họa). (lấy \(\pi  = 3,14\)).

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích đất còn lại sau khi đã xây bồn hoa.

b) Hãy tính bán kính của bồn hoa hình tròn biết diện tích đất còn lại sau khi xây bồn hoa là \(54,71{m^2}\).

 

Xem lời giải >>