Gọi \({x_1};\,{x_2}\) lần lượt là các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \(\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\). Tính tổng \(S = 2{x_1} + {x_2}\).
-
A.
\(S = - \frac{\pi }{2}\).
-
B.
\(S = \frac{\pi }{2}\).
-
C.
\(S = \pi \).
-
D.
\(S = 2\pi \).
Biến đổi phương trình về phương trình dạng tích
\(\begin{array}{l}\tan x + \cot x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x + }}{{\cos }^2}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\cos x}} = \frac{2}{{\sin 2x}}\\{\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1\end{array}\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\)
\(\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) \Leftrightarrow \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x + }}{{\cos }^2}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\cos x}} = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) \Leftrightarrow \frac{2}{{\sin 2x}} = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 1 = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x - \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)
Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{8}; - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{4}} \right\} \Rightarrow {x_1} = - \frac{{3\pi }}{8},\,\,{x_2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow S = - \frac{\pi }{2}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) là
Nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) là
Giải phương trình \(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0\).
Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\) của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\).
Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) của phương trình \(\frac{{\sin 3x}}{{\cos x + 1}} = 0\).
Gọi nghiệm lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình \({\sin ^2}x + {\cos ^2}4x = 1\) có dạng \({x_0} = \frac{{\pi a}}{b}\). Tính giá trị biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\tan 3x + \tan x = 0\).
Tính tổng \(S\) các nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\).
Tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4 - {x^2}} \sin 2x = 0\).
Tính tổng \(S\) các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(\cot 2x.\cot x = 1\)
Tìm \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){\cos ^2}x = m\) có nghiệm.
Tìm \(m\) để phương trình \(m{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = m - 1\,\,\left( 1 \right)\) có nghiệm trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
Tìm \(m\) để phương trình \(\tan x + \cot x = 2m\) có nghiệm.
Tìm số nghiệm có dạng \(\frac{{m\pi }}{3},\,m \in \mathbb{Z}\) trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0\).
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là
Trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), phương trình \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\) có nghiệm dạng \(\frac{{a\pi }}{2},\,a \in \mathbb{Z}\). Tính tổng \(S\) các giá trị \(a\) tìm được.
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{{1 + \sin x}}{{\sin x}}\).
Một vật được gắn vào lò xo, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm \(O\) và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) gắn ở đầu của lò xo dao động quanh \(O\). Toạ độ \(s(\;{\rm{cm}})\) của \(A\) trên trục \(Ox\) vào thời điểm \(t\) (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10\sin \left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Vào các thời điểm nào thì \(s = - 5\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\)?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + bx + c\)có đồ thị như hình vẽ:
Số nghiệm nằm trong \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\) của phương trình \(f\left( {\cos x + 1} \right) = \cos x + 1\)là
