Trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), phương trình \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\) có nghiệm dạng \(\frac{{a\pi }}{2},\,a \in \mathbb{Z}\). Tính tổng \(S\) các giá trị \(a\) tìm được.
-
A.
\(S = 6\).
-
B.
\(S = 1\).
-
C.
\(S = 2\).
-
D.
\(S = 4\).
Dùng công thức lượng giác biến đổi phương trình về dạng phương trình tích
\(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\)
\(\begin{array}{l}\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 \Leftrightarrow (\sin 3x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x(2\cos x + 1) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2};\frac{{2\pi }}{3};\frac{{4\pi }}{3};\pi } \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\\a = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = 6\)
Đáp án : A
