Tính tổng \(S\) các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(\cot 2x.\cot x = 1\)

Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Cách 1 : \(\cot 2x.\cot x = 1 \Leftrightarrow \cot 2x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Cách 2 : \(\cot 2x.\cot x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x\cos x = \sin 2x\sin x \Leftrightarrow \cos 3x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh điều kiện \( \Rightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ { \pm \frac{\pi }{6}; \pm \frac{{5\pi }}{6}} \right\}\)