Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
$f\left( x \right) > 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f'\left( x \right) = \dfrac{{x.f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = e.$ Giá trị của $f\left( {\sqrt 3 } \right)$ bằng
-
A.
${e^{ - {\kern 1pt} 1}}.$
-
B.
${e^2}.$
-
C.
\(e.\)
-
D.
${e^{ - {\kern 1pt} 2}}.$
Chia cả hai vế cho \(f\left( x \right)\), lấy nguyên hàm hai vế để tìm được hàm số $f\left( x \right).$
Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{{x.f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$$ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x} $
$ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \sqrt {{x^2} + 1} + C$$ \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2}{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1} {\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} C}}$
Mà $f\left( 0 \right) = e$$ \Rightarrow $${e^{C{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}} = e \Rightarrow C = 0.$
Vậy $f\left( {\sqrt 3 } \right) = {e^2}.$
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu:
Cho \(f\left( x \right)\) là đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right)\). Chọn mệnh đề đúng:
Chọn mệnh đề đúng:
Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \(y = 3{x^4}\)?
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Chọn mệnh đề đúng:
Chọn mệnh đề đúng:
Chọn mệnh đề sai:
Chọn mệnh đề đúng:
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ thì là:
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 2}}$. Hãy chọn mệnh đề sai:
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\left( {2 + 3{x^2}} \right)$ là
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} + \dfrac{2}{{{x^2}}}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - 2018x + 2017}}\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) mà \(F\left( 1 \right) = e\). Chọn mệnh đề đúng:
Tìm hàm số $F\left( x \right)$ biết $F'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x-1$ và đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng $2$. Tổng các hệ số của \(F\left( x \right)\) là:
Họ nguyên hàm của hàm số \(\int {\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} \) là:
Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số$f(x) = \dfrac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$?
Một đám vi trùng tại ngày thứ \(t\) có số lượng \(N\left( t \right)\), biết rằng \(N'\left( t \right) = \dfrac{{4000}}{{1 + 0,5t}}\) và lúc đầu đám vi trùng có \(250000\) con. Hỏi sau \(10\) ngày số lượng vi trùng (lấy theo phần nguyên) là bao nhiêu?
