Họ nguyên hàm của hàm số \(\int {\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} \) là:
-
A.
\(\dfrac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
-
B.
\( - \dfrac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
-
C.
\(\dfrac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| - \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
- Biến đổi hàm số đã cho về dạng \(\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{a}{{mx + n}} + \dfrac{{a'}}{{m'x + n'}}\).
- Sử dụng công thức nguyên hàm \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).
\(\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
Do đó, ta cần biến đổi \(\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x - 1}}\) để tính được nguyên hàm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x - 1}} = \frac{{a\left( {x - 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{ax - a + 2bx + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 2\\ - a + b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{4}{3}\\b = \frac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} = \int {\left[ { - \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}} + \dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx} \\ = - \dfrac{4}{3}\int {\dfrac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}dx} + \dfrac{5}{3}\int {\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}dx} \\ = - \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C = - \dfrac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\end{array}\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu:
Cho \(f\left( x \right)\) là đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right)\). Chọn mệnh đề đúng:
Chọn mệnh đề đúng:
Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \(y = 3{x^4}\)?
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Chọn mệnh đề đúng:
Chọn mệnh đề đúng:
Chọn mệnh đề sai:
Chọn mệnh đề đúng:
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ thì là:
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 2}}$. Hãy chọn mệnh đề sai:
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\left( {2 + 3{x^2}} \right)$ là
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} + \dfrac{2}{{{x^2}}}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - 2018x + 2017}}\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) mà \(F\left( 1 \right) = e\). Chọn mệnh đề đúng:
Tìm hàm số $F\left( x \right)$ biết $F'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x-1$ và đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng $2$. Tổng các hệ số của \(F\left( x \right)\) là:
Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số$f(x) = \dfrac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$?
Một đám vi trùng tại ngày thứ \(t\) có số lượng \(N\left( t \right)\), biết rằng \(N'\left( t \right) = \dfrac{{4000}}{{1 + 0,5t}}\) và lúc đầu đám vi trùng có \(250000\) con. Hỏi sau \(10\) ngày số lượng vi trùng (lấy theo phần nguyên) là bao nhiêu?
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
$f\left( x \right) > 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f'\left( x \right) = \dfrac{{x.f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = e.$ Giá trị của $f\left( {\sqrt 3 } \right)$ bằng
