Nếu $\sin \left( {2\alpha + \beta } \right) = 3\sin \beta ;$ $\cos \alpha \ne 0;$ $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0$ thì $\tan \left( {\alpha + \beta } \right)$ bằng:
-
A.
$\sin \alpha + \sin \beta $
-
B.
$2\tan \alpha $
-
C.
$2$
-
D.
$2\cot \alpha $
Ta có:
$\sin \left( {2\alpha + \beta } \right) = 3\sin \beta $ $ \Rightarrow \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta = 3\sin \beta $
$ \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta + \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right)\sin \beta = 3\sin \beta $
$ \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta + 2{\cos ^2}\alpha \sin \beta = 4\sin \beta $
$ \Rightarrow 2\cos \alpha \left( {\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \right) = 4\sin \beta $
$ \Rightarrow \cos \alpha \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = 2\sin \beta $
Lại có:
$\sin \left( {2\alpha + \beta } \right) = 3\sin \beta $ $ \Rightarrow \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta = 3\sin \beta $
$ \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta + \left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)\sin \beta = 3\sin \beta $
$ \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta - 2{\sin ^2}\alpha \sin \beta = 2\sin \beta $
$ \Rightarrow 2\sin \alpha \left( {\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha } \right) = 2\sin \beta $
$ \Rightarrow \sin \alpha \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \beta $
Từ đó suy ra \(\dfrac{{\cos \alpha \sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\sin \alpha \cos \left( {\alpha + \beta } \right)}} = \dfrac{{2\sin \beta }}{{\sin \beta }}\) hay $\cot \alpha \tan \left( {\alpha + \beta } \right) = 2$$ \Rightarrow \tan \left( {\alpha + \beta } \right) = 2\tan \alpha $
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho $\cos \alpha {\rm{ = }}\dfrac{3}{4};\sin \alpha > 0$ . Tính \(\cos 2\alpha ,\sin \alpha \)
Cho ${\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\dfrac{3}{4};\sin \alpha > 0$; ${\rm{sin}}\beta {\rm{ = }}\dfrac{3}{4};cos\beta < 0$ Tính $\cos \left( {\alpha + \beta } \right)$
Cho \(\cos \alpha = m\) . Tính \({\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2}\)
Thu gọn biểu thức \(\dfrac{{\sin \alpha + \sin 2\alpha }}{{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha }}\) ta được kết quả:
Thu gọn \(A = {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + 2\sin \alpha \sin \beta .\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\) ta được:
Biết \(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n.\) Tính \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) theo m và n.
Biết $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 0$ thì $\sin \left( {\alpha + 2\beta } \right)$ bằng:
Tính \(\dfrac{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\) biết \(\tan \alpha = 3\).
Tính \(A = \cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\)
Tính \(A = \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{9} + \sin \dfrac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \dfrac{\pi }{9} + \cos \dfrac{{5\pi }}{9}}}\)
Tính $4\cos {15^0}\cos {24^0}\cos {21^0} - \cos {\rm{1}}{{\rm{2}}^0} - \cos {18^0}$
Tính \(\dfrac{{\sin \alpha + \sin \beta c{\rm{os}}\left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \alpha - \sin \beta \sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}\)
Giá trị của biểu thức \(\cos \dfrac{{5x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} + \sin \dfrac{{7x}}{2}\sin \dfrac{x}{2} - \cos x\cos 2x\) bằng
Tính \(B = \cos \dfrac{\pi }{{11}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{9\pi }}{{11}}\)
Biết rằng \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = m\cos 4x + n\left( {m,n \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính tổng \(S = m + n\).
Khi $\sin A = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}$ thì tam giác $ABC$ là tam giác gì?
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \)
Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = m\left( {\left| m \right| \ge 2} \right)\). Tính theo $m$ giá trị của \(A = \left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right|\)
