Biết \(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n.\) Tính \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) theo m và n.
-
A.
$\dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}$
-
B.
$m - 3n$
-
C.
$m + 3n$
-
D.
$\dfrac{{{m^2} + n}}{3}$
- Lần lượt bình phương các đẳng thức giả thiết cho.
- Sử dụng công thức cộng để tính giá trị \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)
Ta có:
\(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n\)
\( \Rightarrow {m^2} + {n^2}\) \( = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\)
\( = {\cos ^2}\alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + {\cos ^2}\beta \) \( + {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + {\sin ^2}\beta \)
$ = \left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) + \left( {{{\cos }^2}\beta + {{\sin }^2}\beta } \right)$ $ + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)$
\( = 1 + 1 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) \( = 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)
Do đó \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho $\cos \alpha {\rm{ = }}\dfrac{3}{4};\sin \alpha > 0$ . Tính \(\cos 2\alpha ,\sin \alpha \)
Cho ${\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\dfrac{3}{4};\sin \alpha > 0$; ${\rm{sin}}\beta {\rm{ = }}\dfrac{3}{4};cos\beta < 0$ Tính $\cos \left( {\alpha + \beta } \right)$
Cho \(\cos \alpha = m\) . Tính \({\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2}\)
Thu gọn biểu thức \(\dfrac{{\sin \alpha + \sin 2\alpha }}{{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha }}\) ta được kết quả:
Thu gọn \(A = {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + 2\sin \alpha \sin \beta .\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\) ta được:
Biết $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 0$ thì $\sin \left( {\alpha + 2\beta } \right)$ bằng:
Tính \(\dfrac{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\) biết \(\tan \alpha = 3\).
Tính \(A = \cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\)
Tính \(A = \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{9} + \sin \dfrac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \dfrac{\pi }{9} + \cos \dfrac{{5\pi }}{9}}}\)
Tính $4\cos {15^0}\cos {24^0}\cos {21^0} - \cos {\rm{1}}{{\rm{2}}^0} - \cos {18^0}$
Tính \(\dfrac{{\sin \alpha + \sin \beta c{\rm{os}}\left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \alpha - \sin \beta \sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}\)
Giá trị của biểu thức \(\cos \dfrac{{5x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} + \sin \dfrac{{7x}}{2}\sin \dfrac{x}{2} - \cos x\cos 2x\) bằng
Tính \(B = \cos \dfrac{\pi }{{11}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{9\pi }}{{11}}\)
Biết rằng \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = m\cos 4x + n\left( {m,n \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính tổng \(S = m + n\).
Khi $\sin A = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}$ thì tam giác $ABC$ là tam giác gì?
Nếu $\sin \left( {2\alpha + \beta } \right) = 3\sin \beta ;$ $\cos \alpha \ne 0;$ $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0$ thì $\tan \left( {\alpha + \beta } \right)$ bằng:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \)
Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = m\left( {\left| m \right| \ge 2} \right)\). Tính theo $m$ giá trị của \(A = \left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right|\)
