Biết \(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n.\) Tính \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) theo m và n.
-
A.
$\dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}$
-
B.
$m - 3n$
-
C.
$m + 3n$
-
D.
$\dfrac{{{m^2} + n}}{3}$
- Lần lượt bình phương các đẳng thức giả thiết cho.
- Sử dụng công thức cộng để tính giá trị \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)
Ta có:
\(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n\)
\( \Rightarrow {m^2} + {n^2}\) \( = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\)
\( = {\cos ^2}\alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + {\cos ^2}\beta \) \( + {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + {\sin ^2}\beta \)
$ = \left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) + \left( {{{\cos }^2}\beta + {{\sin }^2}\beta } \right)$ $ + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)$
\( = 1 + 1 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) \( = 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)
Do đó \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}\)
Đáp án : A
Danh sách bình luận