Tính \(B = \cos \dfrac{\pi }{{11}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{9\pi }}{{11}}\)
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)
-
D.
\(4\)
Nhân, chia vế phải của \(B\) với \(\sin \dfrac{\pi }{{11}}\) rồi áp dụng công thức phân tích tích thành tổng và rút gọn biểu thức.
Với $k = 1,2,3,4,5$ ta có
\(\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 2} \right)\pi }}{{11}}} \right]\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B.\sin \dfrac{\pi }{{11}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} - \sin 0} \right) + \left( {\sin \dfrac{{4\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}}} \right) + ... + \left( {\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{8\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\\ \Rightarrow B = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Đáp án : A
