Giải bài 3 trang 7 SGK Hình học 10


Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào 1 dấu hiệu nhận biết hình bình hành là: Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau

Và: \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow AB = CD\) và \(\overrightarrow{AB}\); \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh hai mệnh đề:

*) Nếu \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}\) thì \(ABCD\) là hình bình hành.

Ta có:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}  nên \left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) và \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng.

\(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng suy ra chúng cùng phương hay \(AB // DC\) (1)

\(\left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) hay \(AB = DC\)   (2)

Từ (1) và (2),ta suy ra ABCD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết: tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau). 

*) Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(AB // CD.\) và \(AB = CD\)

Từ hình vẽ, dễ thấy: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng chiều.

 \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng (3)

Mặt khác \(AB = DC\) suy ra \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.\)

Như vậy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 75 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.