Bài 3 trang 7 SGK Hình học 10

Bình chọn:
4.3 trên 38 phiếu

Giải bài 3 trang 7 SGK Hình học 10. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+) Hai vecto cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+) Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh hai mệnh đề:

*) Khi \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}\) thì \(ABCD\) là hình bình hành.

Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}  ⇔ \left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) và \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng.

 \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng suy ra \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau,

hay \(AB // DC\)                          (1)

Ta lại có  \(\left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) suy ra \(AB = DC\)   (2)

Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

*) Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)

  Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(AB // CD.\) Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) cùng hướng     (3)

Mặt khác \(AB = CD\) suy ra \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{CD} \right |\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}.\)

Như vậy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}.\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 1. Các định nghĩa

>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu