Giải mục 4 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(c > a > 0\).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 5

Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(c > a > 0\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 16). Khi đó \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của hypebol (H)

Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H), chứng minh:

a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)

b) \(M{F_2}^2 = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)

c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} = \left( { - c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_1}^2 = {\left( { - c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_2}^2 = {\left( {c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)

c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {{x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) = 4cx\)

HĐ 6

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\) và \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), chứng minh \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\) và \(M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\)

Lời giải chi tiết:

+ Ta có: \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right)\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right).\left| {2a} \right| = 4cx\)

\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\)

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \left| {2a} \right|\quad \left( 1 \right)\\M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(2M{F_1} = \left| {2a} \right| + \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x \Rightarrow M{F_1} = \left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\)

\(M{F_2} = 2\left| a \right| - M{F_1} = 2\left| a \right| - \left( {\left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x} \right) = \left| a \right| - \frac{c}{{\left| a \right|}}x\)\( = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\)

Luyện tập - vận dụng 3

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Giả sử điểm M là diderm chuẩn thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) là: \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a = 12,b = 3,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {144 + 9} = 3\sqrt {17} \).

Do đó \(e = \frac{{3\sqrt {17} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {17} }}{4}\).

Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

\(M{F_1} = \left| {12 + \frac{{\sqrt {17} }}{4}.15} \right|;M{F_2} = \left| {12 - \frac{{\sqrt {17} }}{4}.15} \right|\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 5 trang 53, 54 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Giải mục 6 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho hypebol (H) có một đỉnh là \({A_1}( - 4;0)\) và tiêu cự là 10. Viết phươn trình chính tắc và vẽ hypebol (H).
Giải bài 1 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:
Giải bài 2 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Giải bài 3 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \({x^2} - {y^2} = 1\). Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.
Giải bài 4 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của hypebol (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E)
Giải bài 5 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thủy hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.
Giải mục 3 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng \(\frac{5}{4}.\)
Giải mục 2 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
Giải mục 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 13)