Giải bài 4 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của hypebol (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E)

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của hypebol (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S - \left( {a;b} \right).\)

Cho hypebol (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

Lời giải chi tiết

Hypebol (H) có \(a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10\) nên ta có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là \(M\left( {8;6} \right)\)

Phương trình hypebol (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Ta có: (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) nên \(c = 10 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = {c^2} = 100\)

+ Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E) \( \Rightarrow M\left( {8;6} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: \({a^2} - {b^2} = 100 \Rightarrow {a^2} = {b^2} + 100\)\( \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{b^2} + 100}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow 64{b^2} + 36\left( {{b^2} + 100} \right) = {b^4} + 100{b^2}\)

\( \Rightarrow {b^4} = 36.100 \Rightarrow {b^2} = 6.10 = 60 \Rightarrow {a^2} = 60 + 100 = 160\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{160}} + \frac{{{y^2}}}{{60}} = 1\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thủy hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.
Giải bài 3 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \({x^2} - {y^2} = 1\). Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.
Giải bài 2 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Giải bài 1 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:
Giải mục 6 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho hypebol (H) có một đỉnh là \({A_1}( - 4;0)\) và tiêu cự là 10. Viết phươn trình chính tắc và vẽ hypebol (H).
Giải mục 5 trang 53, 54 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Giải mục 4 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(c > a > 0\).
Giải mục 3 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng \(\frac{5}{4}.\)
Giải mục 2 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
Giải mục 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 13)