Giải bài 2 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

a) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực của hypebol

b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Các đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\)

+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(a = 2,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \)

+ Tọa độ các đỉnh của hypebol là \({A_1}\left( { - 2;0} \right),{A_2}\left( {2;0} \right)\)

+ Tọa độ các tiêu điểm của hypebol là \({F_1}( - \sqrt 5 ;0),{F_2}(\sqrt 5 ;0)\)

+ Tiêu cự của hypebol là \(2c = 2\sqrt 5 \)

+ Độ dài trục thực: \(2a = 4\), độ dài trục ảo: \(2b = 2\)

b) Ta có phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y = - \frac{1}{2}x,y = \frac{1}{2}x\)

Vẽ hypebol (H):

Ta thấy \(a = 2,b = 1\). (H) có các đỉnh \({A_1}\left( { - 2;0} \right),{A_2}\left( {2;0} \right)\)

Bước 1: Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn thường thẳng \(x = - 2,x = 2,y = - 1,y = 1\)

Bước 2: Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở

Tìm một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn, ta thấy điểm \(M\left( {3;\frac{9}{4}} \right)\) thuộc (H) và điểm \({M_1}\left( {3; - \frac{9}{4}} \right),{M_2}\left( { - 3;\frac{9}{4}} \right),{M_3}\left( { - 3; - \frac{9}{4}} \right)\) thuộc (H)

Bước 3: Vẽ đường hypebol (H) bên ngoài hình chữ nhật cơ sở, nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm \({A_1}\left( { - 2;0} \right)\) và điểm \({M_2},{M_3}\); nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm \({A_2}\left( {2;0} \right)\) và điểm \(M,{M_1}\). Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc tọa độ thì càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng và hai trục tọa độ là hai trục đối xứng.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 3 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \({x^2} - {y^2} = 1\). Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.
Giải bài 4 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của hypebol (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E)
Giải bài 5 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thủy hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.
Giải bài 1 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:
Giải mục 6 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho hypebol (H) có một đỉnh là \({A_1}( - 4;0)\) và tiêu cự là 10. Viết phươn trình chính tắc và vẽ hypebol (H).
Giải mục 5 trang 53, 54 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Giải mục 4 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(c > a > 0\).
Giải mục 3 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng \(\frac{5}{4}.\)
Giải mục 2 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
Giải mục 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 13)