Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức


Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

 

 

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

 

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\).

a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i  = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0\).

b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).

c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b  = x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).

 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0\)

 

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i  = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)

Vì \(\overrightarrow i  \bot \overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow i  \bot \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i  = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i  + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i  = x\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow j  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j  = x\overrightarrow i .\overrightarrow j  + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j  = y\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow k  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k  = x\overrightarrow i .\overrightarrow k  + y\overrightarrow j .\overrightarrow k  + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)

c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k } \right)\)

\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k  + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k  + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i  + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j  + zz'{\overrightarrow k ^2}\)

Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k  = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'\)

 

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

 

Trong Ví dụ 3, tính \({\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}\).

 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:

+ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\)

+ \(k\overrightarrow a  = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.

+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'\).

 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\overrightarrow a ^2} = {1^2} + {4^2} + {2^2} = 21;{\overrightarrow b ^2} = {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2} + 0 = 17;\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

Do đó, \({\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2} = 21 + 2.0 + 17 = 38\)

 

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

 

Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính \(\widehat {BAC}\).

 

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)

b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}\)

 

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5;\)

\(\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}}  = 7\)

Vậy chu vi tam giác ABC là:

b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)

Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}\).

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải mục 3 trang 70, 71 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

  • Giải bài tập 2.20 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 3;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {6; - 1;0} \right)\) a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \) và \(2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b - 5\overrightarrow c \). b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( { - \overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {2\overrightarrow a } \right).\overrightar

  • Giải bài tập 2.21 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( { - 4;3;3} \right),N\left( {4; - 4;2} \right)\) và \(P\left( {3;6; - 1} \right)\). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \), từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} \), từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành. c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.

  • Giải bài tập 2.22 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {0; - 3;1} \right)\) và \(C\left( {4; - 1;4} \right)\). a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = {90^0}\). c) Tính \(\widehat {ABC}\).

  • Giải bài tập 2.23 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8m, chiều rộng là 6m và chiều cao là 3m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí