Giải mục 2 trang 68, 69, 70, 71 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

a) Vẽ vecto \(\overrightarrow {OM} \).

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.

Lời giải chi tiết:

a)

b) Nếu \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ (a;b;c) thì ta viết \(\overrightarrow {OM}  = (a;b;c)\), trong đó a là hoành độ, b là tung độ và c là cao độ.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA}  = (3;1; - 2)\). Tìm tọa độ của điểm A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: “Tọa độ của điểm M là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \)”.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\overrightarrow {OA}  = (3;1; - 2)\) nên A(3;1;-2).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 69 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto \(\vec u\) (Hình 28). Hãy xác định điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \vec u\).

Phương pháp giải:

Vẽ \(\overrightarrow {OA} \) có tung độ, hoành độ và cao độ giống nhau.

Lời giải chi tiết:

Cách xác định điểm A:

- Từ gốc tọa độ O, dựng đường thẳng d song song với giá của vecto \(\overrightarrow u \).

- Trên d, lấy điểm A sao cho vecto \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow u \) và \(OA = \left| {\overrightarrow u } \right|\).

Vậy ta được điểm A thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u  \).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow {KA} \), \(\overrightarrow {{A_3}A} \) ở Hình 30.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa:

- Tọa độ của điểm M là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \).

- Tọa độ của \(\overrightarrow u \) là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết:

Quan sát Hình 30, có \(\overrightarrow {KA}  = \overrightarrow {O{A_3}} \), \(\overrightarrow {{A_3}A}  = \overrightarrow {OK} \).

Mặt khác, vì \({A_3}(4;0;3)\) và \(K(0;5;0)\) nên \(\overrightarrow {O{A_3}}  = (4;0;3)\), \(\overrightarrow {OK}  = (0;5;0)\).

Do đó \(\overrightarrow {KA}  = (4;0;3)\), \(\overrightarrow {{A_3}A}  = (0;5;0)\).

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 70 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto \(\vec u = \left( {a;b;c} \right)\) (Hình 31).

Lấy điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \vec u\).

a) Tìm hoành độ, tung độ và cao độ của điểm A.

b) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OH} \) qua vecto \(\vec i\), vecto \(\overrightarrow {OK} \) qua vecto \(\vec j\), vecto \(\overrightarrow {OP} \) qua vecto \(\vec k\).

c) Biểu diễn vecto \(\vec u\) theo các vecto \(\vec i,\vec j,\vec k\).

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tính tọa độ vecto.

Lời giải chi tiết:

a) a là hoành độ của điểm A, b là tung độ của điểm A, c là cao độ của điểm A.

b) \(\overrightarrow {OH}  = a\overrightarrow {i} \), \(\overrightarrow {OK}  = b\overrightarrow {j} \), \(\overrightarrow {OP}  = c\overrightarrow {k} \).

c) Áp dụng quy tắc hình hộp ta được: \(\vec u = a\overrightarrow {i}  + b\overrightarrow {j} + c\overrightarrow {k}\).

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 70 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow i  + 2\overrightarrow k \) và vecto \(\overrightarrow v  =  - 7\overrightarrow j  + \overrightarrow k \). Hãy tìm tọa độ của:

a) Điểm B;

b) Vecto \(\overrightarrow v \).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa:

- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\) thì \(\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow k \).

- Tọa độ của điểm M là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \).

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow i  + 2\overrightarrow k  = ( - 1;0;2)\). Do đó B(-1;0;2).

b) \(\overrightarrow v  =  - 7\overrightarrow j  + \overrightarrow k  = (0; - 7;1)\).

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 71 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A})\), \(B({x_B};{y_B};{z_B})\).

a) Biểu diễn mỗi vecto \(\overrightarrow {OA}\), \(\overrightarrow {OB} \) theo các vecto \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow k \).

b) Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow {AB} \) và  \(({x_B} - {x_A}).\vec i + ({y_B} - {y_A}).\vec j + ({z_B} - {z_A}).\vec k\).

c) Từ đó, tìm tọa độ vecto \(\overrightarrow {AB} \).

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết tọa độ của vecto trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {OK}  = {x_A}.\overrightarrow i  + {y_A}.\overrightarrow j  + {z_A}.\overrightarrow k \).

Tương tự, ta có: \(\overrightarrow {OB}  = {x_B}.\overrightarrow i  + {y_B}.\overrightarrow j  + {z_B}.\overrightarrow k \).

 b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  = {x_B}.\overrightarrow i  + {y_B}.\overrightarrow j  + {z_B}.\overrightarrow k  - ({x_A}.\overrightarrow i  + {y_A}.\overrightarrow j  + {z_A}.\overrightarrow k ) = ({x_B} - {x_A}).\overrightarrow i  + ({y_B} - {y_A}).\overrightarrow j  + ({z_B} - {z_A}).\overrightarrow k \).

 c) Tọa độ vecto \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\).

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 71 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’(1;0;1), B’(2;1;2), D’(1;-1;1), C(4;5;-5). Tìm tọa độ đỉnh A của hình hộp.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình hộp và định lí về tọa độ của vecto:

\(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\).

Lời giải chi tiết:

Gọi A(x;y;z).

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {A'C} \).

Ta có \(\overrightarrow {A'B'}  = (1;1;1)\), \(\overrightarrow {A'D'}  = (0; - 1;0)\), \(\overrightarrow {A'A}  = (x - 1;y;z - 1)\), \(\overrightarrow {A'C}  = (3;5; - 6)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 0 + (x - 1) = 3\\1 - 1 + y = 5\\1 + 0 + (z - 1) =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\\z =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow A(3;5; - 6)\).