-
Giải Toán 12 tập 1 - Cánh diều
-
Giải Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Toán 12 Cánh diều | Giải toán lớp 12 Cánh diều
Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - Toán 12 Cánh d..
Giải mục 2 trang 34, 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính thể tích của hình khối
Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 12 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Hoá - Sinh - Sử - Địa
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 34 SGK Toán 12 Cánh diều
Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với ta nhận được hình phẳng có diện tích là S(x) (Hình 17).
a) Tính S(x).
b) So sánh thể tích khối lập phương đó với \(\int\limits_0^1 {S(x)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông, thể tích hình lập phương và tích phân.
Lời giải chi tiết:
a) S(x) = 1.
b) Thể tích khối lập phương V = 1.
\(\int\limits_0^1 {S(x)dx} = \int\limits_0^1 {1dx} = 1\).
Vậy thể tích khối lập phương đó = \(\int\limits_0^1 {S(x)dx} \).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 35 SGK Toán 12 Cánh diều
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 2. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x \((1 \le x \le 2)\) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x) = 2x. Tính thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Lời giải chi tiết:
Thể tích của vật thể là:
\(V = \int\limits_1^2 {S(x)dx} = \int\limits_1^2 {2xdx} = {x^2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = {2^2} - {1^2} = 3\).
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 37 SGK Toán 12 Cánh diều
Xét hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x).
a) Tìm hàm số y = f(x).
b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r (Hình 25). Xét điểm M(x;f(x)) \(( - r \le x \le r)\) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x;0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x).
Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x)
Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm O bán kính r
Phương pháp giải:
a) Tìm hàm số y = f(x) thông qua phương trình nửa đường tròn.
b) Sử dụng công thức tính thể tích hình cầu.
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số y = f(x) chính là phương trình của nửa đường tròn có tâm O, bán kính r.
\( \Rightarrow y = f(x) = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \).
b) \(S(x) = \pi {f^2}(x)\).
\(V = \frac{{4\pi {r^3}}}{3}\).
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S (Hình 21). Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I'.
Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x (a ≤ x ≤ b), cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng \(S(x) = B\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\). Tính thể tích khối chóp cụt đều đó.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối chóp cụt đều đó là:
\(\int\limits_a^b {S(x)dx} = \int\limits_a^b {B\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}dx} = B\frac{{{x^3}}}{{3{b^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = B\frac{{{b^3}}}{{3{b^2}}} - B\frac{{{a^3}}}{{3{b^2}}} = \frac{B}{{3{b^2}}}({b^3} - {a^3})\)
\( = B.\frac{{b - a}}{3}.\frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{b - a}}{3}.B\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{a}{b} + 1} \right)\).
Vì \(B' = B\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) hay \(\frac{{B'}}{B} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) và h = b – a nên:
\(V = \frac{h}{3}.B\left( {\frac{{B'}}{B} + \sqrt {\frac{{B'}}{B}} + 1} \right) = \frac{h}{3}\left( {B + \sqrt {BB'} + B'} \right)\).
LT5
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 38 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(f(x) = \sin \frac{x}{2}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, \(x = \frac{\pi }{2}\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{f^2}(x)dx} \).
Lời giải chi tiết:
Thể tích hình khối đó là:
\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} = \frac{\pi }{2}(x - \sin x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{2}}}\\{_0}\end{array}} \right.\)
\( = \frac{\pi }{2}\left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - \sin \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 - \sin 0} \right)} \right] = \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \frac{\pi }{2}\).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài tập 1 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
- Giải bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
- Giải bài tập 3 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
- Giải bài tập 4 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
- Giải bài tập 5 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
