Bài 4. Phương trình mặt cầu - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\) b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\) c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\) d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

Đề bài

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)

b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)

d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) có dạng:

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)

- Nếu phương trình đã ở dạng chuẩn, xác định \(a\), \(b\), \(c\) và \(R\) từ phương trình.

- Nếu phương trình chưa chuẩn, đưa về dạng chuẩn bằng cách hoàn phương cho các biến \(x\), \(y\), \(z\).

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)

Từ phương trình, ta có:

- Tâm \(I(0,3, - 2)\)

- Bán kính \(R = \sqrt 1 = 1\)

b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)

Từ phương trình, ta có:

- Tâm \(I(2,3,0)\)

- Bán kính \(R = \sqrt 4 = 2\)

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)

Ta có: \(({x^2} - 8x) + ({y^2} - 2y) + {z^2} = - 1\)

- \(x\): \({x^2} - 8x = {(x - 4)^2} - 16\)

- \(y\): \({y^2} - 2y = {(y - 1)^2} - 1\)

- Phương trình trở thành:

\({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 16 + 1 - 1 = 16\)

- Tâm \(I(4,1,0)\)

- Bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\)

d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

Chia cả hai vế cho 3: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z = 1\)

- \(x\): \({x^2} - 2x = {(x - 1)^2} - 1\)

-\(y\): \({y^2} + \frac{8}{3}y = {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} - \frac{{16}}{9}\)

- \(z\): \({z^2} + 5z = {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4}\)

- Phương trình trở thành:

\({(x - 1)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = 1 + 1 + \frac{{16}}{9} + \frac{{25}}{4} = \frac{{79}}{{36}}\)

- Tâm \(I\left( {1, - \frac{4}{3}, - \frac{5}{2}} \right)\)

- Bán kính \(R = \sqrt {\frac{{79}}{{36}}} = \frac{{\sqrt {79} }}{6}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a) Có tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \); b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\); c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).
Giải bài tập 5.33 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm (tiếp xúc) với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó (khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng) thì có một điểm M trên quả bóng với khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm và 21 cm (Hình 5.38). Hãy giúp Nam xác định đường kính của quả bóng rổ. Biết rằng loại bóng rổ tiêu chuẩn
Giải mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm (M(x;y;z)), mặt cầu S có tâm (I(a;b;c)) và bán kính (r).
Giải mục 1 trang 72, 73 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho nửa đường tròn tâm I bán kính r quay quanh đường kính AB cố định của nó, ta nhận được một mặt cầu (S) tâm I bán kính r. Xét một điểm M thuộc (S) (Hình 5.32). Hãy so sánh IM và r.
Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Cùng khám phá
1. Định nghĩa mặt cầu