Giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB. Tại D, máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí O cách C là 20000 m, cách B là 16000 m và (widehat {BOC} = {90^^circ }). Xét hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: 1000 m) với O là vị trí đặt ra-đa, B thuộc tia Oy, C thuộc tia Ox, khi đó ta có tọa độ các điểm như Hình 5.24. Giả sử ra-đa có bán kính dò tìm tối đa là 1600

Đề bài

Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB. Tại D, máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí O cách C là 20000 m, cách B là 16000 m và \(\widehat {BOC} = {90^\circ }\). Xét hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: 1000 m) với O là vị trí đặt ra-đa, B thuộc tia Oy, C thuộc tia Ox, khi đó ta có tọa độ các điểm như Hình 5.24. Giả sử ra-đa có bán kính dò tìm tối đa là 16000 m. Hỏi ra-đa này có thể dò tìm được tín hiệu của máy bay M khi bay trên bầu trời từ D đến E hay không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Viết phương trình tham số của đường thẳng DE từ tọa độ điểm \(D\) và \(E\).

- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng DE trong không gian. Nếu khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng bán kính dò tìm \(16000{\mkern 1mu} m\), ra-đa sẽ bắt được tín hiệu máy bay.

Lời giải chi tiết

Tọa độ điểm \(D(20;0;9)\) và \(E(0;16;12)\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng DE là:

\(\overrightarrow {DE} = (0 - 20;16 - 0;12 - 9) = ( - 20;16;3)\)

Phương trình tham số của đường thẳng DE:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 20 - 20t}\\{y = 16t}\\{z = 9 + 3t}\end{array}} \right.\)

trong đó t là tham số.

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng DE, suy ra toạ độ điểm M là:

\(H(20 - 20t;16t;9 + 3t)\)

Và tích vô hướng của \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {DE} \) là:

\(\overrightarrow {DE} .\overrightarrow {OH} = ( - 20).(20 - 20t) + 16.16t + 3.(9 + 3t) = 0\)

Giải phương trình trên ta được điểm \(t = \frac{{373}}{{665}}\)

Điểm H có toạ độ là \(\left( {\frac{{1168}}{{133}};\frac{{5968}}{{665}};\frac{{7104}}{{665}}} \right)\)

Khoảng cách từ O đến đến đường thẳng DE chính là độ dài đoạn thẳng OH

\(d = \sqrt {{{\left( {\frac{{1168}}{{133}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5968}}{{665}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{7104}}{{665}}} \right)}^2}} \approx 16,486 = 16486m\)

Vì khoảng cách từ ra-da tới đường bay của máy bay M lớn hơn bán kính dò tìm tối đa của ra-da nên không thể thấy tín hiệu của máy bay M.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.23 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Hình 5.25 là hình ảnh Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với O là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng Oxy là mặt nước và xem như trục Oy cùng phương với cầu như Hình 5.25. Dây cáp AD (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh D thuộc trục Oz và điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, trong đó điểm D là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m, điểm A cách mặt nước 75 m và cách trục Oz 343 m. Giả sử ta dựng một đoạn dây nối N trên dây cáp AD và điểm M
Giải bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là \(A(3;2,5;15)\) và \(B(21;27,5;10)\).
Giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho đường thẳng \(d\): \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 3 + 3t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 6 + 4t}\end{array}} \right.\) a) Tìm tọa độ điểm \(A\) thuộc \(d\), biết \(OA = 7\). b) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(d\) và tính khoảng cách từ \(O\) đến \(d\).
Giải bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc: \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\quad {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2m}\\{y = 1 - m{\mkern 1mu} (m \in \mathbb{R})}\\{z = 2 + m}\end{array}} \right.\quad {d_3}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)
Giải bài tập 5.18 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d\) và \(d'\) cho bởi các phương trình sau: a) \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 6}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 20}}{1}\); b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t\,\,\,\,\,{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t'}\\{y = - 1 + 2t'{\mkern 1mu} (t' \in \mathbb{R})}\\{z = 2 - 2t'}\end{
Giải bài tập 5.17 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có \(B(3;0;0)\), \(D(0;5;1)\), \[B'(5;0;5)\], \(C'(5;5;6)\). Viết phương trình đường thẳng BD, DD', AB'.
Giải bài tập 5.16 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành, \(S(3; - 2;4)\), \(A(3;4;5)\), \(B(8;8;6)\), \(C(7;6;3)\). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh SB và đường thẳng chứa cạnh đáy AD của hình chóp.
Giải bài tập 5.15 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(d\) đi qua điểm \(M(5;4;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2; - 3;1)\). b) \(d\) đi qua hai điểm \(P(1;2;3)\) và \(Q(5;4;4)\). c) \(d\) đi qua điểm \(B(2;0; - 3)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 3 + 3t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\). d) \(d\) đi qua điểm \(A( - 2;3;1)\) và song song với đường thẳng \(\Delta ':\fr
Giải mục 2 trang 59, 60, 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Giải mục 1 trang 54, 55, 56, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Cùng khám phá
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Vecto chỉ phương của đường thẳng