Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian - Toán..

Giải bài tập 5.18 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d\) và \(d'\) cho bởi các phương trình sau: a) \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 6}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 20}}{1}\); b) \(d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t\,\,\,\,\,{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + 2t'}\\{y = - 1 + 2t'{\mkern 1mu} (t' \in \mathbb{R})}\\{z = 2 - 2t'}\end{

Đề bài

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d\) và \(d'\) cho bởi các phương trình sau:

a) \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 6}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 20}}{1}\);

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t\,\,\,\,\,{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t'}\\{y = - 1 + 2t'{\mkern 1mu} (t' \in \mathbb{R})}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\);

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 - 2t{\mkern 1mu} \,\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(d':\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng d và d'.

2. Kiểm tra xem các vectơ chỉ phương có tỉ lệ với nhau không để xác định đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

3. Nếu không song song, kiểm tra xem hai đường thẳng có giao nhau không bằng cách tìm điểm chung.

4. Nếu không có điểm chung, thì hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải chi tiết

Phương trình đường thẳng d:

\(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 6}}{4}\)

Tọa độ điểm thuộc d: \(A( - 3; - 2;6)\) Vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;3;4)\)

Phương trình đường thẳng d':

\(\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 20}}{1}\)

Tọa độ điểm thuộc d’: \(B(5; - 1;20)\) Vectơ chỉ phương của d’: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1; - 4;1)\)

So sánh hai vectơ chỉ phương:

\(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 4}}\)

Hai vectơ không tỉ lệ. Do đó, d và d' không song song.

Kiểm tra điểm chung:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 + 2t = 5 + t'}\\{ - 2 + 3t = - 1 - 4t'}\\{6 + 4t = 20 + t'}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 3\) và \(t' = - 2\) thì ta được điểm \(M(3;7;18)\) là giao điểm của d và d’

Vậy, d và d’ là cắt nhau.

Phương trình đường thẳng d:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ điểm thuộc d: \(A(1,2,3)\), vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1,1, - 1)\)

Phương trình đường thẳng d':

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t'}\\{y = - 1 + 2t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\)

Tọa độ điểm thuộc d': \(B(1, - 1,2)\), vectơ chỉ phương của d': \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (2,2, - 2)\)

So sánh hai vectơ chỉ phương:

\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}}\)

Nhận thấy d và d’ không có điểm chung nên hai đường thẳng này song song với nhau.

Phương trình đường thẳng d:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Tọa độ điểm thuộc d: \(A(1,3,1)\) Vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1, - 2,0)\)

Phương trình đường thẳng d’:

\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\)

Tọa độ điểm thuộc d’: \(B(1,2,0)\) Vectơ chỉ phương của d’: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 1,2,3)\)

So sánh hai vectơ chỉ phương:

\(\frac{1}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{2} \ne \frac{0}{3}\)

Hai vectơ không tỉ lệ. Do đó, d và d' không song song.

Kiểm tra điểm chung:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 1 - t'}\\{3 - 2t = 2 + 2t'}\\{1 = 3t'}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình của hai đường thẳng, không tìm được điểm chung

Vậy, d và d’ là chéo nhau.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc: \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\quad {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2m}\\{y = 1 - m{\mkern 1mu} (m \in \mathbb{R})}\\{z = 2 + m}\end{array}} \right.\quad {d_3}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)
Giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho đường thẳng \(d\): \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 3 + 3t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 6 + 4t}\end{array}} \right.\) a) Tìm tọa độ điểm \(A\) thuộc \(d\), biết \(OA = 7\). b) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(d\) và tính khoảng cách từ \(O\) đến \(d\).
Giải bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là \(A(3;2,5;15)\) và \(B(21;27,5;10)\).
Giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB. Tại D, máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí O cách C là 20000 m, cách B là 16000 m và (widehat {BOC} = {90^^circ }). Xét hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: 1000 m) với O là vị trí đặt ra-đa, B thuộc tia Oy, C thuộc tia Ox, khi đó ta có tọa độ các điểm như Hình 5.24. Giả sử ra-đa có bán kính dò tìm tối đa là 1600
Giải bài tập 5.23 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Hình 5.25 là hình ảnh Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với O là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng Oxy là mặt nước và xem như trục Oy cùng phương với cầu như Hình 5.25. Dây cáp AD (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh D thuộc trục Oz và điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, trong đó điểm D là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m, điểm A cách mặt nước 75 m và cách trục Oz 343 m. Giả sử ta dựng một đoạn dây nối N trên dây cáp AD và điểm M
Giải bài tập 5.17 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có \(B(3;0;0)\), \(D(0;5;1)\), \[B'(5;0;5)\], \(C'(5;5;6)\). Viết phương trình đường thẳng BD, DD', AB'.
Giải bài tập 5.16 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành, \(S(3; - 2;4)\), \(A(3;4;5)\), \(B(8;8;6)\), \(C(7;6;3)\). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh SB và đường thẳng chứa cạnh đáy AD của hình chóp.
Giải bài tập 5.15 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(d\) đi qua điểm \(M(5;4;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2; - 3;1)\). b) \(d\) đi qua hai điểm \(P(1;2;3)\) và \(Q(5;4;4)\). c) \(d\) đi qua điểm \(B(2;0; - 3)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 3 + 3t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\). d) \(d\) đi qua điểm \(A( - 2;3;1)\) và song song với đường thẳng \(\Delta ':\fr
Giải mục 2 trang 59, 60, 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Giải mục 1 trang 54, 55, 56, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Cùng khám phá
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Vecto chỉ phương của đường thẳng