Giải bài tập 4.15 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) \(y = {e^x},y = {x^2} - 1,x = - 1,x = 1\); b) \(y = \sin x,y = x,x = \frac{\pi }{2},x = \pi \); c) \(y = 9 - {x^2},y = 2{x^2},x = - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \); d) \(y = \sqrt x ,y = {x^2},x = 0,x = 1\).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) \(y = {e^x},y = {x^2} - 1,x = - 1,x = 1\);

b) \(y = \sin x,y = x,x = \frac{\pi }{2},x = \pi \);

c) \(y = 9 - {x^2},y = 2{x^2},x = - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \);

d) \(y = \sqrt x ,y = {x^2},x = 0,x = 1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết

a) Diện tích hình cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {x^2} + 1} \right)dx} = \left( {{e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right.\)

\( = e - \frac{1}{3} + 1 - \left( {\frac{1}{e} + \frac{1}{3} - 1} \right) = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}\)

b) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\sin x - x} \right|dx} = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {\sin x - x} \right)dx} = \left( {\cos x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}\pi \\\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

\( = \cos \pi + \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \cos \frac{\pi }{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{8} = - 1 + \frac{{3{\pi ^2}}}{8}\)

c) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - {x^2} - 2{x^2}} \right|dx} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {9 - 3{x^2}} \right)dx} = \left( {9x - {x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}\sqrt 3 \\ - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( = 9\sqrt 3 - {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} + 9\sqrt 3 + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} = 12\sqrt 3 \)

d) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} = \left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4.16 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình \(y = x\) sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz \(y = f\left( x \right)\), biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với \(0 \le x \le 100\), biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Loren
Giải bài tập 4.17 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: \(y = 2x - {x^2},y = 0,x = 0,x = 2\).
Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h\(\left( {0 < h \le R} \right)\) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = R - h,x = R\) xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31). a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \). b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.
Giải bài tập 4.14 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.
Giải mục 2 trang 22,23,24 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Giải mục 1 trang 19,20,21 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Kết nối tri thức
1.Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b