Giải bài tập 2.27 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

a) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương OABC.O’A’B’C’ với O(0;0;1), A(1;0;0), C(0;1;0) (Hình 2.45). G là trung điểm của đường chéo OB’ của hình lập phương. - Chứng minh rằng ACO’B’ là một tứ diện đều. - Tìm toạ độ các điểm B’ và G. Chứng minh rằng (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GO'} + overrightarrow {GB'} = vec 0). Điểm G được gọi là trọng tâm của tứ diện đều ACO’B’.

Đề bài

a) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương OABC.O’A’B’C’ với O(0;0;1), A(1;0;0), C(0;1;0) (Hình 2.45). G là trung điểm của đường chéo OB’ của hình lập phương.

- Chứng minh rằng ACO’B’ là một tứ diện đều.

- Tìm toạ độ các điểm B’ và G. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GO'} + \overrightarrow {GB'} = \vec 0\). Điểm G được gọi là trọng tâm của tứ diện đều ACO’B’.

b) Methane là một chất khí và là nguồn nguyên liệu quan trọng trong đời sống cũng như trong công nghiệp. Công thức phân tử của methane là \({\rm{C}}{{\rm{H}}_4}\). Mỗi phân tử \({\rm{C}}{{\rm{H}}_4}\) được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen H và một nguyên tử carbon \(C\). Trong cấu tạo của phân tử methane, bốn nguyên tử hydrogen tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện đều và nguyên tử carbon ở vị trí trọng tâm của tứ diện đó (Hình 2.46). Người ta gọi góc liên kết là góc tạo bởi liên kết \({\rm{H}} - {\rm{C}} - {\rm{H}}\). Đó là góc có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối nguyên tử C với hai trong bốn nguyên tử H , chẳng hạn như \(\widehat {{{\rm{H}}_1}{\rm{C}}{{\rm{H}}_2}}\) (nguồn: https://www.worldatlas.com/space/why-methane-can-be-a-sign-of-life-outside-of-earth.html). Để tính góc liên kết trong phân tử methane, người ta chọn hệ trục toạ độ mà các nguyên tử hydrogen lẩn lượt nằm ở các vị trí \({H_1}(1;0;0),{H_2}(0;1;0)\), \({H_3}(0;0;1),{H_4}(1;1;1)\)(Hình 2.47). Tính số đo của góc liên kết (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng khái niệm của một tứ diện đều là các cạnh của nó bằng nhau.

- Tìm toạ độ của các điểm và vectơ cần thiết, sau đó áp dụng biểu thức toạ độ của tổng các vectơ để chứng minh.

- Sử dụng biểu thức đã được chứng minh ở câu a để tìm toạ độ của C.

- Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ để tìm góc liên kết

\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {C{H_1}} \cdot \overrightarrow {C{H_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {C{H_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {C{H_2}} } \right|}}.\)

Lời giải chi tiết

- Vì OABC.O’A’B’C’ là hình lập phương nên đường chéo của các mặt bên đều bằng nhau. Vậy ta có \(AC = AO' = AB' = CO' = CB' = O'B' = \sqrt 2 .\)

- Ta thấy tất cả các cạnh của tứ diện ACO’B’ đều có độ dài bằng \(\sqrt 2 \). Do đó, tứ diện ACO’B’ là tứ diện đều.

- Điểm B’ đối diện với điểm O qua hình lập phương, do đó tọa độ của B’ sẽ là: \(B'(1;1;1)\)

- Trung điểm G của đường chéo OB’: \(G = \left( {\frac{{0 + 1}}{2};\frac{{0 + 1}}{2};\frac{{1 + 0}}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

- Tính các vectơ:

\(\overrightarrow {GA} = A - G = \left( {1 - \frac{1}{2};0 - \frac{1}{2};0 - \frac{1}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)\(\overrightarrow {GC} = C - G = \left( {0 - \frac{1}{2};1 - \frac{1}{2};0 - \frac{1}{2}} \right) = \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)\(\overrightarrow {GO'} = O' - G = \left( {0 - \frac{1}{2};0 - \frac{1}{2};1 - \frac{1}{2}} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)\(\overrightarrow {GB'} = B' - G = \left( {1 - \frac{1}{2};1 - \frac{1}{2};1 - \frac{1}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

- Cộng các vectơ:

\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GO'} + \overrightarrow {GB'} = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}; - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}; - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right) = \vec 0\)

- Vậy \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GO'} + \overrightarrow {GB'} = \vec 0\).

- Đặt toạ độ của C là \((x;y;z)\)

- Vì C là trọng tâm của tứ diện đều \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\), áp dụng biểu thức đã chứng minh ở câu a, ta có: \(\overrightarrow {C{H_1}} + \overrightarrow {C{H_2}} + \overrightarrow {C{H_3}} + \overrightarrow {C{H_4}} = \overrightarrow 0 \)

- Thay các giá trị vào, ta được:

\((1 - x) + (0 - x) + (0 - x) + (1 - x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)

\((0 - y) + (1 - y) + (0 - y) + (1 - y) = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}\)

\((0 - z) + (0 - z) + (1 - z) + (1 - z) = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{2}\)

- Vậy toạ độ của C là \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

- Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {C{H_1}} \)và \(\overrightarrow {C{H_2}} \) là:

\(\overrightarrow {C{H_1}} = \left( {1 - \frac{1}{2};0 - \frac{1}{2};0 - \frac{1}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)

\(\overrightarrow {C{H_2}} = \left( {0 - \frac{1}{2};1 - \frac{1}{2};0 - \frac{1}{2}} \right) = \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)

- Tích vô hướng của \(\overrightarrow {C{H_1}} \)và \(\overrightarrow {C{H_2}} \):

\(\overrightarrow {C{H_1}} \cdot \overrightarrow {C{H_2}} = \left( {\frac{1}{2} \times - \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{2} \times - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4}\)

- Độ dài của \(\overrightarrow {C{H_1}} \)và \(\overrightarrow {C{H_2}} \) là: \(\left| {\overrightarrow {C{H_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {C{H_2}} } \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

- Số đo của góc liên kết là:

\(\cos \theta = \frac{{ - \frac{1}{4}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = - \frac{1}{3}\)

\(\theta = \arccos \left( { - \frac{1}{3}} \right) \approx {109.47^\circ }\)

Vậy góc liên kết \({{\rm{H}}_1} - {\rm{C}} - {{\rm{H}}_2}\) xấp xỉ \({109^\circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 2.28 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, lực không đổi \(\vec F = 3\vec i + 5\vec j + 10\vec k\) làm di chuyển một vật dọc theo đoạn thẳng từ \(M(1;0;2)\) đến \(N(5;3;8)\). Tìm công sinh ra nếu khoảng cách được tính bằng mét và lực được tính bằng newton.
Giải bài tập 2.29 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, một máy bay đang bay ở vị trí A(250;465;15) với tốc độ \(\vec v = (455;620;220)\) thì vào một vùng có gió với tốc độ \(\vec u = (37; - 12;4)\) (đơn vị tốc độ là km/giờ. Máy bay bay vùng gió này mất 30 phút. Tìm vị trí của máy bay sau 30 phút đó.
Giải bài tập 2.30 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD. Khi đó, vectơ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \) bằng A. \(\overrightarrow {BC} \). B. \(\overrightarrow {AD} \). C. \(\overrightarrow {CB} \). D. \(\overrightarrow {DA} \).
Giải bài tập 2.31 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình hộp (ABCD cdot {A^prime }{B^prime }{C^prime }{D^prime }). Khi đó, vectơ (overrightarrow {AB} + overrightarrow {{A^prime }{D^prime }} + overrightarrow {C{C^prime }} ) bằng A. (overrightarrow {{A^prime }C} ). B. (overrightarrow {A{C^prime }} ). C. (overrightarrow {C{A^prime }} ). D. (overrightarrow {{C^prime }A} ).
Giải bài tập 2.32 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hai vectơ \(\vec a = (2;4;1),\vec b = ( - 4;0;4)\). Toạ độ của vectơ \(\vec a + \vec b\) là A. \(( - 2; - 4; - 5)\). B. \(( - 2; - 4;5)\). C. \(( - 2;4;5)\). D. \((2;4; - 5)\).
Giải bài tập 2.33 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho ba điểm \(A(3;5;2),B(2;2;1),C(1; - 1;4)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là A. \((3;9;1)\). B. \(( - 3; - 9;1)\). C. \((6;6;7)\). D. \((1;3; - 3)\).
Giải bài tập 2.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương (OABC.{O^prime }{A^prime }{B^prime }{C^prime }) có (A(a;0;0),C(0;a;0)), ({O^prime }(0;0;a)). (M) là trung điểm đoạn (A{C^prime }). Toạ độ của (M) là A. (left( { - frac{a}{2};frac{a}{2};frac{a}{2}} right)). B. (left( { - frac{a}{2}; - frac{a}{2}; - frac{a}{2}} right)). C. (left( {frac{a}{2};frac{a}{2};frac{a}{2}} right)). D. (left( {frac{a}{2};frac{a}{2}; - frac{a}{2}} right)).
Giải bài tập 2.35 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho ba điểm \(A(0;4;2),B(2;0;1),C(1; - 1;0)\). Trọng tâm của tam giác ABC là A. \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\). B. \(G(3;3;3)\). C. \(G( - 1; - 1; - 1)\). D. \(G(1;1;1)\).
Giải bài tập 2.36 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tam giác ABC có \(A(1;0;1),B(0;2;3),C(2;1;0)\). Độ dài đường trung tuyến AM là A. \(\frac{1}{2}\). B. \(\frac{{\sqrt {11} }}{2}\). C. \(\frac{{\sqrt {12} }}{2}\). D. \(\frac{{\sqrt {10} }}{2}\).
Giải bài tập 2.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho ba lực \({\vec F_1},{\vec F_2},{\vec F_3}\) lần lượt có cường độ \(2{\rm{N}},4{\rm{N}},5{\rm{N}}\) được đặt vào chất điểm \(M\). Biết rằng góc tạo bởi hai lực bất kỳ trong ba lực đều bằng \({60^\circ }\). Cường độ của hợp lực tác dụng lên \(M\) là: A. \(45{\rm{N}}\). B. \(\sqrt {45} {\rm{N}}\). C. \(\sqrt {83} {\rm{N}}\). D. \(83{\rm{N}}\).
Giải bài tập 2.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a = (1;1;1)\) và \(\vec b = ( - 1;2;1)\) bằng: A. \(\sqrt 3 \cdot \sqrt 6 \). B. \( - \sqrt 3 \cdot \sqrt 6 \). C. \(2\). D. \(\sqrt 2 \).
Giải bài tập 2.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Nếu \(\vec a = (1;1;0)\), \(\vec b = (1;1; - 3)\) thì \(\cos (\vec a,\vec b)\) bằng: A. \(\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\). B. \(\frac{{11}}{2}\). C. \(\frac{{11}}{{\sqrt {22} }}\). D. \(\frac{2}{{11}}\).
Giải bài tập 2.40 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Hình bình hành ABCD có \(A(1;0;3)\), \(B(2;3; - 4)\), \(C( - 3;1;2)\). Tọa độ điểm \(D\) là: A. \(( - 4; - 2;9)\). B. \((2; - 4;5)\). C. \(( - 2;4; - 5)\). D. \((4;2; - 9)\).
Giải bài tập 2.26 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(2; -1; 1). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp. b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho \(B'E \bot A'C'\).
Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3). a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.