Giải bài tập 2.23 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Trong Hoá học, cấu tạo của phân tử amoniac (\(N{H_3}\)) có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen (\(N\)) và đáy là tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) với \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) là vị trí của ba nguyên tử hydrogen (\(H\)). Góc tạo bởi liên kết \(H - N - H\), có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối \(N\) với hai trong ba điểm \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) (chẳng hạn như \({H_1}N{H_2}\)), được gọi là góc liên kết của phân tử \(N{H_3}\). Góc này xấp xỉ \({107^\circ }\). Trong khô

Đề bài

Trong Hoá học, cấu tạo của phân tử amoniac (\(N{H_3}\)) có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen (\(N\)) và đáy là tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) với \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) là vị trí của ba nguyên tử hydrogen (\(H\)). Góc tạo bởi liên kết \(H - N - H\), có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối \(N\) với hai trong ba điểm \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) (chẳng hạn như \({H_1}N{H_2}\)), được gọi là góc liên kết của phân tử \(N{H_3}\). Góc này xấp xỉ \({107^\circ }\).

Trong không gian Oxyz, cho một phân tử \(N{H_3}\) được biểu diễn bởi hình chóp tam giác đều \(N.{H_1}{H_2}{H_3}\) với \(O\) là tâm của đáy. Nguyên tử nitrogen được biểu diễn bởi điểm \(N\) thuộc trục Oz, ba nguyên tử hydrogen ở các vị trí \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) trong đó \({H_1}(0; - 2;0)\) và \({H_2}{H_3}\) song song với trục Ox (Hình 2.44).

a) Tính khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen.

b) Tính khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen (làm tròn các kết quả tính toán đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng định lý sin trong công thức để tính khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen (d) có góc bằng ∝.

\(d = 2R.\sin (\alpha )\)

b) Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:

\(d(N,{H_1}) = \sqrt {{{({x_{{H_1}}} - {x_N})}^2} + {{({y_{{H_1}}} - {y_N})}^2} + {{({z_{{H_1}}} - {z_N})}^2}} \)

Thay các tọa độ tương ứng để tính khoảng cách \(d(N,{H_1})\), \(d(N,{H_2})\), \(d(N,{H_3})\).

Lời giải chi tiết

Bởi vì tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) là tam giác đều nên áp dụng vào định lý sin trong tam giác, ta có:

\({H_1}{H_2} = {H_1}{H_3} = {H_2}{H_3} = 2R\sin {60^\circ } = \sqrt 3 R\)

Trong trường hợp này, O là trọng tâm của tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) và O cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp nên \(R = 2\), ta có: \(d = 2\sqrt 3 \)

b) Để tính khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen \(N(0;0;z)\) với nguyên tử hydrogen \({H_1}(0; - 2;0)\), ta sử dụng công thức:

\(N{H_1} = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(0 + 2)}^2} + {{(z - 0)}^2}} = \sqrt {4 + {z^2}} \)

Vì khoảng cách từ gốc toạ độ O đến \({H_2}\) là 2, do đó \({H_2}\) có toạ độ là

\({H_2}(2\cos \theta ;2\sin \theta ;0)\)

Với θ là góc \(\widehat {xO{H_2}}\). Và vì \({H_1}{H_2}{H_3}\) là tam giác đều nên \(\widehat {xO{H_2}} = 30^\circ \).

Vậy \({H_2}\) có toạ độ là: \({H_2}(\sqrt 3 ;1;0)\)

Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {N{H_1}} ,\overrightarrow {N{H_2}} \)là:

\(\overrightarrow {N{H_1}} = \left( {0; - 2; - z} \right),\overrightarrow {N{H_2}} = \left( {\sqrt 3 ;1; - z} \right)\)

Từ đó ta có \(z\): \(\cos {107^\circ } = \frac{{\overrightarrow {N{H_1}} .\overrightarrow {N{H_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {N{H_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {N{H_2}} } \right|}} = \frac{{ - 2 + {z^2}}}{{4 + {z^2}}}\)

Suy ra: \( - 2 + {z^2} = \left( {4 + {z^2}} \right).\cos 107^\circ \Leftrightarrow 0,71{z^2} = 0,83 \Rightarrow z = 1,08\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 2.22 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục là km), một máy bay đang bay ở độ cao 10 km, tại vị trí A(500; 200; 10). Theo hành trình dự định, máy bay sẽ phải bay qua vị trí B(700; 200; 10). Tuy nhiên do thời tiết xấu, máy bay phải chuyển hướng bay đến vị trí C(600; 300; 8). a) Tính khoảng cách từ A đến C. b) Hỏi trong quãng thời gian tránh vùng thời tiết xấu, máy bay đã phải bay chệch hướng dự định một góc bao nhiêu độ?
Giải bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ và các đỉnh B, D, A' tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz như trong Hình 2.43. Cho biết AB = a, AD = 3a, AA' = 2a \ (a > 0). Gọi G là trọng tâm của tam giác A'BC. a) Tìm toạ độ điểm G. b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (ABCD). c) Tính thể tích khóp G.ABCD.
Giải bài tập 2.20 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho \(\vec a = (1;0;1)\), \(\vec b = (1;1;0)\) và \(\vec c = ( - 4;3;m)\). a) Tìm góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\). b) Tìm m để vectơ \(\vec d = 2\vec a + 3\vec b\) vuông góc với \(\vec c\).
Giải bài tập 2.19 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình tứ diện ABCD. Biết rằng \(A(1;0; - 1)\), \(B( - 3;2;0)\), \(C(1;1;4)\), \(D( - 2;1;5)\). a) Tìm tọa độ của điểm E sao cho \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \). b) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải bài tập 2.18 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Biết tọa độ các đỉnh là \(A(0;1;1)\), \(B(0;1;2)\), \(C( - 1;1;1)\). a) Tính độ dài các cạnh của tam giác. b) Tính \(\widehat {ABC}\).
Giải bài tập 2.17 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\vec a = (2; - 3;3)\), \(\vec b = (4;0;2)\), \(\vec c = ( - 1;4; - 5)\). Tìm: a) \(\vec a.(\vec b + 2\vec c)\); b) \(\left| {\vec a - \vec b} \right|\).
Giải mục 2 trang 76, 77, 78, 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1},{y_1},{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2},{y_2},{z_2})\). a) Biểu diễn \(\vec a\) và \(\vec b\) qua các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\). b) Tính \(\vec a \cdot \vec b\).
Giải mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})\). a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\vec a\), \(\vec b\) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\). b) Tính \(\vec a + \vec b\) theo \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\), từ đó tìm tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\).
Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Cùng khám phá
1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto