

Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD có AB=2a,CD=2a√3AB=2a,CD=2a√3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng MN=a√7MN=a√7, hãy tính góc giữa hai vectơ →AB−−→AB và →CD−−→CD.
Đề bài
Cho tứ diện ABCD có AB=2a,CD=2a√3AB=2a,CD=2a√3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng MN=a√7MN=a√7, hãy tính góc giữa hai vectơ →AB−−→AB và →CD−−→CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng công thức trung điểm để biểu diễn các vectơ →NM−−−→NM qua các vectơ →AB−−→AB và →CD−−→CD.
- Tính tích vô hướng →MN⋅→MN−−−→MN⋅−−−→MN để từ đó tìm ra tích vô hướng →AB⋅→CD−−→AB⋅−−→CD.
- Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ →AB−−→AB và →CD−−→CD.
Lời giải chi tiết
- Vì MM là trung điểm của BC, nên →BM=12→BC−−→BM=12−−→BC.
- Vì NN là trung điểm của AD, nên →AN=12→AD−−→AN=12−−→AD.
- Vectơ →NM−−−→NM có thể được viết là:
→NM=→NB+→BM−−−→NM=−−→NB+−−→BM
Với: →NB=→NA+→AB=12→DA+→AB−−→NB=−−→NA+−−→AB=12−−→DA+−−→AB
Và: →BM=12→BC=12(→BD−→CD)−−→BM=12−−→BC=12(−−→BD−−−→CD).
Suy ra:
→NM=12(→DA+→BD)+→AB−12→CD=12→BA+→AB−12→CD=12(→AB−→CD)
Ta có: →NM⋅→NM=14(→AB−→CD)⋅(→AB−→CD)
Biểu thức này mở rộng thành:
14(→AB⋅→AB−2→AB⋅→CD+→CD⋅→CD)
Biết rằng →NM⋅→NM=MN2=7a2, AB=2a, CD=2a√3, ta suy ra:
7a2=14(4a2−2→AB⋅→CD+12a2)
7a2=14(16a2−2→AB⋅→CD)
28a2=16a2−2→AB⋅→CD
→AB⋅→CD=−6a2
- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:
cosθ=→AB⋅→CD|→AB|⋅|→CD|
cosθ=−6a22a.2a√3=−√32
Suy ra góc giữa →AB và →CD là θ=150∘.


- Giải bài tập 2.11 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 2.12 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá