Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng công thức trung điểm để biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {NM} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {MN} \) để từ đó tìm ra tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \).

- Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

Lời giải chi tiết

- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).

- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là:

\(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \)

Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)

Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {CD} } \right)\).

Suy ra:

\(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} )\)

Ta có: \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} ) \cdot (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} )\)

Biểu thức này mở rộng thành:

\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CD} \cdot \overrightarrow {CD} )\)

Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 7{a^2}\), \(AB = 2a\), \(CD = 2a\sqrt 3 \), ta suy ra:

\(7{a^2} = \frac{1}{4}(4{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + 12{a^2})\)

\(7{a^2} = \frac{1}{4}(16{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} )\)

\(28{a^2} = 16{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \)

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - 6{a^2}\)

- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:

\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {CD} |}}\)

\(\cos \theta = \frac{{ - 6{a^2}}}{{2a.2a\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là \(\theta = {150^\circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 2.11 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Một chất điểm (A) nằm trên mặt phẳng nằm ngang ((alpha )), chịu tác động bởi ba lực ({vec F_1},{vec F_{{2^prime }}}{vec F_3}). Các lực ({vec F_1},{vec F_2}) có giá nằm trong ((alpha )) và (left( {{{vec F}_1},{{vec F}_2}} right) = {135^circ }), còn lực ({vec F_3}) có giá vuông góc với ( (alpha ) ) và hướng lên trên. Xác định hợp lực của các lực ({vec F_1},{vec F_2},{vec F_3}), biết rằng độ lớn của ba lực đó lần lượt là 20N, 15N và 10N.
Giải bài tập 2.12 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Người ta treo một vật trang trí (O) có khối lượng (m = 2{mkern 1mu} {rm{kg}}) trên trần nhà bằng các sợi dây nhẹ, không co giãn tại các điểm (A), (B) và (C). Để bảo đảm lực phân phối đều trên các dây và tính thẩm mỹ, người ta chọn độ dài các dây sao cho tứ diện OABC là tứ diện đều. Gọi (overrightarrow {{T_1}} ), (overrightarrow {{T_2}} ) và (overrightarrow {{T_3}} ) lần lượt là các lực căng dây của ba dây treo tại (A), (B) và (C). Lấy giá trị gần đúng của gia tốc trọng
Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7. a) Chứng minh rằng (overrightarrow {NM} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} } right)). b) Từ kết quả câu a, hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {DC} ). c) Tính (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DC} } right)).
Giải bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và (widehat {BAA'} = widehat {BAD} = widehat {DAA'} = {60^circ }). Tính độ dài đường chéo AC’.
Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\) b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\) c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)
Giải bài tập 2.6 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trọng lực \(\vec P\) là lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật được tính bởi công thức \(\vec P = m\vec g\), trong đó \(m\) là khối lượng của vật (đơn vị: kg), \(\vec g\) là vectơ gia tốc rơi tự do, có hướng đi xuống và có độ lớn \(g = 9,8{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\). Xác định hướng và độ lớn của trọng lực (đơn vị: N) tác dụng lên quả bóng có khối lượng 450 gam.
Giải bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C'. O là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B. a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG' song song với nhau. b) Tính độ dài của \(\overrightarrow {GO} \)trong trường hợp ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA' = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.
Giải bài tập 2.4 trang 64 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec a,\overrightarrow {AD} = \vec b,\overrightarrow {AE} = \vec c\). Gọi M là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu diễn \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\vec a,\vec b,\vec c\).
Giải bài tập 2.3 trang 64 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)
Giải mục 3 trang 60, 61, 62, 63, 64 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18). a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao? b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Giải mục 2 trang 58, 59, 60 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.EFGH có O và P tương ứng là giao điểm các đường chéo của hai đáy ABCD và EFGH. M là trung điểm của đoạn thẳng EP (Hình 2.14). Xét mối quan hệ về hướng và độ dài của các cặp vectơ: a) \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {FP} \). b) \(\overrightarrow {EM} \) và \(\overrightarrow {CA} \).
Giải mục 1 trang 55, 56, 57, 58 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 2.7). Một vật bắt đầu di chuyển từ điểm A theo độ dịch chuyển bằng \(\overrightarrow {DC} \), sau đó tiếp tục di chuyển theo độ dịch chuyển bằng \(\overrightarrow {B'C'} \). Hỏi vật sẽ di chuyển đến điểm nào?
Lý thuyết Các phép toán vecto trong không gian Toán 12 Cùng khám phá
1. Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian a) Tổng của hai vecto