Giải bài 9 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\;khi\;\left| x \right| < 2\\x\left( {2 - x} \right)\;\;\;\;\,khi\;\left| x \right| \ge 2\end{array} \right.\). Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\;khi\;\left| x \right| < 2\\x\left( {2 - x} \right)\;\;\;\;\,khi\;\left| x \right| \ge 2\end{array} \right.\). Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a, b: Cho hàm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 - 2a + b\)số\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)\(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] \) \( = 2\left( {2 - 2} \right) \) \( = 0 \) \( = f\left( 2 \right)\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) \) \( = {2^2} + 2a + b \) \( = 2a + b + 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] \) \( = \left( { - 2} \right)\left( {2 + 2} \right) \) \( = - 8 \) \( = f\left( { - 2} \right)\)

Hàm số \(y \) \( = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi hàm số \(y \) \( = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x \) \( = 2\) và \(x \) \( = - 2\).

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + 2a + b = 0\\4 - 2a + b = - 8\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 4\\ - 2a + b = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array} \right.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] = 2\left( {2 - 2} \right) = 0 = f\left( 2 \right)\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = {2^2} + 2a + b = 2a + b + 4\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 10 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chứng minh rằng phương trình: a) \({x^3} + 2x - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\); b) \(\sqrt {{x^2} + x} + {x^2} = 1\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Giải bài 11 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\). Với mỗi số thực m, gọi Q(m) là số giao điểm của đường thẳng \(d:y = m\) với đường tròn (C). Viết công thức xác định hàm số \(y = Q\left( m \right)\). Hàm số này không liên tục tại các điểm nào?
Giải bài 12 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2\). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). Kí hiệu diện tích tam giác ABC là \(S\left( \alpha \right)\) (phụ thuộc vào \(\alpha \)). Xét tính liên tục của hàm số \(S\left( \alpha \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right)\);
Giải bài 8 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2 - x\;\;\;khi\;x < 1\\{x^2} + x\;khi\;x \ge 1\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2}\;khi\;x < 1\\ - {x^2} + a\;khi\;x \ge 1\end{array} \right.\). Tìm giá trị của tham số a sao cho \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
Giải bài 7 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = x - 1\) và \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\). Xét tính liên tục của các hàm số: a) \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\); b) \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\); c) \(y = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}\).
Giải bài 6 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = \frac{{\tan x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\); b) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\).
Giải bài 5 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2\); b) \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}\); c) \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}\) d) \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x} \).
Giải bài 4 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}\;khi\;x \ne 2\\\;\;\;\;a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x = 2\end{array} \right.\). Tìm giá trị của tham số a để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\).
Giải bài 3 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Xét tính liên tục của hàm số: a) \(f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right|\) tại điểm \(x = - 1\); b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\;\;\;khi\;x \ne 1\\\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\) tại điểm \(x = 1\).
Giải bài 2 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm \(x = 2\): a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}6 - 2x\;\;\;khi\;x \ge 2\\2{x^2} - 6\;\;khi\;x < 2\end{array} \right.\); b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\;\;\;khi\;x \ne 2\\\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;khi\;x = 2\end{array} \right.\).
Giải bài 1 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số: a) \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\) tại điểm \(x = - 2\); b) \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2} \) tại điểm \(x = 0\).