Giải bài 55 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC. a) Chứng minh $\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}$. b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh $AM > CM$và $\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}$. c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

a) Chứng minh $\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}$.

b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh $AM > CM$và $\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}$.

c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Tính số đo các cung CB, CA, CD, AD và từ đó tính được số đo các góc ABC, CAB, COD.

Bước 2: Tính góc ACO (tổng 3 góc trong tam giác ACO).

b) Bước 1: So sánh số đo cung AM và CM, từ đó suy ra $\widehat {ACM} > \widehat {CAM}$.

Bước 2: Dựa vào mỗi quan hệ giữ góc và cạnh đối diện trong tam giác ACM để so sánh AM, CM.

c) Biểu diễn diện tích tam giác MAC: $S = \frac{1}{2}AC.MN$

Ta dự đoán diện tích tam giác MAC khi M là điểm chính giữa của cung AC nên ta chứng minh $MN \le DK$.

Lời giải chi tiết

Gọi K là giao điểm của AC và OD, kẻ MN vuông góc với AC tại N.

a) Vì C điểm chính giữa của cung AB nên $\text{sđ}\overset\frown{CB}=\text{sđ}\overset\frown{CA}=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{AB}=\frac{1}{2}.180{}^\circ =90{}^\circ $ (do AB là cung chắn nửa đường tròn nên có số đo là 180⁰),

Suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ $(do $\widehat {BAC}$và $\widehat {ABC}$là các góc nội chắn các cung bằng nhau) (1) và $\widehat {COA} = 90^\circ $(góc ở tâm chắn cung AC).

Do D là điểm chính giữa của cung AC nên $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{AC}=\frac{1}{2}.90{}^\circ =45{}^\circ $

Suy ra $\widehat {COD} = 45^\circ $ (do $\widehat {COD}$ là góc ở tâm chắc cung DC)(2)

Xét tam giác ABC có: $\widehat {ACO} = 180^\circ - \widehat {CAO} - \widehat {COA} = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ $ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}\left( { = 45^\circ } \right)$.

b) Do M thuộc cung nhỏ DC và $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}=45{}^\circ $, mà $\text{sđ}\overset\frown{AM}=\text{sđ}\overset\frown{AD}\text{+sđ}\overset\frown{DM}=45{}^\circ \text{+sđ}\overset\frown{DM}$

Nên $\text{sđ}\overset\frown{AM}>45{}^\circ $ và $\text{sđ}\overset\frown{CM}<45{}^\circ $, do đó $\text{sđ}\overset\frown{AM}>\text{sđ}\overset\frown{CM}$ hay $\widehat {ACM} > \widehat {CAM}$

Xét tam giác ACM có $\widehat {ACM} > \widehat {CAM}$ nên $AM > CM$.

Xét (O) có: $\widehat {CAM}$ là góc nội tiếp chắn cung CM nên $\widehat{CAM}\text{=}\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{CM}$; $\widehat {COM}$ là góc ở tâm chắn cung CM nên $\widehat{COM}\text{=sđ}\overset\frown{CM}$. Do đó $\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}$.

c) Diện tích tam giác MAC là $S = \frac{1}{2}AC.MN$.

Mà AC cố định nên S lớn nhất khi MN lớn nhất.

Do $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}$ nên $\widehat {COD} = \widehat {AOD}$ ( do đây là 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau của (O)) nên OD (hay OK) là tia phân giác của góc COA.

Mặt khác $AO = CO$ (cũng bằng bán kính (O)) nên tam giác ACO cân tại O, do đó đường phân giác OK đồng thời là đường cao, hay $OK \bot AC$.

Ta lại có $MN + OK \le OM$và $OM = OD = DK + OK$ nên $MN \le DK$.

Do DK không đổi nên MN lớn nhất khi $MN = DK$ hay M là điểm chính giữa cung AC.

Vậy diện tích $\Delta MAC$lớn nhất bằng $\frac{1}{2}AC.DK$ khi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 56 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Thành phố Hồ Chí Minh có vĩ độ là 10°10′ Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Xích Đạo (làm tròn kết quả đến hàng trăm của kilômét), biết mỗi kinh tuyến là một nửa vòng Trái Đất và có độ dài khoảng 20 000 km.
Giải bài 57 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat A = \widehat B = 90^\circ $) với $\widehat C = 30^\circ $, BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.
Giải bài 58 trang 125 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; R), (O; r) với $R + r = 1,2dm$, $R > r$và diện tích hình vành khuyên đó là 1,5072 dm2 (Hình 55). Tính R và r, $\pi \approx 3,14$.
Giải bài 59 trang 125 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Tam giác Reuleaux là hình tạo nên từ phần giao nhau của ba đường tròn cùng bán kính, tâm của mỗi đường tròn chính là giao điểm của hai đường tròn còn lại. Tạo tam giác Reuleaux từ ba đường tròn (A), (B), (C) (Hình 56). Tính số đo các cung nhỏ BaC, CbA, AcB của tam giác Reuleaux. Nêu nhận xét về số đo của các cung tròn đó.
Giải bài 60 trang 125 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn sao cho độ dài cung nhỏ AB bằng $\frac{{5\pi R}}{6}$ a) Xác định điểm C trên cung lớn AB sao cho khi kẻ CH vuông góc với AB tại H thì AH = CH. b) Tính độ dài các cung AC, BC theo R. c) Kẻ OK vuông góc với AB tại K, tia OK cắt đường tròn (O) tại E. Tính diện tích hình quạt tròn EOB (giới hạn bởi cung nhỏ BE và hai bán kính OE, OB) theo R. d) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích hình quạt tròn BOC (giới hạn bởi cung nhỏ BC và hai bán
Giải bài 54 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho $\widehat {BAD} = \widehat {CAM}$. a) Chứng minh $\widehat {ADB} = \widehat {CDM}$. b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết $BC = R\sqrt 2 $.
Giải bài 53 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C' và B'. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A' (Hình 53). a) Chứng minh AA' là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). b) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ và diện tích tam giác AB'C'.
Giải bài 52 trang 123 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D. a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O). b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải bài 51 trang 123 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (O; 12 cm) và (O; 7 cm) là: A. 95π cm2. B. 193π cm2. C. 5π cm2. D. 19π cm2.
Giải bài 50 trang 123 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Trong 20 giây, bánh xe của một chiếc xe máy quay được 80 vòng. Độ dài bán kính của bánh xe đó là 25 cm. Khi đó, quãng đường xe máy đi được trong 3 phút là: A. 36 000$\pi $ m. B. 360$\pi $ m. C. 18 000$\pi $ m. D. 180$\pi $ m.
Giải bài 49 trang 123 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R) cắt nhau tại hai điểm M, N với OO' = 24cm và MN = 10 cm (Hình 52). Khi đó, R bằng A. 26 cm. B. 13 cm. C. 14 cm. D. 34 cm
Giải bài 48 trang 123 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Ở Hình 5, cho hai hình chóp tứ giác đều S.ABCD và S’.A’B’C’D’ có cùng chiều cao SH= S’H = 30 cm. Thể tích của hình chóp S.ABCD nhỏ hơn thể tích của hình chóp S’A’B’C’D' là 240 cm3. Tính độ dài cạnh đáy của mỗi hình chóp, biết $A'B' - AB = 2$cm.
Giải bài 47 trang 123 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 1). Khi đó, đường tròn (A;1) A. Tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy tại 2 điểm phân biệt. B. Tiếp xúc với trục Oy và cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt. C. Tiếp xúc với cả hai trục Ox và trục Oy. D. Đi qua gốc toạ độ O.