Giải bài 55 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1


Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC. a) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}\). b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh \(AM > CM\)và \(\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}\). c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

a) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}\).

b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh \(AM > CM\)và \(\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}\).

c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Tính số đo các cung CB, CA, CD, AD và từ đó tính được số đo các góc ABC, CAB, COD.

Bước 2: Tính góc ACO (tổng 3 góc trong tam giác ACO).

b) Bước 1: So sánh số đo cung AM và CM, từ đó suy ra \(\widehat {ACM} > \widehat {CAM}\).

Bước 2: Dựa vào mỗi quan hệ giữ góc và cạnh đối diện trong tam giác ACM để so sánh AM, CM.

c) Biểu diễn diện tích tam giác MAC: \(S = \frac{1}{2}AC.MN\)

Ta dự đoán diện tích tam giác MAC khi M là điểm chính giữa của cung AC nên ta chứng minh \(MN \le DK\).

Lời giải chi tiết

Gọi K là giao điểm của AC và OD, kẻ MN vuông góc với AC tại N.

a) Vì C điểm chính giữa của cung AB nên $\text{sđ}\overset\frown{CB}=\text{sđ}\overset\frown{CA}=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{AB}=\frac{1}{2}.180{}^\circ =90{}^\circ $ (do AB là cung chắn nửa đường tròn nên có số đo là 180⁰),

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)(do \(\widehat {BAC}\)và \(\widehat {ABC}\)là các góc nội chắn các cung bằng nhau) (1) và \(\widehat {COA} = 90^\circ \)(góc ở tâm chắn cung AC).

Do D là điểm chính giữa của cung AC nên $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{AC}=\frac{1}{2}.90{}^\circ =45{}^\circ $

Suy ra \(\widehat {COD} = 45^\circ \) (do \(\widehat {COD}\) là góc ở tâm chắc cung DC)(2)

Xét tam giác ABC có: \(\widehat {ACO} = 180^\circ  - \widehat {CAO} - \widehat {COA} = 180^\circ  - 45^\circ  - 90^\circ  = 45^\circ \) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}\left( { = 45^\circ } \right)\).

b) Do M thuộc cung nhỏ DC và $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}=45{}^\circ $, mà $\text{sđ}\overset\frown{AM}=\text{sđ}\overset\frown{AD}\text{+sđ}\overset\frown{DM}=45{}^\circ \text{+sđ}\overset\frown{DM}$

Nên $\text{sđ}\overset\frown{AM}>45{}^\circ $ và $\text{sđ}\overset\frown{CM}<45{}^\circ $, do đó $\text{sđ}\overset\frown{AM}>\text{sđ}\overset\frown{CM}$ hay \(\widehat {ACM} > \widehat {CAM}\)

Xét tam giác ACM có \(\widehat {ACM} > \widehat {CAM}\) nên \(AM > CM\).

Xét (O) có: \(\widehat {CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM nên $\widehat{CAM}\text{=}\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{CM}$; \(\widehat {COM}\) là góc ở tâm chắn cung CM nên $\widehat{COM}\text{=sđ}\overset\frown{CM}$. Do đó \(\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}\).

c) Diện tích tam giác MAC là \(S = \frac{1}{2}AC.MN\).

Mà AC cố định nên S lớn nhất khi MN lớn nhất.

Do $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}$ nên \(\widehat {COD} = \widehat {AOD}\) ( do đây là 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau của (O)) nên OD (hay OK) là tia phân giác của góc COA.

Mặt khác \(AO = CO\) (cũng bằng bán kính (O)) nên tam giác ACO cân tại O, do đó đường phân giác OK đồng thời là đường cao, hay \(OK \bot AC\).

Ta lại có \(MN + OK \le OM\)và \(OM = OD = DK + OK\) nên \(MN \le DK\).

Do DK không đổi nên MN lớn nhất khi \(MN = DK\) hay M là điểm chính giữa cung AC.

Vậy diện tích \(\Delta MAC\)lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}AC.DK\) khi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 56 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Thành phố Hồ Chí Minh có vĩ độ là 10°10′ Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Xích Đạo (làm tròn kết quả đến hàng trăm của kilômét), biết mỗi kinh tuyến là một nửa vòng Trái Đất và có độ dài khoảng 20 000 km.

  • Giải bài 57 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho hình thang vuông ABCD (\(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \)) với \(\widehat C = 30^\circ \), BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

  • Giải bài 58 trang 125 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; R), (O; r) với \(R + r = 1,2dm\), \(R > r\)và diện tích hình vành khuyên đó là 1,5072 dm2 (Hình 55). Tính R và r, \(\pi \approx 3,14\).

  • Giải bài 59 trang 125 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Tam giác Reuleaux là hình tạo nên từ phần giao nhau của ba đường tròn cùng bán kính, tâm của mỗi đường tròn chính là giao điểm của hai đường tròn còn lại. Tạo tam giác Reuleaux từ ba đường tròn (A), (B), (C) (Hình 56). Tính số đo các cung nhỏ BaC, CbA, AcB của tam giác Reuleaux. Nêu nhận xét về số đo của các cung tròn đó.

  • Giải bài 60 trang 125 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn sao cho độ dài cung nhỏ AB bằng \(\frac{{5\pi R}}{6}\) a) Xác định điểm C trên cung lớn AB sao cho khi kẻ CH vuông góc với AB tại H thì AH = CH. b) Tính độ dài các cung AC, BC theo R. c) Kẻ OK vuông góc với AB tại K, tia OK cắt đường tròn (O) tại E. Tính diện tích hình quạt tròn EOB (giới hạn bởi cung nhỏ BE và hai bán kính OE, OB) theo R. d) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích hình quạt tròn BOC (giới hạn bởi cung nhỏ BC và hai bán

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí