Giải bài 52 trang 123 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1


Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D. a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O). b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Đề bài

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O).

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(BD = BH\)và \(CA = AH\), từ đó tính được\(AC + BD\).

b) Bước 1: Chứng minh C, M, D thẳng hàng.

Bước 2:  Chứng minh \(\widehat {AMO} = \widehat {MAC}\left( { = \widehat {MAO}} \right)\).

Bước 3: Chỉ ra \(\widehat {AMO} + \widehat {CMA} = \widehat {CMO} = 90^\circ \), từ đó suy ra \(MO \bot CD\).

Lời giải chi tiết

a) Do H là điểm tiếp xúc của (M) và AB nên BH, AH là tiếp tuyến của (M).

Ta có: BD, DH là 2 tiếp tuyến của (M) cắt nhau tại B nên \(BD = BH\).

Ta lại có: AC, HA là 2 tiếp tuyến của (M) cắt nhau tại A nên \(CA = AH\).

Suy ra \(AC + BD = AH + BH = AB\). Mà AB không đổi (là bán kính của (O)) nên AC + BD không đổi.

b) Vì AC, HA là 2 tiếp tuyến của (M) nên \(\widehat {AMC} = \widehat {AMH}\), BD, DH là 2 tiếp tuyến của (M) nên \(\widehat {BMH} = \widehat {DMB}\).

Mà góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {AMH} + \widehat {BMH} = \widehat {AMC} + \widehat {DMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \),

suy ra \(\widehat {AMH} + \widehat {BMH} + \widehat {AMC} + \widehat {DMB} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) hay C,M,D thẳng hàng.

Ta có \(\Delta AMO\) cân tại O (do MO, AO là bán kính (O)) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {MAO}\).

Mặt khác \(\widehat {MAO} = \widehat {MAC}\) (do AC, AH là tiếp tuyến (M)) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {MAO} = \widehat {MAC}\)

mà \(\widehat {MAC} + \widehat {CMA} = 90^\circ \)(\(\Delta CAM\) vuông) nên \(\widehat {AMO} + \widehat {CMA} = \widehat {CMO} = 90^\circ \), suy ra \(MO \bot CM\)

hay \(MO \bot CD\).

Mà OM là bán kính (O), vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 53 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C' và B'. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A' (Hình 53). a) Chứng minh AA' là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). b) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ và diện tích tam giác AB'C'.

  • Giải bài 54 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\). a) Chứng minh \(\widehat {ADB} = \widehat {CDM}\). b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết \(BC = R\sqrt 2 \).

  • Giải bài 55 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC. a) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}\). b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh \(AM > CM\)và \(\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}\). c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

  • Giải bài 56 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Thành phố Hồ Chí Minh có vĩ độ là 10°10′ Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Xích Đạo (làm tròn kết quả đến hàng trăm của kilômét), biết mỗi kinh tuyến là một nửa vòng Trái Đất và có độ dài khoảng 20 000 km.

  • Giải bài 57 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho hình thang vuông ABCD (\(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \)) với \(\widehat C = 30^\circ \), BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí