Giải bài 53 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1


Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C' và B'. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A' (Hình 53). a) Chứng minh AA' là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). b) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ và diện tích tam giác AB'C'.

Đề bài

Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C' và B'. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A' (Hình 53).

a) Chứng minh AA' là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).

b) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ và diện tích tam giác AB'C'.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Chứng minh A thuộc đường trung trực của BC (do \(AB = AC\)).

Bước 2: Chứng minh \(A'\) thuộc đường trung trực của BC (do\(BA' = CA'\)).

b) Bước 1: Tính \(AA'\): Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \(AA'B\).

Bước 2: Chứng minh \(B'C'//BC\) (áp dụng định lý Thales trong tam giác ABC), từ đó tính được B’C’.

Bước 3:  Áp dụng định lý Thales trong tam giác ACA’ để tính AH.

Bước 4: Chứng minh \(AH \bot C'B'\) và tính diện tích tam giác AB’C’.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AC' = AB' = 10\)cm (bán kính (A)),

\(BC' = BA' = 15\)cm (bán kính (B)),

\(CA' = CB' = 15\)cm (bán kính (C)).

Do \(AB = BC' + AC' = 15 + 10 = 25\)cm và \(AC = CB' + AB' = 15 + 10 = 25\)cm nên \(AB = AC\), do đó A thuộc đường trung trực của BC.

Mà \(BA' = CA' = 15\)cm nên \(A'\) thuộc đường trung trực của BC.

Suy ra \(AA'\) đường trung trực của BC, nên \(AA' \bot BC\) tại A’

Vậy \(AA'\) là tiếp tuyến chung của (B) và (C).

b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AA'B\) có:

\(AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}}  = \sqrt {{{25}^2} - 15{'^2}}  = 20\)cm.

Gọi H là giao điểm của AA’ và B’C’.

Ta có \(BC = BA' + CA' = 15 + 15 = 30\)cm.

Xét tam giác ABC có \(\frac{{AC'}}{{AB}} = \frac{{AB'}}{{AC}} = \frac{{10}}{{25}}\) nên \(B'C'//BC\) (định lý Thales đảo).

Do đó \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{AB'}}{{AC}}\) hay \(B'C' = \frac{{BC.AB'}}{{AC}} = \frac{{30.10}}{{25}} = 12\)cm.

Xét tam giác ACA’ có \(HB'//CA'\) nên \(\frac{{AH}}{{AA'}} = \frac{{AB'}}{{AC}}\) (định lý Thales) hay \(AH = \frac{{AB'.AA'}}{{AC}} = \frac{{10.20}}{{25}} = 8\)cm.

Ta có \(B'C'//BC,AA' \bot BC\) nên \(B'C' \bot AA'\) hay \(AH \bot C'B'\).

Diện tích tam giác \(AB'C'\) là \(\frac{1}{2}B'C'.AH = \frac{1}{2}.12.8 = 48\)cm2.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 54 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\). a) Chứng minh \(\widehat {ADB} = \widehat {CDM}\). b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết \(BC = R\sqrt 2 \).

  • Giải bài 55 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC. a) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}\). b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh \(AM > CM\)và \(\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}\). c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

  • Giải bài 56 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Thành phố Hồ Chí Minh có vĩ độ là 10°10′ Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Xích Đạo (làm tròn kết quả đến hàng trăm của kilômét), biết mỗi kinh tuyến là một nửa vòng Trái Đất và có độ dài khoảng 20 000 km.

  • Giải bài 57 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho hình thang vuông ABCD (\(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \)) với \(\widehat C = 30^\circ \), BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

  • Giải bài 58 trang 125 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; R), (O; r) với \(R + r = 1,2dm\), \(R > r\)và diện tích hình vành khuyên đó là 1,5072 dm2 (Hình 55). Tính R và r, \(\pi \approx 3,14\).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí