Giải bài 42 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1


Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho \(\widehat {MAP} = 60^\circ \) (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.

Đề bài

Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho \(\widehat {MAP} = 60^\circ \) (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Độ dài dây curoa = độ dài cung lớn MP + độ dài cung nhỏ NQ + MN + PQ

Bước 1: Áp dụng lý thuyết về tổng 4 góc trong tứ giác để tính số đo góc MOP và góc NO’Q, từ đó suy ra số đo cung lớn MP và cung nhỏ NQ.

Bước 2: Áp dụng công thức \(l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}\) để tính độ dài 2 cung trên.

Bước 3: Chứng minh \(MN = PQ\), tính \(MN = AM - AN = OM.\cot \widehat {OAM} - O'N.\cot \widehat {OAM}\).

Lời giải chi tiết

Do AM, AP là tiếp tuyến của (O) nên \(MA = PA\) và \(OM \bot MA,OP \bot PA\), do đó \(\widehat M = \widehat P = 90^\circ \) và AO là tia phân giác của góc MAP nên \(\widehat {MAO} = \widehat {PAO} = \frac{{\widehat {MAP}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Do AN, AQ là tiếp tuyến của (O’) nên \(NA = QA\) và \(O'N \bot NA,O'Q \bot QA\), do đó \(\widehat {O'NA} = \widehat {O'QA} = 90^\circ \) và AO’ là tia phân giác của góc NAQ nên \(\widehat {NAO'} = \widehat {QAO'} = \frac{{\widehat {NAQ}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Xét tứ giác OMAP có \(\widehat {MOP} + \widehat M + \widehat {MAP} + \widehat P = 360^\circ \) nên \(\widehat {MOP} = 360^\circ  - \left( {\widehat M + \widehat {MAP} + \widehat P} \right)\)\( = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 60^\circ  + 90^\circ } \right) = 120^\circ \), suy ra số đo cung nhỏ MP là 120⁰

Số đo cung lớn MP là \(360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ \) và có độ dài là \({l_1} = \frac{{\pi .4a.240}}{{180}} = \frac{{16\pi a}}{3}\)

Xét tứ giác O’NAQ có \(\widehat {NO'Q} + \widehat {O'NA} + \widehat {O'QA} + \widehat {NAQ} = 360^\circ \) nên \(\widehat {NO'Q} = 360^\circ  - \left( {\widehat {O'NA} + \widehat {O'QA} + \widehat {NAQ}} \right)\) \( = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ  + 60^\circ } \right) = 120^\circ \), suy ra số đo cung nhỏ NQ là 120⁰ và có độ dài là \({l_2} = \frac{{\pi .a.120}}{{180}} = \frac{{2\pi a}}{3}\)

Ta có: \(MN = MA - NA;PQ = PA - QA\), mà \(MA = PA;NA = QA\) suy ra \(MN = PQ\).

Xét tam giác OAM vuông tại M có:

\(MA = OM.\cot \widehat {OAM} = a.\cot 30^\circ  = 4a\sqrt 3 \).

Xét tam giác O’AN vuông tại N có:

\(NA = ON.\cot O'AN = a.\cot 30^\circ  = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(MN = PQ = MA - NA = 4a\sqrt 3  - a\sqrt 3  = 3\sqrt 3 a\)

Độ dài dây Curoa mắc qua 2 ròng rọc là:

\(\frac{{16\pi a}}{3} + \frac{{2\pi a}}{3} + 3\sqrt 3 a + 3\sqrt 3 a = 6a\left( {\pi  + \sqrt 3 } \right)\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 43 trang 122 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 10cm. Vẽ hai nửa đường tròn tâm O đường kính AB và tâm O’ đường kính CD cắt nhau tại P, Q. Biết rằng đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB và CD (Hình 47). Tính diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O), (O’).

  • Giải bài 44 trang 122 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Bác Long dự định mua gỗ để làm một mặt bàn. Mặt bàn có dạng ở giữa là hình chữ nhật với chiều rộng 1,2 m, chiều dài 1,8 m và hai đầu là hai nửa hình tròn có đường kính là chiều rộng của hình chữ nhật như Hình 48.

  • Giải bài 45 trang 122 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Hình 49 mô tả mặt cắt của một chi tiết máy ép nhựa có dạng ở giữa là nửa hình vành khuyên giới hạn bởi hai nửa đường tròn (O; 15 cm), (O; 10 cm) và hai đầu là hai hình chữ nhật có chiều dài 15 cm, chiều rộng 5 cm. Tính diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimét vuông).

  • Giải bài 46 trang 122 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho đường tròn tâm O bán kính OM = 8 cm. Gọi O' là trung điểm của đoạn thẳng OM, vẽ đường tròn tâm O' bán kính 16 cm. Trong đường tròn (O), kẻ dây AB đi qua O', vuông góc với OM và đường kính CD song song với AB (Hình 50). Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của centimét vuông): a) Diện tích phần hình giới hạn bởi dây AB, cung nhỏ AD, đường kính CD và cung nhỏ BC của đường tròn (O); b) Diện tích của phần tô màu xám.

  • Giải bài 41 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S3 là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S1 + S2 = S3.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí