Giải bài 13 trang 25 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE.

a) Xác định ảnh của các điểm D và C quay phép quay tâm A với góc quay \(\varphi = 60^\circ .\)

b) Chứng minh rằng DC = BE.

c) Chứng minh rằng số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào kiến thức phép quay:

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.

Lời giải chi tiết

a) + Vì tam giác ABD đều nên AD = AB và \(\widehat {DAB} = 60^\circ \).

Phép quay với góc quay φ = 60° có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ. Do đó, ảnh của điểm D phép quay tâm A với góc quay \(\varphi = 60^\circ \) là điểm B.

+ Vì tam giác ACE đều nên AC = AE và \(\widehat {CAE} = 60^\circ \).

Do đó, ảnh của điểm C phép quay tâm A với góc quay \(\varphi = 60^\circ \) là điểm E.

b) Theo câu a) ta có B và E lần lượt là ảnh của D và C qua phép quay tâm A với góc quay \(\varphi = 60^\circ \), suy ra DC = BE (phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì).

c) Gọi O là giao điểm của DC và BE, I là giao điểm của AB và DC.

Ta có phép quay tâm A với góc quay φ = 60° biến góc ADC thành góc ABE nên \(\widehat {ADC} = \widehat {ABE}\) hay \(\widehat {ADI} = \widehat {IBO}\).

Mà \(\widehat {AID} = \widehat {BIO}\) (2 góc đối đỉnh), \(\widehat {ADI} + \widehat {AID} + \widehat {DAI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác ADI) và \(\widehat {IBO} + \widehat {BIO} + \widehat {IOB} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác IBO).

Từ đó suy ra \(\widehat {DAI} = \widehat {IOB}\) hay \(\widehat {DOB} = \widehat {DAB} = 60^\circ \).

Như vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 14 trang 25 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(0; 6), B(6; 3) và điểm M thuộc trục hoành.
Giải bài 15 trang 25 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì F lần lượt biến trọng tâm, trực tâm
Giải bài 12 trang 25 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Quan sát Hình 45. Xác định các phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A1B1C1, tam giác A1B1C1 thành tam giác A2B2C2, tam giác A2B2C2 thành tam giác A3B3C3.
Giải bài 11 trang 25 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Hình 44 mô tả một viên gạch trang trí hình tam giác đều. Xác định phép quay biến:
Giải bài 10 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xác định một phép dời hình biến:
Giải bài 9 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Quan sát Hình 43 và chỉ ra:
Giải bài 8 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Quan sát Hình 42 và chỉ ra hai phép dời hình (phân biệt) biến mỗi tam giác được tô màu thành tam giác cùng màu với nó.
Giải bài 7 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Hình 41 là hình viên gạch men.
Giải bài 6 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Trong Hình 40, hình màu xanh là ảnh của hình màu cam qua một phép quay. Xác định tâm và góc quay của phép quay đó.
Giải bài 5 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Cho hai đường tròn (O1; R) và (O2; R) tiếp xúc ngoài với nhau tại A (Hình 39).
Giải bài 4 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Xét phép đối xứng tâm O, xác định ảnh của:
Giải bài 3 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Cho hai đường thẳng d và d' song song với nhau.
Giải bài 2 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Phép đối xứng tâm có là phép quay hay không? Vì sao?
Giải bài 1 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Giải mục 6 trang 21, 22 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều
Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:
Giải mục 5 trang 17, 18, 19, 20 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).
Giải mục 4 trang 14, 15, 16 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều
Trong mặt phẳng cho điểm I. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM' (hay M' là điểm đối xứng với M qua điểm I) (Hình 18).
Giải mục 3 trang 10, 11, 12, 13 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều
Trong mặt phẳng cho đường thẳng d.
Giải mục 2 trang 6, 7, 8, 9 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều
Cho vectơ (vec u) và điểm M trong mặt phẳng.
Giải mục 1 trang 5, 6 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều
Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d (Hình 2).
Giải khởi động trang 5 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều
Thang băng chuyền tải khách (Hình 1) là loại thang máy không có bậc thang, tốc độ di chuyển vừa phải, thường được sử dụng ở những nơi công cộng như khu trung tâm thương mại, sân bay, siêu thị, ...