Đề thi thử THPTQG - Đề số 1
Đề bài
Cho x>0; \(x \ne 1\) thỏa mãn biểu thức $\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{2017}}x}} = M$ . Khi đó $x$ bằng:
-
A.
\(x = \sqrt[M]{{2017!}} - 1\)
-
B.
\(x = \sqrt[M]{{2018!}}\)
-
C.
\(x = \sqrt[M]{{2016!}}\)
-
D.
\(x = \sqrt[M]{{2017!}}\)
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu:
-
A.
\(OM = R\)
-
B.
\(OM \le R\)
-
C.
\(OM < R\)
-
D.
\(OM > R\)
Các đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$ và $y = - {x^2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
A.
$4$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
$2$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm:
-
A.
$x = 2$
-
B.
$x = 0$
-
C.
$x = 3$
-
D.
$x = - 1$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x+y+z-5=0\) và \(\left( Q \right):x+2y+z-4=0.\) Khi đó, giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có phương trình là
-
A.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..\)
-
B.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
-
C.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-\,1+t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..\)
-
D.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):x + y + z - 10 = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
$d$ nằm trong $(P)$
-
B.
$d$ song song với $(P)$
-
C.
$d$ vuông góc với $(P)$
-
D.
$d$ tạo với $(P)$ một góc nhỏ hơn \({45^0}\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho cho điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 4z - 36 = 0\). Tọa độ hình chiếu \(H\) của \(A\) trên \(\left( P \right)\) là.
-
A.
\(H\left( { - 1; - 2;6} \right)\)
-
B.
\(H\left( {1;2;6} \right)\)
-
C.
\(H\left( {1; - 2;6} \right)\)
-
D.
\(H\left( {1; - 2; - 6} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2;-1)$ và đi qua điểm $A(2;1;2)$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với $(S)$ tại $A$?
-
A.
\(x + y - 3z - 8 = 0\)
-
B.
\(x - y - 3z + 3 = 0\)
-
C.
\(x + y + 3z - 9 = 0\)
-
D.
\(x + y - 3z + 3 = 0\)
Thể tích khối trụ có bán kính \(r = 4cm\) và chiều cao \(h = 5cm\) là:
-
A.
\(40\pi c{m^3}\)
-
B.
\(80\pi c{m^3}\)
-
C.
\(60\pi c{m^3}\)
-
D.
\(100\pi c{m^3}\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2x + \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ là :
-
A.
$ - 1$
-
B.
$1$
-
C.
$\pi $
-
D.
$0$
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r = 3cm\) và độ dài đường sinh \(4cm\) là:
-
A.
\(12({m^2})\)
-
B.
\(12\pi (c{m^3})\)
-
C.
\(12\pi (c{m^2})\)
-
D.
\(4\pi (c{m^2})\)
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = 3x$ và parabol $\left( P \right):y = 2{x^2} + 1$ là:
-
A.
$\left( {1;3} \right)$
-
B.
$\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
-
C.
$\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
-
D.
$\left( { - 1; - 3} \right)$
Giải bất phương trình: $\log _2^2x - 4033{\log _2}x + 4066272 \le 0$ .
-
A.
${\rm{[2016;2017]}}$
-
B.
$\left( {2016;2017} \right)$
-
C.
$\left[ {{2^{2016}};{2^{2017}}} \right]$
-
D.
$\left[ {{2^{2016}}; + \infty } \right)$
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
-
A.
\(y = \sin x - 3x\)
-
B.
\(y = \cos x + 2x\)
-
C.
\(y = {x^3}\)
-
D.
\(y = {x^5}\)
Tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx\) có giá trị là:
-
A.
\(\frac{{19}}{3}\).
-
B.
\(\frac{{32}}{3}\).
-
C.
\(\frac{{16}}{3}\).
-
D.
\(\frac{{21}}{2}\).
Tổng các nghiệm của phương trình \({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81\)
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \(y = 3{x^4}\)?
-
A.
\(y = 12{x^3}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{3{x^5}}}{5} - 1\)
-
C.
\(y = \dfrac{{3{x^5} + 1}}{5}\)
-
D.
\(y = \dfrac{3}{5}{x^5} - \dfrac{3}{5}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Điểm thuộc mặt cầu thì thuộc khối cầu.
-
B.
Điểm thuộc khối cầu thì thuộc mặt cầu
-
C.
Điểm nằm ngoài mặt cầu thì thuộc khối cầu
-
D.
Điểm nằm ngoài khối cầu thì thuộc mặt cầu
Hàm số nào dưới đây có tập xác định \(\mathbb{R}\)?
-
A.
\(y = \dfrac{{x - 1}}{x}\)
-
B.
\(y = {x^3}\)
-
C.
\(y = \sqrt {x - 1} \)
-
D.
\(y = \dfrac{{{x^3}}}{x}\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - mx + 1$ đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right).$
-
A.
$m \ge 0.$
-
B.
$m \le 3.$
-
C.
$m \ge 3.$
-
D.
$m \le 0.$
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = {x^3} + {x^2} + mx + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$
-
A.
$m \geqslant \dfrac{4}{3}$
-
B.
$m \leqslant \dfrac{4}{3}$
-
C.
$m \geqslant \dfrac{1}{3}$
-
D.
$m \leqslant \dfrac{1}{3}$
Hàm số $y = {x^3} - 3x^2 + 4$ đạt cực tiểu tại:
-
A.
$x = 0$
-
B.
$x = 2$
-
C.
$x = 4$
-
D.
$x = 0$ và $x = 2$
Cho hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6$ với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$.
-
A.
$m > 1$
-
B.
$m < 1$
-
C.
$m > - 1$
-
D.
$m < - 1$
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
-
A.
$M = - 10$
-
B.
$M = - 7$
-
C.
$M = - 5$
-
D.
$M = 1$
Tất cả phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{2x + 3}}$ là:
-
A.
$y = \dfrac{1}{2}$
-
B.
$y = \pm \dfrac{1}{2}$
-
C.
$y = - \dfrac{3}{2},y = 1$
-
D.
$y = 2$
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 2{x^2} - m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm
-
A.
$m < 0$
-
B.
$m > \dfrac{{32}}{{27}}$
-
C.
$m < 0$ hoặc $m > \dfrac{{32}}{{27}}$
-
D.
$0 < m < \dfrac{{32}}{{27}}$
Cho số thực $x$ thỏa mãn ${\log _2}\left( {{{\log }_8}x} \right) = {\log _8}\left( {{{\log }_2}x} \right).$Tính giá trị của $P = {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2}$
-
A.
$P = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
-
B.
$P = \dfrac{1}{3}$
-
C.
$P = 3\sqrt 3 $
-
D.
$P = 27$
Cho $a, b$ là các số thực dương, thỏa mãn \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\) và \({\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
$a>1, 0<b<1 $
-
B.
$0<a<1, 0<b<1$
-
C.
$0<a<1, b>1 $
-
D.
$a>1, b>1$
Tìm $m$ để phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right)$ .
-
A.
$- 13 < m < - 9$
-
B.
$3 < m < 9$
-
C.
$- 9 < m < 3$
-
D.
$- 13 < m < 3$
Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm\(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_3}x + {{\log }_4}x + ... + {{\log }_{19}}x - \log _{20}^2x} \right) = 0\)
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Tính \(I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)
-
A.
\(I = \dfrac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
B.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
C.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
D.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
Tích phân $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} } dx$ có giá trị bằng
-
A.
$4\sqrt 2 $.
-
B.
$3\sqrt 2 $.
-
C.
$\sqrt 2 $.
-
D.
$ - \sqrt 2 $.
Với cách đổi biến \(u=\sqrt{4x+5}\) thì tích phân \(\int\limits_{-\,1}^{1}{x\sqrt{4x+5}\,\text{d}x}\) trở thành
-
A.
\(\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.\)
-
B.
\(\int\limits_{-\,1}^{1}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.\)
-
C.
\(\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{4}\,\text{d}u}.\)
-
D.
\(\int\limits_{1}^{3}{\frac{u\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}x}.\)
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} \). Gọi \(a,b\) là các số nguyên thỏa mãn \(I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(a - b = - 1\)
-
B.
\(a + b = 1\)
-
C.
\(a + b = 2\)
-
D.
\(a - b = 0\)
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục \(Ox\) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1},\) trục hoành và đường thẳng \(x=1\) là
-
A.
\(\pi .3\ln 3.\)
-
B.
\(\pi .\left( 3\ln 3-2 \right).\)
-
C.
\(3\ln 3-1.\)
-
D.
\(\pi .\left( 3\ln 3-1 \right).\)
Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $C$ trên $(ABB’A’)$ là tâm của hình bình hành $ABB’A’$. Thể tích của khối lăng trụ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
Cho hình nón đỉnh $S$, tâm đáy là $O$, góc ở đỉnh là ${135^0}$. Trên đường tròn đáy lấy điểm $A$ cố định và điểm $M$ di động. Tìm số vị trí $M$ để diện tích $SAM$ đạt giá trị lớn nhất
-
A.
Vô số
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Cho mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Hình nón \(N\) có đỉnh \(S\) nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) và có chiều cao \(h\left( {h > R} \right)\). Tìm \(h\) để thể tích khối nón được tạo nên bởi \(\left( N \right)\) có giá trị lớn nhất.
-
A.
\(h = R\sqrt 3 \)
-
B.
\(h = R\sqrt 2 \)
-
C.
\(h = \dfrac{{4R}}{3}\)
-
D.
\(h = \dfrac{{2R}}{3}\)
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng $V$ và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy $R$ bằng:
-
A.
\(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\).
-
B.
\(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}\).
-
C.
\(R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\).
-
D.
\(R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{\pi }}}\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và 2 đường thẳng${d_1}:\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 6}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}};{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 5 - 3t\\z = 4\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng qua $A$ và song song với ${d_1},{d_2}$ là:
-
A.
$3x + y + 2z - 6 = 0$
-
B.
$ - 3x - 2y - z + 10 = 0$
-
C.
$ - 3x - 2y - z + 1 = 0$
-
D.
$3x + 2y + z - 3 = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho các điểm \(A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A,\,\,B\) và \(\left( P \right)\) cách điểm \(O\) một khoảng lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
A.
\(x+2y+6z-7=0.\)
-
B.
\(x+2y+4z-5=0.\)
-
C.
\(x+2y+5z-6=0.\)
-
D.
\(2x+3y+5z-6=0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = - 1\end{array} \right.$, điểm $M\left( {1;2;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - 2z - 1 = 0$. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\), song song với \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(d\) có phương trình:
-
A.
\(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}\)
-
B.
\(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}\)
-
C.
\(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{3}\)
-
D.
\(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
-
A.
$x - 2y + 3z - 2 = 0$
-
B.
$x - 2y - 3z - 2 = 0$
-
C.
$x + 2y - 3z - 6 = 0$
-
D.
$2x - y - 1 = 0$
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( 1;\ 2;\ -1 \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):\ 2x-y+2z-1=0\) theo một đường tròn bán kính bằng \(\sqrt{8}\) có phương trình là:
-
A.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3\)
-
B.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\)
-
C.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\)
-
D.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
-
A.
\(m=-4.\)
-
B.
\(m=0.\)
-
C.
\(m=4.\)
-
D.
\(m=7.\)
Bà Hoa gửi $100$ triệu vào tài khoản định kì tính lãi suất là $8\% $ một năm. Sau 5 năm, bà rút toàn bộ số tiền và dùng một nửa để sửa nhà, còn một nửa tiền bà lại đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
-
A.
$81,412$ triệu
-
B.
$115,892$ triệu
-
C.
$119$ triệu
-
D.
$78$ triệu
Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ
Tìm tất cả các giá trị của $m\;$ để hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có ba điểm cực trị.
-
A.
$m \ge 3$ hoặc $m \le - 1.$
-
B.
$m \ge 1$ hoặc $m \le - 3.$
-
C.
$m = 3$ hoặc $m = - 1.$
-
D.
$1 \le m \le 3.$
Tìm $m$ để phương trình $m\ln \left( {1 - x} \right) - \ln x = m$ có nghiệm \(x \in (0;1)\)
-
A.
$m\in (0;+\infty )$
-
B.
$m\in (1;e)$
-
C.
$m\in (-\infty ;0)$
-
D.
$m\,\in (-\infty ;-1)$
Bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} \geqslant 2\sqrt 3 $ có tập nghiệm là $\left[ {a;b} \right].$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?
-
A.
$5$
-
B.
$ - 2$
-
C.
$4$
-
D.
$3$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1),B( - 2;1;3),C(2; - 1;1),D(0;3;1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ sao cho $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ là:
-
A.
$4x + 2y - 7z - 1 = 0$
-
B.
$4x - 2y + 7z - 7 = 0$
-
C.
$4x + 2y + 7z - 15 = 0$
-
D.
$4x + 2y + 7z + 15 = 0$
Lời giải và đáp án
Cho x>0; \(x \ne 1\) thỏa mãn biểu thức $\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{2017}}x}} = M$ . Khi đó $x$ bằng:
-
A.
\(x = \sqrt[M]{{2017!}} - 1\)
-
B.
\(x = \sqrt[M]{{2018!}}\)
-
C.
\(x = \sqrt[M]{{2016!}}\)
-
D.
\(x = \sqrt[M]{{2017!}}\)
Đáp án : D
Biến đổi phương trình về phương trình logarit cơ bản.
Sử dụng công thức ${\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}$
\( \begin{array}{l} VT= {\log _x}2 + {\log _x}3 + {\log _x}4 + ... + {\log _x}2017 = {\log _x}(2.3.4...2017)\\ \Rightarrow {x^M} = 2017! \Rightarrow x = \sqrt[M]{{2017!}}\end{array}\)
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu:
-
A.
\(OM = R\)
-
B.
\(OM \le R\)
-
C.
\(OM < R\)
-
D.
\(OM > R\)
Đáp án : A
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu \(OM = R\).
Các đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$ và $y = - {x^2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
A.
$4$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
$2$
Đáp án : D
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
- Giải phương trình tìm nghiệm và kết luận.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:
$\begin{gathered}{x^4} - 2{x^2} + 2 = - {x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^2} = - 1 < 0(L) \hfill \\ {x^2} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} $
Như vậy hai đồ thị có $2$ giao điểm.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm:
-
A.
$x = 2$
-
B.
$x = 0$
-
C.
$x = 3$
-
D.
$x = - 1$
Đáp án : A
+) Hàm số đạt điểm cực trị tại $x = {x_0}$ khi $x = {x_0}$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$ .
+) Hàm số đạt cực đại tại $x = {x_0}$ khi tại $x = {x_0}$ hàm số đổi dấu từ dương sang âm.
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2.$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x+y+z-5=0\) và \(\left( Q \right):x+2y+z-4=0.\) Khi đó, giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có phương trình là
-
A.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..\)
-
B.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
-
C.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-\,1+t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..\)
-
D.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
Đáp án : D
Ứng dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai mặt phẳng
Ta có : \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;\ 1;\ 1 \right),\ \ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right).\)
Gọi \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \\ & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}};{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]=\)\(\left( -\,1;-\,2;5 \right)\)
Xét hệ \(\left\{ \begin{align} & 3x+y+z-5=0 \\ & x+2y+z-4=0 \\ \end{align} \right.,\)
Chọn \(x = 0 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y + z = 5\\
2y + z = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - \,1\\
z = 6
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1;6} \right) \in d.\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):x + y + z - 10 = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
$d$ nằm trong $(P)$
-
B.
$d$ song song với $(P)$
-
C.
$d$ vuông góc với $(P)$
-
D.
$d$ tạo với $(P)$ một góc nhỏ hơn \({45^0}\)
Đáp án : D
Tìm số giao điểm của $(d)$ và $(P)$
Giả sử $M$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$.
Lấy \(M \in (d) \Rightarrow M\left( {2t;1 - t;3 + t} \right)\)
Vì \(M \in (P) \Rightarrow 2t + 1 - t + 3 + t - 10 = 0 \Leftrightarrow 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)
Suy ra ta có \(M\left( {6; - 2;6} \right)\), suy ra $d$ cắt $(P)$ tại $1$ điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.
Mặt khác giả sử $d \bot (P) \Rightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{1}$(vô lý). Do đó loại C
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho cho điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 4z - 36 = 0\). Tọa độ hình chiếu \(H\) của \(A\) trên \(\left( P \right)\) là.
-
A.
\(H\left( { - 1; - 2;6} \right)\)
-
B.
\(H\left( {1;2;6} \right)\)
-
C.
\(H\left( {1; - 2;6} \right)\)
-
D.
\(H\left( {1; - 2; - 6} \right)\)
Đáp án : C
- Viết phương trình đường thẳng qua \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\).
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 5;4} \right)\).
Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 5;4} \right)\).
Do đó \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\).
Khi đó tọa độ hình chiếu \(H\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\\2x - 5y + 4z - 36 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1; - 2;6} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2;-1)$ và đi qua điểm $A(2;1;2)$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với $(S)$ tại $A$?
-
A.
\(x + y - 3z - 8 = 0\)
-
B.
\(x - y - 3z + 3 = 0\)
-
C.
\(x + y + 3z - 9 = 0\)
-
D.
\(x + y - 3z + 3 = 0\)
Đáp án : D
Dựa vào điều kiện $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA \bot (P)\\A \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k.\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {{n_P}} \\A \in (P)\end{array} \right.$.
Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {1;1; - 3} \right)\).
Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$.
$ \Leftrightarrow IA \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {{n_P}} $.
Do đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng \(x + y - 3z + d = 0\)(*).
Mặt khác, vì \(A \in (P)\) nên ta có \(2 + 1 - 3.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 3\)
Vậy ta có \((P): x + y - 3z + 3 = 0\)
Thể tích khối trụ có bán kính \(r = 4cm\) và chiều cao \(h = 5cm\) là:
-
A.
\(40\pi c{m^3}\)
-
B.
\(80\pi c{m^3}\)
-
C.
\(60\pi c{m^3}\)
-
D.
\(100\pi c{m^3}\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h\).
Ta có: \(V = \pi {r^2}h = \pi {.4^2}.5 = 80\pi c{m^3}\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2x + \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ là :
-
A.
$ - 1$
-
B.
$1$
-
C.
$\pi $
-
D.
$0$
Đáp án : B
+) Giải phương trình $y' = 0 \Rightarrow $ các nghiệm ${x_i} \in \left[ {0;1} \right]$.
+) Tính các giá trị $y\left( {{x_i}} \right);y\left( 0 \right);y\left( 1 \right)$.
+) So sánh các giá trị vừa tính và kết luận
$\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \max \left\{ {y\left( {{x_i}} \right);y\left( 0 \right);y\left( 1 \right)} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \min \left\{ {y\left( {{x_i}} \right);y\left( 0 \right);y\left( 1 \right)} \right\}$
Ta có $y' = 2 - \sin x > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Rightarrow $ Hàm số luôn đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$
$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1$.
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r = 3cm\) và độ dài đường sinh \(4cm\) là:
-
A.
\(12({m^2})\)
-
B.
\(12\pi (c{m^3})\)
-
C.
\(12\pi (c{m^2})\)
-
D.
\(4\pi (c{m^2})\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi rl\).
Áp dụng công thức \({S_{xq}} = \pi rl\) ta được: \({S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = 3x$ và parabol $\left( P \right):y = 2{x^2} + 1$ là:
-
A.
$\left( {1;3} \right)$
-
B.
$\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
-
C.
$\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
-
D.
$\left( { - 1; - 3} \right)$
Đáp án : C
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.
- Bước 2: Giải phương trình tìm $x$, rồi từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.
Phương trình hoành độ $2{x^2} + 1 = 3x$.
$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow y = 3 \hfill \\ x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy có hai giao điểm là $\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.
Giải bất phương trình: $\log _2^2x - 4033{\log _2}x + 4066272 \le 0$ .
-
A.
${\rm{[2016;2017]}}$
-
B.
$\left( {2016;2017} \right)$
-
C.
$\left[ {{2^{2016}};{2^{2017}}} \right]$
-
D.
$\left[ {{2^{2016}}; + \infty } \right)$
Đáp án : C
Giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ.
Điều kiện: $x>0$
Đặt $t = {\log _2}x$
BPT $ \Leftrightarrow {t^2} - 4033t + 4066272 \le 0$
$ \Leftrightarrow 2016 \le t \le 2017$
=>$2016 \le {\log _2}x \le 2017$
$ \Leftrightarrow {2^{2016}} \le x \le {2^{2017}}$
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
-
A.
\(y = \sin x - 3x\)
-
B.
\(y = \cos x + 2x\)
-
C.
\(y = {x^3}\)
-
D.
\(y = {x^5}\)
Đáp án : A
+) Xét các hàm số theo từng đáp án.
+) Hàm số nào có $y' \ge 0$ với mọi $x \in R$ thì hàm số đó đồng biến trên R.
+) Xét đáp án A:$y = \sin x - 3x$ có: $y' = \cos x - 3.$
Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{cosx\;}} - 3 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R \Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $R.$
Vậy hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.
+) Xét đáp án B: $y = \cos x + 2x$ có: $y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2.$
Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
+) Xét đáp án C: $y'=3x^2\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.
+) Xét đáp án D: $y'=5x^4\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.
Vậy chỉ có hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.
Tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx\) có giá trị là:
-
A.
\(\frac{{19}}{3}\).
-
B.
\(\frac{{32}}{3}\).
-
C.
\(\frac{{16}}{3}\).
-
D.
\(\frac{{21}}{2}\).
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính nguyên hàm hàm lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} \)
Ta có: $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx = \left. {\dfrac{{{x^6}}}{6}} \right|_1^2 = \dfrac{{21}}{2}$.
Tổng các nghiệm của phương trình \({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81\)
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : A
Đưa hai vế về dạng hai lũy thừa cùng cơ số.
\({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Tổng các nghiệm sẽ bằng $0$.
Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \(y = 3{x^4}\)?
-
A.
\(y = 12{x^3}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{3{x^5}}}{5} - 1\)
-
C.
\(y = \dfrac{{3{x^5} + 1}}{5}\)
-
D.
\(y = \dfrac{3}{5}{x^5} - \dfrac{3}{5}\)
Đáp án : A
\(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Quan sát các đáp án ta thấy mỗi hàm số ở đáp án B, C, D đều có đạo hàm bằng \(3{x^4}\).
Chỉ có đáp án A: \(\left( {12{x^3}} \right)' = 36{x^2} \ne 3{x^4}\) nên A sai.
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Điểm thuộc mặt cầu thì thuộc khối cầu.
-
B.
Điểm thuộc khối cầu thì thuộc mặt cầu
-
C.
Điểm nằm ngoài mặt cầu thì thuộc khối cầu
-
D.
Điểm nằm ngoài khối cầu thì thuộc mặt cầu
Đáp án : A
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) thì \(OM = R\).
Điểm \(M\) thuộc khối cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) thì \(OM \le R\).
Do đó điểm thuộc mặt cầu sẽ thuộc khối cầu.
Hàm số nào dưới đây có tập xác định \(\mathbb{R}\)?
-
A.
\(y = \dfrac{{x - 1}}{x}\)
-
B.
\(y = {x^3}\)
-
C.
\(y = \sqrt {x - 1} \)
-
D.
\(y = \dfrac{{{x^3}}}{x}\)
Đáp án : B
Tìm txđ của mỗi hàm số ở các đáp án và kết luận.
Đáp án A: Hàm số xác định khi \(x \ne 0\) nên TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) loại.
Đáp án B: Hàm số đa thức bậc ba xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn.
Đáp án C: Hàm số xác định khi \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) suy ra TXĐ \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\) loại.
Đáp án D: Hàm số xác định nếu \(x \ne 0\) nên TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) loại.
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - mx + 1$ đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right).$
-
A.
$m \ge 0.$
-
B.
$m \le 3.$
-
C.
$m \ge 3.$
-
D.
$m \le 0.$
Đáp án : B
Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng
Ta có $y = {x^3} - mx + 1 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y' = 3{x^2} - m$
+ Nếu \(m > 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = - \sqrt {\dfrac{m}{3}} ,{x_2} = \sqrt {\dfrac{m}{3}} \)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - \sqrt {\dfrac{m}{3}} \\x > \sqrt {\dfrac{m}{3}} \end{array} \right.\) hay hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\dfrac{m}{3}} } \right)\) và \(\left( {\sqrt {\dfrac{m}{3}} ; + \infty } \right)\)
Do đó bài toán thỏa nếu $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right) \subset \left( {\sqrt {\dfrac{m}{3}} ; + \infty } \right)$ hay \(\sqrt {\dfrac{m}{3}} \le 1 \Leftrightarrow m \le 3\) \( \Rightarrow 0 < m \le 3\)
+ Nếu \(m \le 0\) thì \( - m \ge 0 \Rightarrow y' = 3{x^2} - m \ge 0\forall x\)
(Trong trường hợp $m=0$ thì $y'\ge 0$ với mọi $x$ và $y'=0$ tại điểm duy nhất $x=0$)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (cũng thỏa mãn đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right)$)
Kết hợp các TH trên ta được \(m \le 3\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = {x^3} + {x^2} + mx + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$
-
A.
$m \geqslant \dfrac{4}{3}$
-
B.
$m \leqslant \dfrac{4}{3}$
-
C.
$m \geqslant \dfrac{1}{3}$
-
D.
$m \leqslant \dfrac{1}{3}$
Đáp án : C
Hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ đồng biến (nghịch biến) trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0$ (hoặc $y' \le 0$)$\forall x \in \mathbb{R}$ .
Có $y' = 3{x^2} + 2x + m$. Xét phương trình bậc hai $3{x^2} + 2x + m = 0$ (1)
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \Leftrightarrow {\Delta _{\left( 1 \right)}}' = {1^2} - 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{3}$
Hàm số $y = {x^3} - 3x^2 + 4$ đạt cực tiểu tại:
-
A.
$x = 0$
-
B.
$x = 2$
-
C.
$x = 4$
-
D.
$x = 0$ và $x = 2$
Đáp án : B
Quy tắc 1:
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$, tìm các điểm tại đó $f'\left( x \right) = 0$ hoặc không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.
TXĐ: $D=R$
Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x$
$ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng dễ thấy hàm số đạt giá trị cực tiểu $y = 0$ tại $x = 2$
Cho hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6$ với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$.
-
A.
$m > 1$
-
B.
$m < 1$
-
C.
$m > - 1$
-
D.
$m < - 1$
Đáp án : B
- Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị.
- Tìm điều kiện để hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện bài cho.
Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 3\left( {m + 2} \right) = 3\left[ {{x^2} + 4x + \left( {m + 2} \right)} \right].$
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$
- Hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 - \left( {m + 2} \right) = 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2\)
Hai điểm cực trị thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2}\) \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow y'\left( { - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
-
A.
$M = - 10$
-
B.
$M = - 7$
-
C.
$M = - 5$
-
D.
$M = 1$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \leqslant {x_1} < {x_2}< ... < {x_n} \leqslant b$.
- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$.
- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:
+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.
+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.
$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là $M = - 5$
Tất cả phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{2x + 3}}$ là:
-
A.
$y = \dfrac{1}{2}$
-
B.
$y = \pm \dfrac{1}{2}$
-
C.
$y = - \dfrac{3}{2},y = 1$
-
D.
$y = 2$
Đáp án : B
- Bước 1: Tính cả hai giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y$.
- Bước 2: Kết luận:
Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: $\left[ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Dễ dàng tính được $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \dfrac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \dfrac{1}{2}$ do đó $y = \pm \dfrac{1}{2}$ là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 2{x^2} - m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm
-
A.
$m < 0$
-
B.
$m > \dfrac{{32}}{{27}}$
-
C.
$m < 0$ hoặc $m > \dfrac{{32}}{{27}}$
-
D.
$0 < m < \dfrac{{32}}{{27}}$
Đáp án : C
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành
Bước 2: Biện luận: Đồ thị cắt trục hoành tại đúng 1 điểm ó phương trình hoành độ giao điểm trên có đúng 1 nghiệm duy nhất.
Bước 3: Cô lập m sang 1 vế và ta xét bảng biến thiên cho hàm số bên vế kia
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên và kết luận
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình $ - {x^3} + 2{x^2}-m\; = 0$ có đúng một nghiệm thực
\( \Leftrightarrow \) đường thẳng $y = m$ có đúng $1$ điểm chung với đồ thị hàm số: $y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2}$
Lập bảng biến thiên của hàm số: $y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2}$
Dựa vào bảng biến thiên ta được kết quả: $m < 0$ hoặc $m > \dfrac{{32}}{{27}}$
Cho số thực $x$ thỏa mãn ${\log _2}\left( {{{\log }_8}x} \right) = {\log _8}\left( {{{\log }_2}x} \right).$Tính giá trị của $P = {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2}$
-
A.
$P = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
-
B.
$P = \dfrac{1}{3}$
-
C.
$P = 3\sqrt 3 $
-
D.
$P = 27$
Đáp án : D
Sử dụng tính chất logarit \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\left( {n \ne 0;0 < a \ne 1;b > 0} \right)\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _8}x > 0\end{array} \right.\)
Khi đó:
\({\log _2}\left( {{{\log }_8}x} \right) = {\log _8}\left( {{{\log }_2}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{1}{3}{{\log }_2}x} \right) = {\log _2}\sqrt[3]{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{\log _2}x = \sqrt[3]{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{27}}\log _2^3x = {\log _2}x \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 27\)
(vì \({\log _2}x > 0\) nên chia cả hai vế cho \({\log _2}x \ne 0\)
Cho $a, b$ là các số thực dương, thỏa mãn \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\) và \({\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
$a>1, 0<b<1 $
-
B.
$0<a<1, 0<b<1$
-
C.
$0<a<1, b>1 $
-
D.
$a>1, b>1$
Đáp án : C
- Sử dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực\(y = {a^x}\)
+ Nếu $a > 1$ thì \({a^\alpha } > {a^\beta }\) khi và chỉ khi \(\alpha > \beta \)
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^\alpha } > {a^\beta }\) khi và chỉ khi \(\alpha < \beta \)
- Sử dụng tính chất của hàm số \(y = {\log _b}x\) với \((b > 0,b \ne 1)\)
+ Nếu \(b > 1\) hàm số luôn đồng biến
+ Nếu \(0 < b < 1\) hàm số luôn nghịch biến
Ta có:
\(\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5}\) và \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\)\( \Rightarrow 0 < a < 1\)
\(\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\) và \({\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow b > 1\)
Tìm $m$ để phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right)$ .
-
A.
$- 13 < m < - 9$
-
B.
$3 < m < 9$
-
C.
$- 9 < m < 3$
-
D.
$- 13 < m < 3$
Đáp án : A
- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về bậc hai.
- Tìm điều kiện để bài toán phụ có nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn phụ,
Đặt $t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)$
Xét hàm số \(y = {t^2} - 8t + 3\) trên \((2;8)\) có:
$y' = 2t - 8;$ $y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\in (2;8)$
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên:
Phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm \(x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow - 13 < m < - 9\)
Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm\(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_3}x + {{\log }_4}x + ... + {{\log }_{19}}x - \log _{20}^2x} \right) = 0\)
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : C
Giải phương trình tích $AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}A = 0 \hfill \\B = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$({x^2} - 4)({\log _2}x + {\log _3}x + {\log _4}x + ... + {\log _{19}}x - \log _{20}^2x) = 0(*)$
Đkxđ: $x>0$
$(*) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2(tm)\\x = - 2(ktm)\\{\log _2}x + {\log _3}x + {\log _4}x + ... + {\log _{19}}x - \log _{20}^2x = 0(**)\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}(**) \Leftrightarrow \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 2}} + \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 3}} + \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 4}} + ... + \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 19}} - {\left( {\dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 20}}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \log {\rm{x}}(\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}} - \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{{{\log }^2}20}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log {\rm{x}} = 0\\\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}} - \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{{{\log }^2}20}} = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}} = \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{{{\log }^2}20}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\(\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}}){\log ^2}20 = \log {\rm{x}}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(tm)\\x = {10^{(\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}}){{\log }^2}20}}(tm)\end{array} \right.\end{array}$
Phương trình (*) có $3$ nghiệm.
Tính \(I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)
-
A.
\(I = \dfrac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
B.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
C.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
D.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
Đáp án : B
- Bước 1: Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \).
- Bước 2: Tính vi phân \(dt\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).
\(I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} = \int {3{x^2}.{x^3}} \sqrt {{x^3} + 1} dx\)
Đặt \(\sqrt {{x^3} + 1} = t \Rightarrow {x^3} + 1 = {t^2} \Rightarrow 3{x^2}dx = 2tdt\)
\( \Rightarrow I = \int {\left( {{t^2} - 1} \right).t.2tdt = 2\int {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt = \dfrac{2}{5}{t^5} - \dfrac{2}{3}{t^3} + C} } \)
$= \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$
Tích phân $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} } dx$ có giá trị bằng
-
A.
$4\sqrt 2 $.
-
B.
$3\sqrt 2 $.
-
C.
$\sqrt 2 $.
-
D.
$ - \sqrt 2 $.
Đáp án : A
Dùng biến đổi \(1 + \sin x = {\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2}\) và công thức nguyên hàm hàm lượng giác \(\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C\)
Phương pháp tự luận
$\begin{array}{c}I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {{{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right|} dx = \sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|} dx\\ = \sqrt 2 \left[ {\int\limits_0^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} dx - \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx} } \right] = 4\sqrt 2 \end{array}$
Với cách đổi biến \(u=\sqrt{4x+5}\) thì tích phân \(\int\limits_{-\,1}^{1}{x\sqrt{4x+5}\,\text{d}x}\) trở thành
-
A.
\(\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.\)
-
B.
\(\int\limits_{-\,1}^{1}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.\)
-
C.
\(\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{4}\,\text{d}u}.\)
-
D.
\(\int\limits_{1}^{3}{\frac{u\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}x}.\)
Đáp án : A
Đặt ẩn phụ và đổi biến số để tính tích phân.
Đặt \(u=\sqrt{4x+5}\Leftrightarrow {{u}^{2}}=4x+5\Leftrightarrow 2u\,\text{d}u=4\,\text{d}x\Leftrightarrow \text{d}x=\frac{u}{2}\,\text{d}u.\)
Có \({{u}^{2}}=4x+5\Rightarrow x=\frac{{{u}^{2}}-5}{4}.\)
Đổi cận : \(\left\{ \begin{align} & x=-\,1\Rightarrow u=1 \\ & x=1\Rightarrow u=3 \\ \end{align} \right..\)
Khi đó \(\int\limits_{-\,1}^{1}{x\sqrt{4x+5}\,\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}-5}{4}.u.\frac{u}{2}\,\text{d}u}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.\)
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} \). Gọi \(a,b\) là các số nguyên thỏa mãn \(I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(a - b = - 1\)
-
B.
\(a + b = 1\)
-
C.
\(a + b = 2\)
-
D.
\(a - b = 0\)
Đáp án : A
Tính tích phân bằng phương pháp từng phần:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {udv} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\) \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = \left. { - {e^x}\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = 1 + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = \sin xdx\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = \left. {{e^x}\sin x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I\)
Do đó \(I = 1 + {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I \Leftrightarrow 2I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1 \Leftrightarrow I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)
Quan sát các đáp án ta thấy đáp án A thỏa mãn.
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục \(Ox\) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1},\) trục hoành và đường thẳng \(x=1\) là
-
A.
\(\pi .3\ln 3.\)
-
B.
\(\pi .\left( 3\ln 3-2 \right).\)
-
C.
\(3\ln 3-1.\)
-
D.
\(\pi .\left( 3\ln 3-1 \right).\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay và các phương pháp tính tích phân
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \(\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1}=0\Leftrightarrow 3x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}.\)
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}\)
Xét tích phân \(I=\int\limits_{{ - \frac{1}{3}}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3\left( x+1 \right)-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \frac{3}{x+1}-\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right]\text{d}x}\)
\(=\left. \left( 3\ln \left| x+1 \right|+\frac{2}{x+1} \right) \right|_{-\frac{1}{3}}^{1}=3.\ln 2+1-3.\ln \frac{2}{3}-3=3.\ln 3-2.\)
Vậy \(V=\pi \left( 3\ln 3-2 \right).\)
Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $C$ trên $(ABB’A’)$ là tâm của hình bình hành $ABB’A’$. Thể tích của khối lăng trụ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
Đáp án : C
- Tính thể tích khối chóp \({V_{C.A'AB}}\)
- Tính thể tích khối lăng trụ dựa vào thể tích khối chóp.
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABB’A’$. Ta có \(CO \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CO \bot OA;CO \bot OB\)
\(\Delta COA = \Delta COB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OA = OB \Rightarrow AB' = A'B \Rightarrow ABB'A'\) là hình chữ nhật.
Lại có \(AB = BB' = a \Rightarrow ABB'A'\) là hình vuông
Khi đó \(OA = OB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Xét tam giác vuông $OAC$ có: \(OC = \sqrt {A{C^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{C.A'AB}} = \dfrac{1}{3}OC.{S_{A'AB}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Mà ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.\dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.{V_{A'.ABC}}$
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{C.A'AB}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
Cho hình nón đỉnh $S$, tâm đáy là $O$, góc ở đỉnh là ${135^0}$. Trên đường tròn đáy lấy điểm $A$ cố định và điểm $M$ di động. Tìm số vị trí $M$ để diện tích $SAM$ đạt giá trị lớn nhất
-
A.
Vô số
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}\) và đánh giá \(\sin \widehat {BAC} \le 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}SA.SM\sin \widehat {ASM}\\ = \dfrac{1}{2}S{A^2}\sin \widehat {ASM} \le \dfrac{1}{2}S{A^2}\\ \Rightarrow \max {S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}S{A^2}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\sin \widehat {ASM} = 1 \Leftrightarrow \widehat {ASM} = {90^0}\).
Có $2$ điểm $M$ như vậy (hai điểm đối xứng với nhau qua $AB$).
Cho mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Hình nón \(N\) có đỉnh \(S\) nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) và có chiều cao \(h\left( {h > R} \right)\). Tìm \(h\) để thể tích khối nón được tạo nên bởi \(\left( N \right)\) có giá trị lớn nhất.
-
A.
\(h = R\sqrt 3 \)
-
B.
\(h = R\sqrt 2 \)
-
C.
\(h = \dfrac{{4R}}{3}\)
-
D.
\(h = \dfrac{{2R}}{3}\)
Đáp án : C
$S$ là đỉnh của hình nón thì $S,O$ và tâm đường tròn là giao tuyến của $\left( P \right)$ và mặt cầu phải thẳng hàng.
Ta có: Gọi bán kính $\left( C \right)$ với tâm là $I$ là $r$ thì dễ có $S$ phải thuộc $OI$ và :
$\begin{array}{l}OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} + R\\V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R)\end{array}$
Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:
\(\begin{array}{l}
f\left( r \right) = {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R} \right)\\
= {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\\
\Rightarrow f'\left( r \right) = \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R} \right)'\\
= \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + \left( {{r^2}R} \right)'\\
= \left( {{r^2}} \right)'\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + 2rR\\
= 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\
= 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\
= r\left( {2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R} \right)
\end{array}\)
$f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} + 2{\rm{R}} - \dfrac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 0$
$ \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}$
$\Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{8}{9}{R^2} \to h = \dfrac{{4{\rm{R}}}}{3}.$
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng $V$ và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy $R$ bằng:
-
A.
\(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\).
-
B.
\(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}\).
-
C.
\(R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\).
-
D.
\(R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{\pi }}}\).
Đáp án : A
- Tính độ dài đường cao hình trụ theo \(V\) và \(R\), sử dụng công thức \(V = \pi {R^2}h\)
- Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo \(V\) và \(R\), sau đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si để đánh giá GTNN.
Hình trụ đó có chiều cao $h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$ và diện tích toàn phần
${S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \dfrac{{2V}}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$
Dấu “=” xảy ra ⇔$2\pi {R^2} = \dfrac{V}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và 2 đường thẳng${d_1}:\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 6}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}};{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 5 - 3t\\z = 4\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng qua $A$ và song song với ${d_1},{d_2}$ là:
-
A.
$3x + y + 2z - 6 = 0$
-
B.
$ - 3x - 2y - z + 10 = 0$
-
C.
$ - 3x - 2y - z + 1 = 0$
-
D.
$3x + 2y + z - 3 = 0$
Đáp án : B
$(P)//{d_1},{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto $\overrightarrow n = (a;b;c)$ có dạng: $a.(x - {x_0}) + b.(y - {y_0}) + c(z - {z_0}) = 0$
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 3;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 3; - 2; - 1)$
Vì $(P)//{d_1},{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 3; - 2; - 1)$
Ta có:
$\begin{array}{l}(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} ( - 3; - 2; - 1)\\A(1;2;3)\end{array} \right. \Rightarrow - 3(x - 1) - 2(y - 2) - (z - 3) = 0\\ \Leftrightarrow - 3x - 2y - z + 10 = 0\end{array}$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho các điểm \(A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A,\,\,B\) và \(\left( P \right)\) cách điểm \(O\) một khoảng lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
A.
\(x+2y+6z-7=0.\)
-
B.
\(x+2y+4z-5=0.\)
-
C.
\(x+2y+5z-6=0.\)
-
D.
\(2x+3y+5z-6=0.\)
Đáp án : C
Gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng là \(ax+by+cz+d=0,\) biểu diễn các mối liên hệ giữa a, b, c, d theo dữ kiện điểm thuộc mặt phẳng, từ đó đưa về khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất
Gọi phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(ax+by+cz+d=0\) với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0.\)
Vì \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right)\) suy ra\(\left\{ \begin{array}{l}
- \,a + b + c + d = 0\\
a + c + d = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 2a\\
d = - \,a - c
\end{array} \right..\)
Khi đó, phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(ax+2ay+cz-a-c=0.\)
Khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\)
Ta có \({{\left( a+c \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{5}}.a\sqrt{5}+c \right)}^{2}}\le \left( {{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( 5{{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\Leftrightarrow \frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{30}}{5}.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(c=5a\)\(\Rightarrow d=-\,6a.\)
Vậy \(\left( P \right):x+2y+5z-6=0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = - 1\end{array} \right.$, điểm $M\left( {1;2;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - 2z - 1 = 0$. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\), song song với \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(d\) có phương trình:
-
A.
\(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}\)
-
B.
\(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}\)
-
C.
\(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{3}\)
-
D.
\(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}\)
Đáp án : D
Vì \(\Delta \) vuông góc với d và song song với (P)$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = {\rm{[}}\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} {\rm{]}}$
Phương trình đường thẳng qua \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto $\overrightarrow u = (a;b;c)$ có dạng:
$d:\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;0} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) song song với \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(d\) nên có VTCP
$\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 2;3} \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
-
A.
$x - 2y + 3z - 2 = 0$
-
B.
$x - 2y - 3z - 2 = 0$
-
C.
$x + 2y - 3z - 6 = 0$
-
D.
$2x - y - 1 = 0$
Đáp án : B
+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu
+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$
+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến
$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.
Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$
Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$
Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( 1;\ 2;\ -1 \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):\ 2x-y+2z-1=0\) theo một đường tròn bán kính bằng \(\sqrt{8}\) có phương trình là:
-
A.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3\)
-
B.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\)
-
C.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\)
-
D.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3\)
Đáp án : C
+) Giả sử mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tâm I có bán kính R theo giao tuyến là một đường tròn tâm O có bán kính r. Khi đó ta có: \(OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)\) và \(R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}.\)
+) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( a;\ b;\ c \right)\) và có bán kính \(R\) có phương trình: \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}.\)
Theo đề bài ta có: \(r=\sqrt{8}.\)
\(OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-2+2.\left( -1 \right)-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| -3 \right|}{\sqrt{9}}=1.\)
Khi đó ta có: \(R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{1+8}=3.\)
Ta có phương trình mặt cầu cần tìm là: \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
-
A.
\(m=-4.\)
-
B.
\(m=0.\)
-
C.
\(m=4.\)
-
D.
\(m=7.\)
Đáp án : C
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;1;-2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{7}\).
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.
Ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4\)
Bà Hoa gửi $100$ triệu vào tài khoản định kì tính lãi suất là $8\% $ một năm. Sau 5 năm, bà rút toàn bộ số tiền và dùng một nửa để sửa nhà, còn một nửa tiền bà lại đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
-
A.
$81,412$ triệu
-
B.
$115,892$ triệu
-
C.
$119$ triệu
-
D.
$78$ triệu
Đáp án : A
- Tính số tiền bà Hoa rút ra sau 5 năm theo công thức $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$.
- Tính số tiền lãi lần đầu.
- Tính số tiền bà đem gửi lần 2.
- Tính số tiền sau 5 năm lần 2 theo công thức: $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$
- Tính số tiền lãi lần 2 và suy ra đáp số.
Số tiền bà Hoa rút sau 5 năm đầu là: $100{\left( {1 + 8\% } \right)^5} = 146,932$ triệu.
Số tiền lãi lần 1 là: $146,932 - 100 = 46,932$ triệu.
Số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: $146,932:2 = 73,466$ triệu
Số tiền và có sau 5 năm là: $73,466{\left( {1 + 8\% } \right)^5} = 107,946$ triệu.
Số tiền lãi lần 2 là: $107,946 - 73,466 = 34,480$ triệu.
Tổng số tiền lãi sau 2 lần là: $46,932 + 34,480 = 81,412$ triệu.
Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ
Tìm tất cả các giá trị của $m\;$ để hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có ba điểm cực trị.
-
A.
$m \ge 3$ hoặc $m \le - 1.$
-
B.
$m \ge 1$ hoặc $m \le - 3.$
-
C.
$m = 3$ hoặc $m = - 1.$
-
D.
$1 \le m \le 3.$
Đáp án : A
+) Dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ suy ra các giá trị cực trị của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ và dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$.
+) Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$. Bằng số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right) + m$ cộng với số giao điểm của đồ thị $y = f\left( x \right) + m$ và trục \(Ox\).
Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ theo phương của trục $Oy$ $m$ đơn vị (lên trên hay xuống dưới phụ thuộc vào \(m\) dương hay âm), do đó nó đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ có ${y_{CD}} = 1 + m;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_{CT}} = - 3 + m$
Lấy đối xứng phần dưới của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) qua \(Ox\) ta được đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\)
Để đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right) + m\) cắt trục \(Ox\) tại đúng một điểm tức là điểm cực tiểu nằm trên trục \(Ox\) hoặc điểm cực đại nằm dưới trục \(Ox\), hay:
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_{CT}} = {\rm{\;}} - 3 + m \ge 0}\\{{y_{CD}} = 1 + m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 3}\\{m \le {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right.$
Tìm $m$ để phương trình $m\ln \left( {1 - x} \right) - \ln x = m$ có nghiệm \(x \in (0;1)\)
-
A.
$m\in (0;+\infty )$
-
B.
$m\in (1;e)$
-
C.
$m\in (-\infty ;0)$
-
D.
$m\,\in (-\infty ;-1)$
Đáp án : A
Cô lập \(m\) và sử dụng phương pháp xét hàm, loại đáp án.
+ Cô lập \(m : m(\ln (1 - x) - 1) = \ln x \Rightarrow m = \dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}}\) với $1 > x > 0$ .
+ Nhận xét đáp án: ta thấy \(\dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}} > 0{\rm{ }},\forall 0 < x < 1\). Loại C và D
+ Tính giới hạn của \(y =\dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}}\) khi $x$ tiến dần tới $1$ thì thấy $y$ dần tiến tới $0$ . Loại B.
Bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} \geqslant 2\sqrt 3 $ có tập nghiệm là $\left[ {a;b} \right].$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?
-
A.
$5$
-
B.
$ - 2$
-
C.
$4$
-
D.
$3$
Đáp án : A
Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $, từ đó tìm nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} = 2\sqrt 3 $ và kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
ĐKXĐ : $\left\{ \begin{gathered}2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - x + 8} \right) \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Tập xác định: $D = \left[ { - 2;4} \right]$
Xét hàm số
$f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $
$ \Rightarrow f'(x) = \dfrac{{6{x^2} + 6x + 6}}{{2\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} > 0$
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên tập xác định
Ta nhận thấy phương trình $f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 \Rightarrow $ với $x\ge 1$ thì $f\left( x \right) \geqslant f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 $.
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1;4} \right]$.
Do đó tổng $a + b = 5$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1),B( - 2;1;3),C(2; - 1;1),D(0;3;1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ sao cho $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ là:
-
A.
$4x + 2y - 7z - 1 = 0$
-
B.
$4x - 2y + 7z - 7 = 0$
-
C.
$4x + 2y + 7z - 15 = 0$
-
D.
$4x + 2y + 7z + 15 = 0$
Đáp án : C
Vì $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ nên ta có $(P)//CD$
$ \Rightarrow (P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{[}}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} {\rm{]}}\\A(1;2;1) \in (P)\end{array} \right.$
Vì $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ nên ta có $(P)//CD$
Ta có
\(\overrightarrow {AB} = ( - 3; - 1;2);\overrightarrow {CD} = ( - 2;4;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = ( - 8; - 4; - 14)\)
Vì $(P)//CD$ và $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ nên ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]\). Chọn $\overrightarrow {{n_P}} = (4;2;7)$
$ \Rightarrow (P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = (4;2;7)\\A(1;2;1) \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow (P):4(x - 1) + 2(y - 2) + 7(z - 1) = 0 $
$\Leftrightarrow 4x + 2y + 7z - 15 = 0$