Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 3
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((ACD')\) và \((BA'C')\) bằng
-
A.
khoảng cách từ điểm \(D'\) đến đường thẳng \(A'C'\).
-
B.
khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và \(D'\).
-
C.
khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'C'\).
-
D.
khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác \(ACD'\) và \(BA'C'\)
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^4}\) tại điểm \(x = - 1\) là:
-
A.
\( - 32\).
-
B.
\(30\).
-
C.
\( - 64\).
-
D.
\(12\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
-
B.
Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
-
C.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
-
D.
Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong \(\left( { - 2;1} \right)\)
-
B.
Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
-
C.
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\)
-
D.
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Khoảng cách từ \(M\) đến \(SA\) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
-
A.
\(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
-
B.
\(2a\sqrt 5 \)
-
C.
\(a\sqrt 2 \)
-
D.
\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) =\) \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
-
A.
\(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
-
B.
\(\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
-
C.
\(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
-
D.
$R$
Cho $a,b,c$ là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
-
A.
Nếu \(a \bot b\) và \(b \bot c\) thì \(a//c.\)
-
B.
Nếu \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(b//\left( \alpha \right)\) thì \(a \bot b.\)
-
C.
Nếu \(a//b\) và \(b \bot c\) thì \(c \bot a.\)
-
D.
Nếu \(a \bot b\),\(b \bot c\) và $a$ cắt \(c\) thì \(b\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {a,c} \right).\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,BC,\,\,CD\) đôi một vuông góc với nhau và \(AB = a\), \(BC = b,\,\,\,CD = c\). Độ dài đoạn thẳng \(AD\) bằng
-
A.
\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
-
B.
\(\sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} .\)
-
C.
\(\sqrt {{a^2} - {b^2} + {c^2}} .\)
-
D.
\(\sqrt { - \,{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
Giá trị của \(A = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}}\) bằng:
-
A.
\( + \infty \)
-
B.
\( - \infty \)
-
C.
\( - \dfrac{2}{3}\)
-
D.
\(1\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
A.
Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
-
B.
Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P) $ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ tới $mp(P).$
-
C.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ đến một điểm $N$ bất kỳ trên $b$
-
D.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = b\). Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Độ dài \(SG\) là:
-
A.
$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
-
B.
$\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
-
C.
$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
-
D.
$\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}BC$ đôi một vuông góc và $SA = AB = BC = 1.$ Khoảng cách giữa hai điểm $S$ và $C$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
-
A.
\(\sqrt 2 .\)
-
B.
\(\sqrt 3 .\)
-
C.
$2$
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tính góc $\varphi $ giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.
-
A.
$\varphi = {90^0}.$
-
B.
$\varphi = {60^0}.$
-
C.
$\varphi = {45^0}.$
-
D.
$\varphi = {30^0}.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$, mặt bên $SAC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
$\left( I \right):AI \bot SC$
$\left( {II} \right):\,\,\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$
$\left( {III} \right):\,\,AI \bot BC$
$\left( {IV} \right):\,\,\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?
-
A.
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai
-
B.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {SAC} = \widehat {SAB}\). Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SA\) và \(BC.\)
-
A.
\({30^0}.\)
-
B.
\({45^0}.\)
-
C.
\({60^0}.\)
-
D.
\({90^0}.\)
Cho đường cong $\left( C \right):y = {x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {-1;1} \right)$ là
-
A.
$y = -2x + 1$.
-
B.
$y = 2x + 1$.
-
C.
$y = -2x-1$.
-
D.
$y = 2x-1$.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng nào sau đây?
-
A.
\(\left( { - \infty ;3} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 3;2} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cạnh $BC = a,\,\,AC = 2a\sqrt 2 $, góc $\widehat {ACB} = {45^0}$. Cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$ Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC).$
-
A.
$\dfrac{{2a}}{3}.$
-
B.
$2a.$
-
C.
$\dfrac{{8a}}{3}.$
-
D.
$\dfrac{{3a}}{4}.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABCD} \right),\,\,SA = a\sqrt 2 .$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích $S.$ Tính $S$ theo $a.$
-
A.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{12}}.$
-
B.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
-
C.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{3}.$
-
D.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$
Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} + 16\cos x - \cos 2x$. Tính giá trị của $f''\left( \pi \right).$
-
A.
$f''\left( \pi \right) = 24.$
-
B.
$f''\left( \pi \right) = 4.$
-
C.
$f''\left( \pi \right) = - 16.$
-
D.
$f''\left( \pi \right) = - 8.$
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
-
A.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
-
B.
Nếu \(a\) và \(b\) song song (hoặc \(a\) trùng với \(b\)) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) .
-
C.
Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
-
D.
Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(b\).
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{2}.$
-
B.
$\dfrac{9}{8}.$
-
C.
$1.$
-
D.
$\dfrac{3}{4}.$
Cho hai đường thẳng \(a,b\) và \(mp\left( P \right)\). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
-
B.
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot \left( P \right)\) thì \(a \bot b\).
-
C.
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
-
D.
Nếu \(a \bot \left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
Hàm số \(y = x\sqrt {{x^2} + 1} \) có đạo hàm cấp hai bằng:
-
A.
\(y'' = - \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
-
B.
\(y'' = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
-
C.
\(y'' = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
-
D.
\(y'' = - \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
$BM \bot AC.$
-
B.
$\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right).$
-
C.
$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).$
-
D.
$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right).$
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $.
-
B.
Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới $1$ khi $n \to + \infty $.
-
C.
Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
-
D.
Cả 3 đáp án trên đều sai
Kết quả của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {\dfrac{{2x + 1}}{{3{x^3} + {x^2} + 2}}} $ là:
-
A.
\(\dfrac{2}{3}.\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
\( - \infty \).
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$
-
A.
$a = 5b$
-
B.
$a = 10b$
-
C.
$a = b$
-
D.
$a = 2b.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi
-
A.
\(0 < x < 2\)
-
B.
\(x < 1\)
-
C.
\(x < 0\) hoặc \(x > 1\)
-
D.
\(x < 0\) hoặc \(x > 2\)
Cho hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^2}\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
-
A.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\)
-
B.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\)
-
C.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).
-
D.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 + \sqrt x }}\).
Nếu $f''\left( x \right) = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$, thì $f(x)$ bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\cos x}}\)
-
B.
\( - \dfrac{1}{{\cos x}}\)
-
C.
\(\cot x\)
-
D.
\(\tan x\)
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Cho đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\). Khi đường thẳng cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song với nhau thì $m$ sẽ thuộc khoảng nào sau đây ?
-
A.
\(\left( { - 4; - 2} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 2;0} \right)\)
-
C.
\(\left( {0;2} \right)\)
-
D.
\(\left( {2;4} \right)\)
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DH} \)?
-
A.
$45^\circ $
-
B.
$90^\circ $
-
C.
$120^\circ $
-
D.
$60^\circ $
Trong không gian cho tam giác \(ABC\). Tìm \(M\) sao cho giá trị của biểu thức \(P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
\(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
-
B.
\(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
-
C.
\(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
-
D.
\(M\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AB = a$ và $AD = x.a$. Gọi $E$ là trung điểm của $SC$. Tìm $x$, biết khoảng cách từ điểm $E$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $h = \dfrac{a}{3}$.
-
A.
$1.$
-
B.
$\sqrt 2 .$
-
C.
$2.$
-
D.
$4.$
Cho hình chóp $S.ABC$ thỏa mãn $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}SB{\rm{ }} = {\rm{ }}SC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $mp\left( {ABC} \right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
-
A.
$\left( SBH \right)\cap ~\left( SCH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
-
B.
$\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
-
C.
\(AB \bot SH\).
-
D.
$\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$.
Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\tan \alpha = \dfrac{1}{2}\). Gọi \(\beta \) là góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :
-
A.
$\sin \beta = \dfrac{1}{2}$.
-
B.
$\cot \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
-
C.
$\tan \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
-
D.
$\beta = {60^0}$.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều có đường cao \(SH\) vuông góc với \(mp(ABCD)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(BD\) và \(mp(SAD)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
A.
\(\alpha = {60^0}\).
-
B.
\(\alpha = {30^0}\).
-
C.
\(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\).
-
D.
\(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\).
Giá trị của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right)$ là:
-
A.
\(\dfrac{7}{2}.\)
-
B.
\( - \dfrac{1}{2}.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
\( - \infty .\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = AC = a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
-
B.
$\cot \varphi = \sqrt 7 .$
-
C.
$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}.$
-
D.
$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}.$
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 4,{\rm{ }}AD = 3.\) Mặt phẳng \((ACD')\) tạo với mặt đáy một góc \({60^ \circ }.\) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
-
A.
\(\dfrac{{6\sqrt 3 }}{5}\).
-
B.
\(\dfrac{{12\sqrt 3 }}{5}\).
-
C.
\(\dfrac{{4\sqrt 3 }}{5}\).
-
D.
\(\dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C là :
-
A.
\(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
-
B.
\(\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
-
C.
\(a\)
-
D.
\(a\sqrt{2}\)
Cho \(a, b\) là các số thực khác \(0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
-
A.
\(a + b = 0\)
-
B.
\(2a + b = 0\)
-
C.
\(3a + 4b = 0\)
-
D.
\(3a + 2b = 0\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
-
A.
\(3\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 2 \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\sqrt 3 \)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC = 2a,{\rm{ }}BC = a$. Đỉnh $S$ cách
đều các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$. Tính khoảng cách \(d\) từ trung điểm $M$ của $SC$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.
-
A.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
-
B.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
-
C.
$d = a\sqrt 5 .$
-
D.
$d = a.$
Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + ax} \right)$ là \( + \infty .\)
-
A.
\(a > \sqrt 2 \)
-
B.
\(a < \sqrt 2 \)
-
C.
\(a > 2\)
-
D.
\(a < 2\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $AB = SH = a.$ Tính cosin của góc $\alpha $ tọa bởi hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.
-
A.
$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
-
B.
$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
-
C.
$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
-
D.
$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${30^0}.$ Tính diện tích hình chữ nhật $ABCD.$
-
A.
${S_{ABCD}} = {a^2}.$
-
B.
${S_{ABCD}} = \sqrt 2 \,{a^2}.$
-
C.
${S_{ABCD}} = \sqrt 3 \,{a^2}.$
-
D.
${S_{ABCD}} = 2\,{a^2}.$
Lời giải và đáp án
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((ACD')\) và \((BA'C')\) bằng
-
A.
khoảng cách từ điểm \(D'\) đến đường thẳng \(A'C'\).
-
B.
khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và \(D'\).
-
C.
khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'C'\).
-
D.
khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác \(ACD'\) và \(BA'C'\)
Đáp án : D
- Gọi \(G,G'\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ACD'\) và \(BA'C'\).
- Chứng minh khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và \(\left( {BA'C'} \right)\) chính là \(GG'\) bằng cách chứng minh \(GG' \bot \left( {ACD'} \right),GG' \bot \left( {BA'C'} \right)\).
Gọi \(G,G'\) là trọng tâm các tam giác \(ACD',BA'C'\).
Khi đó \(DG \bot \left( {ACD'} \right),B'G' \bot \left( {BA'C'} \right)\) vì các hình chóp \(D.ACD'\) và \(B'.BA'C'\) là hình chóp đều.
Ta có: \(AC \bot \left( {BDD'B'} \right) \Rightarrow AC \bot DB'\)
Lại có \(CD' \bot \left( {ADC'B'} \right) \Rightarrow CD' \bot DB'\).
Do đó \(DB' \bot \left( {ACD'} \right)\).
Tương tự \(DB' \bot \left( {BA'C'} \right)\) nên \(\left( {ACD'} \right)//\left( {BA'C'} \right)\) và \(G,G' \in DB'\).
Do đó \(GG'\) vuông góc cả hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right),\left( {BA'C'} \right)\).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt đó là \(GG'\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^4}\) tại điểm \(x = - 1\) là:
-
A.
\( - 32\).
-
B.
\(30\).
-
C.
\( - 64\).
-
D.
\(12\).
Đáp án : C
Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)
Ta có : \(y' = 4{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime } = 8x{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\).
Khi đó $y'\left( { - 1} \right) = 8.\left( { - 1} \right){\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right]^3} = - 64$
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
-
B.
Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
-
C.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
-
D.
Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Đáp án : C
A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).
B sai. Qua một đường thẳng chưa chắc đã có mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (vì nếu hai đường thẳng đã cho không vuông góc với nhau thì không có mặt phẳng nào hết)
D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong \(\left( { - 2;1} \right)\)
-
B.
Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
-
C.
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\)
-
D.
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án : B
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho x0 là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).
TXĐ: D = R. Hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^2} + x + 1\) liên tục trên R.
Ta có: $f\left( { - 1} \right) = - 3,\,\,f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)\)
Ta có \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)$
\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong \(\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \) Đáp án A sai.
Ta có: $f\left( { - 1} \right) = - 3,\,\,f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow \)Đáp án C sai.
Ta có \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right) \subset \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow $ Đáp án D sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Khoảng cách từ \(M\) đến \(SA\) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
-
A.
\(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
-
B.
\(2a\sqrt 5 \)
-
C.
\(a\sqrt 2 \)
-
D.
\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Đáp án : A
Chứng minh khoảng cách cần tìm là \(MA\) và tính khoảng cách đó.
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot MA\) hay \(A\) là hình chiếu của \(M\) trên \(SA\).
Khi đó \(d\left( {M,SA} \right) = MA = \sqrt {A{D^2} + D{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) =\) \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
-
A.
\(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
-
B.
\(\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
-
C.
\(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
-
D.
$R$
Đáp án : A
Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0,$ sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\) .
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\dfrac{1}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\cos x}} = 1.\dfrac{1}{1} = 1\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right\} \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)\)
\( \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0,$ do đó loại các đáp án B, C, D.
Cho $a,b,c$ là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
-
A.
Nếu \(a \bot b\) và \(b \bot c\) thì \(a//c.\)
-
B.
Nếu \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(b//\left( \alpha \right)\) thì \(a \bot b.\)
-
C.
Nếu \(a//b\) và \(b \bot c\) thì \(c \bot a.\)
-
D.
Nếu \(a \bot b\),\(b \bot c\) và $a$ cắt \(c\) thì \(b\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {a,c} \right).\)
Đáp án : A
Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b \bot c\end{array} \right.\) thì \(a,c\) có thể cắt nhau, trùng nhau, song song nên đáp án A sai.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,BC,\,\,CD\) đôi một vuông góc với nhau và \(AB = a\), \(BC = b,\,\,\,CD = c\). Độ dài đoạn thẳng \(AD\) bằng
-
A.
\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
-
B.
\(\sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} .\)
-
C.
\(\sqrt {{a^2} - {b^2} + {c^2}} .\)
-
D.
\(\sqrt { - \,{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
Đáp án : A
Nhận xét các tam giác \(ABD,BCD\) và tính độ dài \(AD\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,AB \bot \left( {BCD} \right)\,\, \Rightarrow \) tam giác \(ABD\) vuông tại \(B.\)
Lại có \(BC \bot CD\) nên tam giác \(BCD\) vuông tại \(C.\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}\\B{D^2} = B{C^2} + C{D^2}\end{array} \right. \Rightarrow A{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \Rightarrow AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
Giá trị của \(A = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}}\) bằng:
-
A.
\( + \infty \)
-
B.
\( - \infty \)
-
C.
\( - \dfrac{2}{3}\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : C
Khi tìm \(\lim \dfrac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
Sử dụng giới hạn: \(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}^*\)
\(\lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{1}{n}}}{{\dfrac{1}{n} - 3}} = \dfrac{2}{{ - 3}} = - \dfrac{2}{3}\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
A.
Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
-
B.
Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P) $ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ tới $mp(P).$
-
C.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ đến một điểm $N$ bất kỳ trên $b$
-
D.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
Đáp án : C
Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc đường thẳng $b$ đến mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = b\). Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Độ dài \(SG\) là:
-
A.
$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
-
B.
$\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
-
C.
$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
-
D.
$\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
Đáp án : C
- Sử dụng tính chất hình chóp đều: Hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy là trọng tâm của tam giác đáy.
- Từ đó tính được độ dài \(SG\) dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
Theo bài ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(SG \bot (ABC),G \in AH\).
Mà \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) nên theo định lý Pi-ta-go ta có :
\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{3}} = \dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}\)
Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}BC$ đôi một vuông góc và $SA = AB = BC = 1.$ Khoảng cách giữa hai điểm $S$ và $C$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
-
A.
\(\sqrt 2 .\)
-
B.
\(\sqrt 3 .\)
-
C.
$2$
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Đáp án : B
- Chứng minh \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) rồi suy ra \(SA \bot AC\)
- Sử dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông \(SAC\)
Do $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot BC\end{array} \right.$ nên $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AC$
Như vậy \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt 3 \)
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tính góc $\varphi $ giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.
-
A.
$\varphi = {90^0}.$
-
B.
$\varphi = {60^0}.$
-
C.
$\varphi = {45^0}.$
-
D.
$\varphi = {30^0}.$
Đáp án : C
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Gọi M’ là trung điểm $OC \Rightarrow MM'\parallel SO \Rightarrow MM' \bot \left( {ABCD} \right).$
Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có ${S_{\Delta \,M'BD}} = \cos \varphi .{S_{\Delta \,MBD}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{{{S_{\Delta \,M'BD}}}}{{{S_{\Delta \,MBD}}}} = \dfrac{{BD.M'O}}{{BD.MO}} = \dfrac{{M'O}}{{MO}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}OC}}{{\dfrac{1}{2}SA}}\\ = \dfrac{{\sqrt {B{C^2} - O{B^2}} }}{{SA}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = {45^0}.\end{array}$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$, mặt bên $SAC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
$\left( I \right):AI \bot SC$
$\left( {II} \right):\,\,\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$
$\left( {III} \right):\,\,AI \bot BC$
$\left( {IV} \right):\,\,\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : D
Tam giác $SAC$ đều có $I$ là trung điểm của $SC$ nên $AI \bot SC$.
\( \Rightarrow \) Mệnh đề (I) đúng.
Gọi $H$ là trung điểm $AC$ suy ra $SH \bot AC$. Mà $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ theo giao tuyến $AC$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$ do đó $SH \bot BC$. Hơn nữa theo giả thiết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $BC \bot AC$.
Từ đó suy ra $BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI.$ Do đó mệnh đề (III) đúng.
Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.
Ta có : $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\end{array}$
Vậy mệnh đề (II) đúng.
Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?
-
A.
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai
-
B.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án : A
Đáp án B sai vì vẫn có thể xảy ra các trường hợp hai đường thẳng đó chéo nhau, cắt nhau, trùng nhau hoặc thậm chí là vuông góc.
Do đó đáp án D cũng sai.
Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {SAC} = \widehat {SAB}\). Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SA\) và \(BC.\)
-
A.
\({30^0}.\)
-
B.
\({45^0}.\)
-
C.
\({60^0}.\)
-
D.
\({90^0}.\)
Đáp án : D
Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} \) rồi suy ra đáp án.
Xét \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \)
$ = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right) - \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\cos \widehat {SAB}$
$ = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB}.$ \(\left( 1 \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA{\rm{ chung}}\\AB = AC\\\widehat {SAB} = \widehat {SAC}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC{\rm{ }}\left( {c - g - c} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}SC = SB\\\widehat {ASC} = \widehat {ASB}\end{array} \right.\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\). Vậy \(SA \bot BC\).
Cho đường cong $\left( C \right):y = {x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {-1;1} \right)$ là
-
A.
$y = -2x + 1$.
-
B.
$y = 2x + 1$.
-
C.
$y = -2x-1$.
-
D.
$y = 2x-1$.
Đáp án : C
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
\(y = {x^2} \Rightarrow y' = 2x\).
\(y'\left( { - 1} \right) = - 2\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: \(y = - 2\left( {x + 1} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow y = - 2x - 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng nào sau đây?
-
A.
\(\left( { - \infty ;3} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 3;2} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\)
Đáp án : B
Hàm phân thức hữu tỷ liên tục trên tập xác định của chúng.
TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 3; - 2} \right\} = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2; + \infty } \right)\) nên theo định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right);\,\,\left( { - 3; - 2} \right);\,\,\left( { - 2; + \infty } \right)\) . Vì \(\left( {2;3} \right) \subset \left( { - 2; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\left( {2;3} \right)\).
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cạnh $BC = a,\,\,AC = 2a\sqrt 2 $, góc $\widehat {ACB} = {45^0}$. Cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$ Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC).$
-
A.
$\dfrac{{2a}}{3}.$
-
B.
$2a.$
-
C.
$\dfrac{{8a}}{3}.$
-
D.
$\dfrac{{3a}}{4}.$
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Từ A kẻ AH vuông góc với $BC,\,\,H \in BC$ (1)
Ta có $SB$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$$ \Rightarrow SB \bot AH\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH.$
Tam giác $AHC$ vuông tại $H$, có $\sin \widehat {HCA} = \dfrac{{AH}}{{AC}}$.
$ \Rightarrow AH = \sin \widehat {HAC}.AC = \sin {45^0}.AC = 2a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 2a.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABCD} \right),\,\,SA = a\sqrt 2 .$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích $S.$ Tính $S$ theo $a.$
-
A.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{12}}.$
-
B.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
-
C.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{3}.$
-
D.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$
Đáp án : B
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
Ta có AD vuông góc với SA và AB$ \Rightarrow AD \bot mp\,\,\left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SB.$
Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB
Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.
Vậy mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chính là mặt phẳng (AHD)
Mặt khác AD // mp(SBC) mà $AD \subset mp\,\,\left( {AHD} \right)$
Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.
Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà $AD \bot mp\,\,\left( {SAB} \right)$$ \Rightarrow \,AD \bot AH.$
Suy ra tứ giác ADKH là hình thang vuông.
Tam giác SAB vuông $ \Rightarrow \,\,AH = \dfrac{{SA.AB}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.$ Và $S{A^2} = SH.HB\,\, \Rightarrow \,\,SH = \dfrac{{S{A^2}}}{{SB}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Ta có $HK$//$BC$$ \Rightarrow \,\,\dfrac{{HK}}{{BC}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}\,\, \Rightarrow \,\,HK = \dfrac{{SH.BC}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}.$
Do đó ${S_{ADKH}} = \dfrac{{AH}}{2}.\left( {HK + AD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\left( {\dfrac{{2a}}{3} + a} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{{5a}}{3} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} + 16\cos x - \cos 2x$. Tính giá trị của $f''\left( \pi \right).$
-
A.
$f''\left( \pi \right) = 24.$
-
B.
$f''\left( \pi \right) = 4.$
-
C.
$f''\left( \pi \right) = - 16.$
-
D.
$f''\left( \pi \right) = - 8.$
Đáp án : A
- Tính \(f''\left( x \right)\) rồi thay \(x = \pi \) tính \(f''\left( \pi \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 4x - 16\sin x + 2\sin 2x\) \( \Rightarrow f''\left( x \right) = 4 - 16\cos x + 4\cos 2x\)
\( \Rightarrow f''\left( \pi \right) = 24\).
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
-
A.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
-
B.
Nếu \(a\) và \(b\) song song (hoặc \(a\) trùng với \(b\)) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) .
-
C.
Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
-
D.
Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(b\).
Đáp án : B
Sử dụng các định nghĩa, tính chất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để xét tính đúng, sai cho từng đáp án.
Đáp án A sai vì nếu trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì định nghĩa đó không còn đúng.
Đáp án C sai vì \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có thể trùng nhau.
Đáp án D sai vì \(a,b\) có thể trùng nhau.
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{2}.$
-
B.
$\dfrac{9}{8}.$
-
C.
$1.$
-
D.
$\dfrac{3}{4}.$
Đáp án : B
- Nhân liên hợp để khử dạng $\dfrac{0}{0}$.
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - \sqrt {x + 2} )(x + \sqrt {x + 2} )(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{(\sqrt {4x + 1} - 3)(\sqrt {4x + 1} + 3)(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{({x^2} - x - 2)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{(4x + 1 - 9)(x + \sqrt {x + 2} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x + 1)(x - 2)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{4(x - 2)(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x + 1)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{4(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \dfrac{{(2 + 1)(\sqrt {4.2 + 1} + 3)}}{{4(2 + \sqrt {2 + 2} )}} = \dfrac{9}{8}\end{array}$
Cho hai đường thẳng \(a,b\) và \(mp\left( P \right)\). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
-
B.
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot \left( P \right)\) thì \(a \bot b\).
-
C.
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
-
D.
Nếu \(a \bot \left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
Đáp án : B
Câu A sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\) .
Câu B đúng bởi \(a//\left( P \right) \Rightarrow \exists a' \subset \left( P \right)\) sao cho \(a//a',b \bot \left( P \right) \Rightarrow b \bot a'\). Khi đó \(a \bot b\).
Câu C sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).
Câu D sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).
Hàm số \(y = x\sqrt {{x^2} + 1} \) có đạo hàm cấp hai bằng:
-
A.
\(y'' = - \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
-
B.
\(y'' = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
-
C.
\(y'' = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
-
D.
\(y'' = - \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
Đáp án : C
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, đạo hàm của 1 thương. Lưu ý các hàm số hợp.
\(y' = \sqrt {{x^2} + 1} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 1 + {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(y'' = \dfrac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2{x^2} + 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{4x\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {2{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\) \( = \dfrac{{4{x^3} + 4x - 2{x^3} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
$BM \bot AC.$
-
B.
$\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right).$
-
C.
$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).$
-
D.
$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right).$
Đáp án : D
Tam giác $ABC$ cân tại $B$ có $M$ là trung điểm $AC\,\, \Rightarrow \,\,BM \bot AC.$
\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AC\\BM \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)$
\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BA\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$
\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $.
-
B.
Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới $1$ khi $n \to + \infty $.
-
C.
Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
-
D.
Cả 3 đáp án trên đều sai
Đáp án : A
- Tính ${u_2},\,{u_3},...$, từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.
- Rút ra nhận xét.
\(\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\\{u_3} = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + 1}}{2} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{{\dfrac{5}{4} + 1}}{2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}\)
Chứng minh bằng quy nạp: ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$:
* Với $n = 1$: ${u_2} = \dfrac{{{u_1} + 1}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}$ : (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với $n = k \ge 1$, tức là ${u_k} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$
Ta có : ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$
Từ (*) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) \) \(= \dfrac{1}{{{2^n}}} - \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm và \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow \)$({u_n})$ là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $
Kết quả của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {\dfrac{{2x + 1}}{{3{x^3} + {x^2} + 2}}} $ là:
-
A.
\(\dfrac{2}{3}.\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
\( - \infty \).
Đáp án : B
Đưa thừa số \(x\) vào trong dấu căn, chia cả tử và mẫu của biểu thức trong căn cho lũy thừa bậc cao nhất của \(x\).
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {\dfrac{{2x + 1}}{{3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right)}}{{3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{2 + \dfrac{1}{x}}}{{3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.$
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$
-
A.
$a = 5b$
-
B.
$a = 10b$
-
C.
$a = b$
-
D.
$a = 2b.$
Đáp án : B
Bước 1: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) và \(f\left( 0\right)\)
Bước 2: Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
Bước 1:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a.0 + 1} + 1}} = \dfrac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 5b\end{array}\)
Bước 2:
Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi
-
A.
\(0 < x < 2\)
-
B.
\(x < 1\)
-
C.
\(x < 0\) hoặc \(x > 1\)
-
D.
\(x < 0\) hoặc \(x > 2\)
Đáp án : A
Tính \(f'\left( x \right)\) sau đó giải bất phương trình \(f'\left( x \right) < 0\)
Có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3.2x = 3{x^2} - 6x\)
\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\)
Cho hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^2}\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
-
A.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\)
-
B.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\)
-
C.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).
-
D.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 + \sqrt x }}\).
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'$
Ta có : \(y' = 2\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right){\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^\prime }\)
\(\begin{array}{l}
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt x + 2}}{{1 + \sqrt x }}} \right)'\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\left( { - 1 + \frac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right)'\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 2\left( {1 + \sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 2.\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= - 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= - \frac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}
\end{array}\)
Nếu $f''\left( x \right) = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$, thì $f(x)$ bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\cos x}}\)
-
B.
\( - \dfrac{1}{{\cos x}}\)
-
C.
\(\cot x\)
-
D.
\(\tan x\)
Đáp án : D
Thử từng đáp án
Đáp án A:
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{{\cos x}}\\y' = \dfrac{{ - \left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\\y'' = \dfrac{{\cos x.{{\cos }^2}x - \sin x.2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\cos }^3}x + 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^3}x}}\end{array}\).
Đáp án B:
\(\begin{array}{l}y = - \dfrac{1}{{\cos x}}\\y' = \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^2}x}} = - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\\y'' = - \dfrac{{\cos x.{{\cos }^2}x - \sin x.2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{ - {{\cos }^3}x - 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = - \dfrac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}\end{array}\)
Đáp án C:
\(\begin{array}{l}y = \cot x\\y' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = \dfrac{{2\sin x\left( {\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{{{\sin }^4}x}} = \dfrac{{2\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}\end{array}\)
Đáp án D:
\(\begin{array}{l}y = \tan x\\y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\y'' = \dfrac{{ - 2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\end{array}\)
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Đáp án : D
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\,\,\left( d \right)\)
Cho \(A \in \left( d \right)\), tìm \({x_0}\), có bao nhiêu nghiệm \({x_0}\) thì có bấy nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua $A.$
\(y' = 3{x^2} - 3\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)\) là: \(y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\)
$\begin{array}{l}A \in d \Rightarrow - 6 = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\\ \Leftrightarrow - 6 = 3x_0^2 - 3x_0^3 - 3 + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 1\\ \Leftrightarrow - 2x_0^3 + 3x_0^2 + 4 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2\end{array}$
Vậy số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là $1$.
Cho đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\). Khi đường thẳng cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song với nhau thì $m$ sẽ thuộc khoảng nào sau đây ?
-
A.
\(\left( { - 4; - 2} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 2;0} \right)\)
-
C.
\(\left( {0;2} \right)\)
-
D.
\(\left( {2;4} \right)\)
Đáp án : B
Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.
Sử dụng định lí Vi-et suy ra tổng các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại $A$ và $B$ song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)
Ta có : \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m\left( {x \ne 2} \right) $ $\Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + mx - 2x - 2m $ $\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\left( * \right)$
Đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khác $ 2$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\4 + 2m - 6 - 2m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 13 > 0\\ - 3 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \mathbb{R}\)
Giả sử phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_A};{x_B}\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)\), theo định lí Vi-et ta có : \({x_A} + {x_B} = 3 - m\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại $A$ và $B$ song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)
Ta có : \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l}y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_A} - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_B} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x_A} - 2 = 2 - {x_B} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 4\\ \Leftrightarrow 3 - m = 4 \Leftrightarrow m = - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\end{array}\)
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DH} \)?
-
A.
$45^\circ $
-
B.
$90^\circ $
-
C.
$120^\circ $
-
D.
$60^\circ $
Đáp án : B
Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot c\)
$\left. \begin{array}{l}AB \bot AE\\AE\,{\rm{//}}\,DH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot DH $ $\Rightarrow \widehat {\left( {AB,DH} \right)} = 90^\circ $
Trong không gian cho tam giác \(ABC\). Tìm \(M\) sao cho giá trị của biểu thức \(P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
\(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
-
B.
\(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
-
C.
\(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
-
D.
\(M\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
Đáp án : A
Đưa biểu thức \(P\) về biểu thức có chứa véc tơ và sử dụng tính chất các điểm đặc biệt để tìm GTNN của \(P\).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow G\) cố định và $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 .$
\(P = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)
\( = 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)
\( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv G.\)
Vậy \({P_{\min }} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) với \(M \equiv G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)
Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AB = a$ và $AD = x.a$. Gọi $E$ là trung điểm của $SC$. Tìm $x$, biết khoảng cách từ điểm $E$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $h = \dfrac{a}{3}$.
-
A.
$1.$
-
B.
$\sqrt 2 .$
-
C.
$2.$
-
D.
$4.$
Đáp án : C
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ta có $E \in SC$, $EC \cap \left( {SBD} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{ES}}{{CS}} = \dfrac{1}{2}$
Từ A kẻ $ AK \bot BD\left( {K \in BD} \right)$, kẻ $AH \bot SK\,\,\left( {H \in SK} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AK\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BD \bot AH\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right).\)
$ \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = 2.d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2a}}{3}.$
Mà $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Rightarrow AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} - A{H^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.
Tam giác $ABD$ vuông tại $A$, có đường cao $AK$.
$ \Rightarrow \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{AD{}^2}} = \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}{x^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$
Cho hình chóp $S.ABC$ thỏa mãn $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}SB{\rm{ }} = {\rm{ }}SC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $mp\left( {ABC} \right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
-
A.
$\left( SBH \right)\cap ~\left( SCH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
-
B.
$\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
-
C.
\(AB \bot SH\).
-
D.
$\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$.
Đáp án : A
Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc mặt phẳng và xác định giao tuyến của các mặt phẳng.
Do SH\(\bot\) (ABC) nên \(SH\bot HA, SH\bot HB, SH\bot HC\).
Xét các tam giác vuông SHA, SHB, SHC có:
SA=SB=SC
SH chung
Do đó \(\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\)
Suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm BC hay H là trung điểm của BC.
Do đó $\left( SBH \right) \equiv \left( SCH \right)$ nên A sai.
Lại có $\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$ và $\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$ nên B và D đều đúng.
Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AB\) nên C đúng.
Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\tan \alpha = \dfrac{1}{2}\). Gọi \(\beta \) là góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :
-
A.
$\sin \beta = \dfrac{1}{2}$.
-
B.
$\cot \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
-
C.
$\tan \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
-
D.
$\beta = {60^0}$.
Đáp án : C
- Xác định góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABCD} \right)\), tính \(SO\).
- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) và tính tỉ số lượng giác của góc đó.
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng đáy.
Do đó \(\alpha = \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO}\) và \(\beta = \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}\).
Hình thoi \(ABCD\) có \(AC = 2a,\widehat {ADC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ADC\) đều \( \Rightarrow AD = 2a\)
Tam giác \(AOD\) vuông tại \(O\) nên \(OD = \sqrt {A{D^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \Rightarrow OB = a\sqrt 3 \).
Lại có \(\tan \alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{OB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\tan \beta = \tan \widehat {SCO} = \dfrac{{SO}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều có đường cao \(SH\) vuông góc với \(mp(ABCD)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(BD\) và \(mp(SAD)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
A.
\(\alpha = {60^0}\).
-
B.
\(\alpha = {30^0}\).
-
C.
\(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\).
-
D.
\(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\).
Đáp án : D
- Gọi \(I\) là trung điểm của \(BD\) và chứng minh \(BI \bot \left( {SAD} \right)\).
- Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (không vuông) là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Tính gia trị lượng giác của góc đó dựa vào tính chất tam giác vuông.
Gọi \(I\) là trung điểm ${\rm{AS}} \Rightarrow {\rm{BI}} \bot {\rm{SA}}$
Ta có: \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\)
Mà \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot BI\)
Suy ra \(BI \bot (SAD) \Rightarrow \alpha = \widehat {IDB}\)
Ta có: \(BI = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2},BD = AB\sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{BI}}{{BD}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\)
Giá trị của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right)$ là:
-
A.
\(\dfrac{7}{2}.\)
-
B.
\( - \dfrac{1}{2}.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
\( - \infty .\)
Đáp án : B
Khi \(x \to + \infty \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} \sim \sqrt {{x^2}} - \sqrt {{x^2}} = 0\)
Do đó ta cần nhân lượng liên hợp.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 3x} + \sqrt {{x^2} + 4x} }} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {1 + \dfrac{3}{x}} + \sqrt {1 + \dfrac{4}{x}} }} = - \dfrac{1}{2}.\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = AC = a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
-
B.
$\cot \varphi = \sqrt 7 .$
-
C.
$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}.$
-
D.
$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}.$
Đáp án : C
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Gọi $H$ là trung điểm $BC.$ Tam giác $ABC $ vuông tại $A$ nên $H$ trung điểm của $BC.$
Theo giả thiết, ta có $SH \bot \left( {ABC} \right)$
Qua $B$ kẻ $Bx$//$AC$. Khi đó $\widehat {\left( {SB;AC} \right)} = \widehat {\left( {SB;Bx} \right)}$
Kẻ $HE \bot Bx$ tại $E$, cắt $AC$ tại $M$
Suy ra AMEB là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{array}{l}BE = AM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\\HE = HM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}Bx \bot HE\\Bx \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow Bx \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow Bx \bot SE$
Tam giác vuông $SEB$ vuông tại $E,$ có $\cot \widehat {SBE} = \dfrac{{BE}}{{SE}} = \dfrac{{AM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{6{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}$
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 4,{\rm{ }}AD = 3.\) Mặt phẳng \((ACD')\) tạo với mặt đáy một góc \({60^ \circ }.\) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
-
A.
\(\dfrac{{6\sqrt 3 }}{5}\).
-
B.
\(\dfrac{{12\sqrt 3 }}{5}\).
-
C.
\(\dfrac{{4\sqrt 3 }}{5}\).
-
D.
\(\dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án : B
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) theo dấu hiệu: góc giữa hai mặt là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
- Khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp chữ nhật chính là độ dài cạnh bên của hình hộp.
Gọi \(O\) là hình chiếu của \(D\) lên \(AC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\AC \bot DO\\AC \bot D'O\left( {AC \bot \left( {ODD'} \right) \supset OD'} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {D'AC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {D'OD} = {60^0}\)
\(AC = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) ; \(DO = \dfrac{{AD.DC}}{{AC}} = \dfrac{{12}}{5}\)
Khoảng cách giữa hai mặt đáy là \(DD' = DO.\tan {60^0} = \dfrac{{12\sqrt 3 }}{5}\)
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C là :
-
A.
\(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
-
B.
\(\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
-
C.
\(a\)
-
D.
\(a\sqrt{2}\)
Đáp án : B
Dụng đường vuông góc chung và tính toán, sử dụng kiến thức hình học đã biết.
Ta có : \(\left\{ \begin{align} & AM\bot BC \\ & AM\bot BB' \\ \end{align} \right.\Rightarrow AM\bot \left( BCC'B' \right)\)
Trong \(\left( BCC'B' \right)\) kẻ \(MH//BC'\,\,\left( H\in B'C \right)\Rightarrow MH\bot B'C\)
\(MH\subset \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AM\bot MH\)
\(\Rightarrow MH\) là đoạn vuông góc chung giữa AM và B’C \(\Rightarrow d\left( AM;B'C \right)=MH\)
Dễ thấy \(MH = \frac{1}{2}BK = \frac{1}{4}B'C = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) với \(K\) là trung điểm của \(B'C\).
\(\Rightarrow d\left( AM;B'C \right)=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
Cho \(a, b\) là các số thực khác \(0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
-
A.
\(a + b = 0\)
-
B.
\(2a + b = 0\)
-
C.
\(3a + 4b = 0\)
-
D.
\(3a + 2b = 0\)
Đáp án : C
Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\)
Ta có:
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right) + \left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right) + \left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right)}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}.\dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}} + \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{{abx}}{{\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1} \right)}} + \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{b}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}} \right]\\ = 0 + \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3}\end{array}$
Để hàm số liên tục tại \(x = 0 \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = a + b \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{{2b}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3a + 4b = 0\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
-
A.
\(3\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 2 \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\sqrt 3 \)
Đáp án : C
Viết phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $d$.
Tìm GTLN của khoảng cách $d$.
Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:
$\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} = 0\left( \Delta \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }} \\= \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\left| {6{x_0} - 6} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} \\= \dfrac{{6\left| {{x_0} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} \\= 6\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}} \end{array}$
Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {\dfrac{t}{{{t^2} + 9}}} \)
Mà
$\begin{array}{l}
{t^2} + 9 \ge 2\sqrt {{t^2}.9} = 6t \Rightarrow \frac{t}{{{t^2} + 9}} \le \frac{t}{{6t}} = \frac{1}{6}\\
\Rightarrow 6.\sqrt {\frac{t}{{{t^2} + 9}}} \le 6.\sqrt {\frac{1}{6}} = \sqrt 6 \\
\Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt 6
\end{array}$
Dấu "=" xảy ra khi t=3
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} - 1 = \sqrt 3 \\
{x_0} - 1 = - \sqrt 3
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = \sqrt 3 + 1\\
{x_0} = - \sqrt 3 + 1
\end{array} \right.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC = 2a,{\rm{ }}BC = a$. Đỉnh $S$ cách
đều các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$. Tính khoảng cách \(d\) từ trung điểm $M$ của $SC$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.
-
A.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
-
B.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
-
C.
$d = a\sqrt 5 .$
-
D.
$d = a.$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\), suy ra \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). (Do tam giác $ABC$ vuông tại $B$).
Do đỉnh $S$ cách đều các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Ta có
$\begin{array}{l}MC \cap \left( {SBD} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{MS}}{{CS}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)\end{array}$.
Kẻ \(CE \bot BD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot BD\\CE \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = CE = \dfrac{{CB.CD}}{{\sqrt {C{B^2} + C{D^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Vậy \(d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}CE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + ax} \right)$ là \( + \infty .\)
-
A.
\(a > \sqrt 2 \)
-
B.
\(a < \sqrt 2 \)
-
C.
\(a > 2\)
-
D.
\(a < 2\)
Đáp án : B
Tính giới hạn hàm số theo \(a\) và suy ra điều kiện.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \) nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + ax} \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left( { - \sqrt {2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + a} \right) = + \infty $
$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + a} \right) = a - \sqrt 2 < 0 \Leftrightarrow a < \sqrt 2 .$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $AB = SH = a.$ Tính cosin của góc $\alpha $ tọa bởi hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.
-
A.
$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
-
B.
$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
-
C.
$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
-
D.
$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}.$
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ta có $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot CH$ (1)
Tam giác ABC cân tại C nên $CH \bot AB$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra $CH \bot \left( {SAB} \right)$
Gọi I là trung điểm $AC$ $\Rightarrow \,\,HI//BC\xrightarrow{BC\,\bot \,\,AC}HI\bot AC$ (3)
Mặt khác $AC \bot SH$ (do $SH \bot \left( {ABC} \right)$) (4)
Từ (3) và (4), suy ra $AC \bot \left( {SHI} \right)$
Kẻ $HK \bot SI{\rm{ }}\,\left( {K \in SI} \right)$ (5)
Từ $AC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AC \bot HK$ (6)
Từ (5) và (6), suy ra $HK \bot \left( {SAC} \right)$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot \left( {SAC} \right)\\HC \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right.$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $HK$ và $HC$
Ta có \(HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot CK \Rightarrow \Delta CHK\) vuông tại $K.$
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ là \(\widehat {CHK}\)
Có $CH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$; $\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{a}{3}$
Do đó $\cos \widehat {CHK} = \dfrac{{HK}}{{CH}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{2}{3}.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${30^0}.$ Tính diện tích hình chữ nhật $ABCD.$
-
A.
${S_{ABCD}} = {a^2}.$
-
B.
${S_{ABCD}} = \sqrt 2 \,{a^2}.$
-
C.
${S_{ABCD}} = \sqrt 3 \,{a^2}.$
-
D.
${S_{ABCD}} = 2\,{a^2}.$
Đáp án : B
Gọi $H$ là trung điểm của $AB,$ tam giác $SAB$ đều $ \Rightarrow \,\,SH \bot AB.$
Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$$ \Rightarrow $$SH \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Suy ra $\widehat {(SD;\left( {ABCD} \right))} = \widehat {\left( {SD;HD} \right)} = \widehat {SDH} = {30^0}$
Tam giác $SHD$ vuông tại $H,$ có $\tan \widehat {SDH} = \dfrac{{SH}}{{HD}} \Rightarrow HD = \dfrac{{3a}}{2}.$
Tam giác $AHD$ vuông tại $A,$ có $AD = \sqrt {H{D^2} - A{H^2}} = a\sqrt 2 .$
Vậy diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = \sqrt 2 \,{a^2}.$
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2