Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 2
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {SAC} = \widehat {SAB}\). Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SA\) và \(BC.\)
-
A.
\({30^0}.\)
-
B.
\({45^0}.\)
-
C.
\({60^0}.\)
-
D.
\({90^0}.\)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy lớn $AB$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $Q$ là điểm trên cạnh $SA$ và $Q \ne A,$ $Q \ne S$; $M$ là điểm trên đoạn $AD$ và $M \ne A$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $QM$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$. Thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho là:
-
A.
tam giác.
-
B.
hình thang cân.
-
C.
hình thang vuông
-
D.
hình bình hành
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
-
B.
Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó
-
C.
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
-
D.
Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
A.
Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
-
B.
Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P) $ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ tới $mp(P).$
-
C.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ đến một điểm $N$ bất kỳ trên $b$
-
D.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
Cho hàm số \(y = \sin x\). Chọn câu sai ?
-
A.
\(y' = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
-
B.
\(y'' = \sin \left( {x + \pi } \right)\)
-
C.
\(y''' = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
-
D.
\({y^{\left( 4 \right)}} = \sin \left( {2\pi - x} \right)\)
Cho hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}.\) Tính giá trị biểu thức \(M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y''.\)
-
A.
\(M = 0.\)
-
B.
\(M = 20.\)
-
C.
\(M = 40.\)
-
D.
\(M = 100.\)
Chọn đáp án đúng: Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương thì:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = + \infty \)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = 0\)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = - \infty \)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}$ bằng?
-
A.
$4$
-
B.
$6$
-
C.
$-4$
-
D.
$-6$
Giới hạn $\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$bằng?
-
A.
$ - 4.$
-
B.
$ - 1.$
-
C.
$5.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{2}.$
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\) là:
-
A.
\(0.\)
-
B.
\( + \infty .\)
-
C.
\(\sqrt 2 - 1.\)
-
D.
\( - \infty .\)
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}}$ là:
-
A.
\(\dfrac{1}{4}.\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}.\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3}.\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}.\)
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
-
A.
$1.$
-
B.
$\dfrac{2}{3}.$
-
C.
$ - 1.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{3}.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh bên $SA = a\sqrt 3 $ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABC} \right)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
-
A.
$d = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.$
-
B.
$d = a.$
-
C.
$d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.$
-
D.
$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\). Giá trị của \(f'\left( 8 \right)\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{12}}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{6}\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{{12}}\)
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\tan \varphi = \sqrt 6 .$
-
B.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
-
C.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
-
D.
$\tan \varphi = \sqrt 2 .$
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
-
A.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
-
B.
Nếu \(a\) và \(b\) song song (hoặc \(a\) trùng với \(b\)) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) .
-
C.
Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
-
D.
Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(b\).
Trong không gian tập hợp các điểm \(M\) cách đều hai điểm cố định \(A\) và \(B\) là
-
A.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
-
B.
Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
-
C.
Mặt phẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\).
-
D.
Đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(AB\).
Hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\) có đạo hàm cấp ba là:
-
A.
\(y''' = 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
-
B.
\(y''' = 24x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
-
C.
\(y''' = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\)
-
D.
\(y''' = - 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có tung độ bằng $5$ có phương trình là?
-
A.
\(y = 12x - 7\)
-
B.
\(y = - 12x - 7\)
-
C.
\(y = 12x + 17\)
-
D.
\(y = - 12x + 17\)
Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thỏa mãn \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0?\)
-
A.
\(3x + y - 3 = 0\)
-
B.
\(3x - y - 3 = 0\)
-
C.
\( - 3x + y - 3 = 0\)
-
D.
\(3x + y + 3 = 0\)
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\), khi đó:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L\)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = M\)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L - M\)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = M + L\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$ bởi $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại ${x_0} = \sqrt 2 $ là
-
A.
$\dfrac{1}{2}$.
-
B.
$ - \dfrac{1}{2}$.
-
C.
$\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$.
-
D.
$ - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Biết rằng$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2{x^3} + 6\sqrt 3 }}{{3 - {x^2}}} = a\sqrt 3 + b.$ Tính \({a^2} + {b^2}.\)
-
A.
\(9.\)
-
B.
\(25.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(13.\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC = a$. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm$BC$. Biết $SB = a$. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$.
-
A.
\(30^\circ \).
-
B.
\(45^\circ \).
-
C.
\(60^\circ \).
-
D.
\(75^\circ \).
Biết rằng \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\a&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) (với \(a\) là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị \(a\) là đúng?
-
A.
\(a\) là một số nguyên
-
B.
\(a\) là một số vô tỉ
-
C.
\(a > 5.\)
-
D.
\(a < 0.\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách từ đỉnh \(A\) của hình lập phương đó đến đường thẳng \(CD'\) bằng
-
A.
\(a\sqrt 2 \).
-
B.
\(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
-
C.
\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
-
D.
\(a\sqrt 3 \).
Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{x\sqrt x }}\) là:
-
A.
\(y' = \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
-
B.
\(y' = - \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
-
C.
\(y' = \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
-
D.
\(y' = - \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
\(OA \bot BC.\)
-
B.
\(OH \bot AB\)
-
C.
$H$ là trực tâm \(\Delta ABC.\)
-
D.
\(AH \bot \left( {OBC} \right)\)
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}$
Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{2}.$
-
B.
$\dfrac{1}{4}.$
-
C.
$1.$
-
D.
$2.$
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) ta được:
-
A.
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\)
-
B.
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
-
C.
Không tồn tại đạo hàm
-
D.
\(f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)$ bằng?
-
A.
$-1$
-
B.
$0$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$1$
Tính$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} $ bằng?
-
A.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.
-
B.
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{2}.$
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn $[a; b]$ và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
-
B.
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
-
C.
Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
-
D.
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 3\end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
-
A.
\(m \in \emptyset \)
-
B.
\(m \in R\)
-
C.
$m = 1$
-
D.
\(m = - 1\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi
-
A.
\(0 < x < 2\)
-
B.
\(x < 1\)
-
C.
\(x < 0\) hoặc \(x > 1\)
-
D.
\(x < 0\) hoặc \(x > 2\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 3}}{{x + 4}}\) có đạo hàm là $y'$ và $y''$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(2{\left( {y'} \right)^2} = \left( {y + 1} \right)y''.\)
-
B.
\(2{\left( {y'} \right)^2} = \left( {y - 1} \right)y''.\)
-
C.
\(2{\left( {y'} \right)^2} = - \left( {y - 1} \right)y''.\)
-
D.
\(2{\left( {y'} \right)^2} = \left( { - y - 1} \right)y''.\)
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\) song song với đường thẳng \(y = 8x + 2\) là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$0$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$. Số đo của góc $\left( {MN,SC} \right)$ bằng:
-
A.
$45^\circ $
-
B.
$30^\circ $
-
C.
$90^\circ $
-
D.
$60^\circ $
Cho hình chóp $S.ABC$ có \(SA \bot (ABC)\) và tam giác $ABC$ không vuông, gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác$ABC$ và $SBC$. Các đường thẳng $AH,{\rm{ }}SK,{\rm{ }}BC$ thỏa mãn:
-
A.
Đồng quy.
-
B.
Đôi một song song
-
C.
Đôi một chéo nhau
-
D.
Đáp án khác
Cho hình chóp $S.ABC$ thỏa mãn $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}SB{\rm{ }} = {\rm{ }}SC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $mp\left( {ABC} \right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
-
A.
$\left( SBH \right)\cap ~\left( SCH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
-
B.
$\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
-
C.
\(AB \bot SH\).
-
D.
$\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB = a,$ $AD = 2a.$ Cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $SO$ và vuông góc với $\left( {SAD} \right).$ Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ và hình chóp đã cho.
-
A.
$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
-
B.
$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
-
C.
$S = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
-
D.
$S = {a^2}.$
Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho nửa đường tròn đường kính $AB = 2R$ và điểm $C$ thuộc nửa đường tròn đó sao cho $AC = R$. Trên đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$ tại $A$ lấy điểm $S$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng ${60^0}$. Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB,\,\,SC$. Độ dài cạnh $SA$ tính theo $R$ là
-
A.
$\dfrac{R}{{\sqrt 2 }}.$
-
B.
$\dfrac{R}{2}.$
-
C.
$\dfrac{R}{4}.$
-
D.
$\dfrac{R}{{2\sqrt 2 }}.$
Cho tứ diện $SABC$ trong đó$SA$, $SB$, $SC$ vuông góc với nhau từng đôi một và$SA = 3a$, $SB = a$,$SC = 2a$. Khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ bằng:
-
A.
$\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
-
B.
$\dfrac{{7a\sqrt 5 }}{5}$.
-
C.
$\dfrac{{8a\sqrt 3 }}{3}$.
-
D.
$\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{6}$.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,{\rm{ }}AD = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa \(SD\) với đáy bằng \({60^0}.\) Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) theo \(a\).
-
A.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
-
B.
\(d = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.\)
-
C.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
-
D.
$d = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Cho hình chóp $S.ABC $ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB = 3a, BC = 4a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa $SC$ và đáy bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC,$ tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM.$
-
A.
\(d = a\sqrt 3 .\)
-
B.
\(d = 5a\sqrt 3 .\)
-
C.
\(d = \dfrac{{5a}}{2}.\)
-
D.
\(d = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.\)
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), $AA’ = 2a$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD’$.
-
A.
$d = a\sqrt 2 .$
-
B.
$d = 2a.$
-
C.
$d = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$
-
D.
$d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.$
Cho hình chóp \(S.ABDC\), với đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O;AD,SA,AB\) đôi một vuông góc \(AD = 8,SA = 6\). \((P)\)là mặt phẳng qua trung điểm của \(AB\) và vuông góc với \(AB\). Thiết diện của \((P)\) và hình chóp có diện tích bằng?
-
A.
\(36\)
-
B.
\(16\)
-
C.
\(17\)
-
D.
\(18\)
Cho \(a, b\) là các số thực khác \(0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
-
A.
\(a + b = 0\)
-
B.
\(2a + b = 0\)
-
C.
\(3a + 4b = 0\)
-
D.
\(3a + 2b = 0\)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $BC = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $\widehat {SCA} = \widehat {BSC} = {30^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$.
-
A.
$\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.$
-
B.
$\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.$
-
C.
$\dfrac{a}{3}.$
-
D.
$\dfrac{{\sqrt{3}a}}{2}.$
Lời giải và đáp án
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {SAC} = \widehat {SAB}\). Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SA\) và \(BC.\)
-
A.
\({30^0}.\)
-
B.
\({45^0}.\)
-
C.
\({60^0}.\)
-
D.
\({90^0}.\)
Đáp án : D
Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} \) rồi suy ra đáp án.
Xét \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \)
$ = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right) - \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\cos \widehat {SAB}$
$ = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB}.$ \(\left( 1 \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA{\rm{ chung}}\\AB = AC\\\widehat {SAB} = \widehat {SAC}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC{\rm{ }}\left( {c - g - c} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}SC = SB\\\widehat {ASC} = \widehat {ASB}\end{array} \right.\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\). Vậy \(SA \bot BC\).
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy lớn $AB$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $Q$ là điểm trên cạnh $SA$ và $Q \ne A,$ $Q \ne S$; $M$ là điểm trên đoạn $AD$ và $M \ne A$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $QM$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$. Thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho là:
-
A.
tam giác.
-
B.
hình thang cân.
-
C.
hình thang vuông
-
D.
hình bình hành
Đáp án : C
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)$. Mà $\left( \alpha \right) \bot \left( {SAD} \right)$ suy ra $AB\parallel \left( \alpha \right)$.
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $N$.
Qua $Q$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $SB$ tại $P$.
Khi đó thiết diện là hình thang $MNPQ$ (do \(MN\parallel PQ\)).
Vì $AB \bot \left( {SAD} \right)$ suy ra $MN \bot \left( {SAD} \right)$ nên $MN \bot MQ$.
Do đó thiết diện $MNPQ$ là hình thang vuông tại Q và $M$.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
-
B.
Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó
-
C.
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
-
D.
Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.
Đáp án : A
Xét tính đúng sai của từng đáp án dựa vào tính chất đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Đáp án A: Đúng
Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố "đường vuông góc chung phải cắt nhau với hai đường thẳng đã cho".
Đáp án C: Sai, vì "mặt phẳng đi qua đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia" chưa chắc đã tồn tại.
Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
A.
Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
-
B.
Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P) $ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ tới $mp(P).$
-
C.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ đến một điểm $N$ bất kỳ trên $b$
-
D.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
Đáp án : C
Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc đường thẳng $b$ đến mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.
Cho hàm số \(y = \sin x\). Chọn câu sai ?
-
A.
\(y' = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
-
B.
\(y'' = \sin \left( {x + \pi } \right)\)
-
C.
\(y''' = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
-
D.
\({y^{\left( 4 \right)}} = \sin \left( {2\pi - x} \right)\)
Đáp án : D
Tính đạo hàm cấp một, hai, ba, biến đổi các công thức lượng giác và suy ra đáp án sai.
\(y' = \cos x = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
\(y'' = - \sin x = \sin \left( {x + \pi } \right) \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
\(y''' = - \cos x = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
Cho hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}.\) Tính giá trị biểu thức \(M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y''.\)
-
A.
\(M = 0.\)
-
B.
\(M = 20.\)
-
C.
\(M = 40.\)
-
D.
\(M = 100.\)
Đáp án : C
Khai triển hàm số về dạng hàm đa thức rồi tính các đạo hàm từ cấp 1 đến cấp 4, thay vào biểu thức \(M\) và kết luận.
Hàm số viết lại: \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x\), \(y'' = 12{x^2} - 4\), \(y''' = 24x\), \({y^{\left( 4 \right)}} = 24\).
Khi đó \(M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y'' = 24 + 2x.24x - 4\left( {12{x^2} - 4} \right) = 40.\)
Chọn đáp án đúng: Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương thì:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = + \infty \)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = 0\)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = - \infty \)
Đáp án : A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\) nên đáp án A đúng.
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}$ bằng?
-
A.
$4$
-
B.
$6$
-
C.
$-4$
-
D.
$-6$
Đáp án : C
- Rút gọn phân thức.
- Khử dạng $\dfrac{0}{0}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{(x + 1)(x + 5)}}{{(x + 1)({x^2} + x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{{ - 1 + 5}}{{{{( - 1)}^2} + ( - 1) - 1}} = - 4$
Giới hạn $\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$bằng?
-
A.
$ - 4.$
-
B.
$ - 1.$
-
C.
$5.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{2}.$
Đáp án : C
Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^5}$.
$\lim \dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}{{(n + 1)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$ $ = \lim \dfrac{{\dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}}}{{{n^3}}}.\dfrac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{{2 - 25{n^5}}}{{{n^5}}}}}$ $ = \dfrac{{{{\left( {\frac{{2 - 5n}}{n}} \right)}^3}.{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{n^5}}} - 25}}$ $ = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 5} \right)}^3}.{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\dfrac{2}{{{n^5}}} - 25}} $ $ = \dfrac{{{{\left( {0 - 5} \right)}^3}{{\left( {1 + 0} \right)}^2}}}{{0 - 25}}$ $= \dfrac{{{{( - 5)}^3}{{.1}^2}}}{{ - 25}} = 5$.
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\) là:
-
A.
\(0.\)
-
B.
\( + \infty .\)
-
C.
\(\sqrt 2 - 1.\)
-
D.
\( - \infty .\)
Đáp án : B
Đặt \(x\) làm nhân tử chung.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right) = + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty} \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1 = 2 > 0\end{array} \right..\)
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}}$ là:
-
A.
\(\dfrac{1}{4}.\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}.\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3}.\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}.\)
Đáp án : B
Thay \(x = 2\) vào hàm số lấy giới hạn.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}} = \sqrt [3]{\dfrac{{{2^2} - 2 - 1}}{{{2^2} + 2.2}}} = \dfrac{1}{2}$
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
-
A.
$1.$
-
B.
$\dfrac{2}{3}.$
-
C.
$ - 1.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{3}.$
Đáp án : D
Bước 1: Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${5^n}$.
Bước 2: Sử dụng giới hạn \(\lim {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right| < 1\).
Bước 1:
$\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$ $ = \lim \dfrac{{{{2.2}^n} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} $
$= \lim \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} - 3 + 5.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 9}}$
Bước 2:
$ =\dfrac{2.0-3+5.0}{3.0+9}= \dfrac{{ - 3}}{9} = - \dfrac{1}{3}.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh bên $SA = a\sqrt 3 $ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABC} \right)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
-
A.
$d = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.$
-
B.
$d = a.$
-
C.
$d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.$
-
D.
$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Gọi M là trung điểm BC, suy ra $AM \bot BC$ và $AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Gọi K là hình chiếu của A trên SM, suy ra $AK \bot SM$. $\left( 1 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AK.$ $\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2), suy ra $AK \bot \left( {SBC} \right)$ nên $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK.$
Trong $\Delta \,SAM$, có $AK = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {15} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.$
Vậy $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\). Giá trị của \(f'\left( 8 \right)\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{12}}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{6}\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{{12}}\)
Đáp án : B
+) Đưa hàm số về dạng \({x^n}\) và áp dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)
+) Thay $x = 8$ và tính \(f'\left( 8 \right)\)
\(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}.{x^{\frac{1}{3} - 1}} = \dfrac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\) \(\Rightarrow f'\left( 8 \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{8^2}}}}} = \dfrac{1}{{12}}\)
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\tan \varphi = \sqrt 6 .$
-
B.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
-
C.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
-
D.
$\tan \varphi = \sqrt 2 .$
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Gọi $O = AC \cap BD$. Do hình chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $SD.$ Tam giác $SCD$ đều nên $CM \bot SD$.
Tam giác $SBD$ có $SB = SD = a,$ $BD = a\sqrt 2 $
Suy ra $\Delta \,SBD$ vuông tại $S \Rightarrow SB \bot SD \Rightarrow OM \bot SD.$
Do đó
$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SD\\\left( {SBD} \right) \supset OM \bot SD\\\left( {SCD} \right) \supset CM \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {OM;CM} \right)} = \widehat {OMC}.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}OC \bot BD\\OC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow OC \bot OM$.
Tam giác vuông MOC vuông tại O, có $\tan \widehat {CMO} = \dfrac{{OC}}{{OM}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}a\sqrt 2 }}{{\dfrac{1}{2}a}} = \sqrt 2 $.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
-
A.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
-
B.
Nếu \(a\) và \(b\) song song (hoặc \(a\) trùng với \(b\)) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) .
-
C.
Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
-
D.
Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(b\).
Đáp án : B
Sử dụng các định nghĩa, tính chất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để xét tính đúng, sai cho từng đáp án.
Đáp án A sai vì nếu trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì định nghĩa đó không còn đúng.
Đáp án C sai vì \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có thể trùng nhau.
Đáp án D sai vì \(a,b\) có thể trùng nhau.
Trong không gian tập hợp các điểm \(M\) cách đều hai điểm cố định \(A\) và \(B\) là
-
A.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
-
B.
Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
-
C.
Mặt phẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\).
-
D.
Đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(AB\).
Đáp án : A
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó
Hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\) có đạo hàm cấp ba là:
-
A.
\(y''' = 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
-
B.
\(y''' = 24x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
-
C.
\(y''' = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\)
-
D.
\(y''' = - 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
Đáp án : C
Cách 1: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp tính lần lượt đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba.
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\) trước khi tính đạo hàm.
Cách 1:
\(\begin{array}{l}y' = 3{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)' = 6x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\\y'' = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 6x.2\left( {{x^2} + 1} \right).2x\\\,\,\,\,\,\, = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\\y''' = 12\left( {{x^2} + 1} \right).2x + 24.2x.\left( {{x^2} + 1} \right) + 24{x^2}.2x\\\,\,\,\,\,\,\, = 24x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48{x^3}\\\,\,\,\,\,\, = 24x\left( {{x^2} + 1 + 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2}} \right) = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\end{array}\)
Cách 2:
\(\begin{array}{l}y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1\\y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x\\y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6\\y''' = 120{x^3} + 72x = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\end{array}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có tung độ bằng $5$ có phương trình là?
-
A.
\(y = 12x - 7\)
-
B.
\(y = - 12x - 7\)
-
C.
\(y = 12x + 17\)
-
D.
\(y = - 12x + 17\)
Đáp án : A
- Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng $5$.
- Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
\(\begin{array}{l}y = 5 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} = 5 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \left( C \right) \cap Oy = M\left( {1;5} \right)\\y' = 6{x^2} + 6x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 12\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {1;5} \right)\) là: \(y = 12\left( {x - 1} \right) + 5 = 12x - 7\)
Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thỏa mãn \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0?\)
-
A.
\(3x + y - 3 = 0\)
-
B.
\(3x - y - 3 = 0\)
-
C.
\( - 3x + y - 3 = 0\)
-
D.
\(3x + y + 3 = 0\)
Đáp án : A
- Tìm điểm có hoành độ \({x_0}\) thuộc đồ thị hàm số.
- Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\\f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x,f''\left( x \right) = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\end{array}\)
\(y'\left( 1 \right) = - 3 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {1;0} \right)\) là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0\)
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\), khi đó:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L\)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = M\)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L - M\)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = M + L\)
Đáp án : D
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$ bởi $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại ${x_0} = \sqrt 2 $ là
-
A.
$\dfrac{1}{2}$.
-
B.
$ - \dfrac{1}{2}$.
-
C.
$\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$.
-
D.
$ - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm tại \(x = {x_0}\), kí hiệu \(f'\left( {{x_0}} \right)\) nếu giới hạn
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'\left( {{x_0}} \right)$ tồn tại hữu hạn.
Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \({x_0}\).
Ta có \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)\( = \dfrac{1}{{{x_0} + \Delta x}} - \dfrac{1}{{{x_0}}}\)\( = - \dfrac{{\Delta x}}{{{x_0}\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - \dfrac{1}{{{x_0}\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\).
Vậy $f'\left( {{x_0}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}$$ \Rightarrow f'\left( {\sqrt 2 } \right) = - \dfrac{1}{2}$.
Biết rằng$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2{x^3} + 6\sqrt 3 }}{{3 - {x^2}}} = a\sqrt 3 + b.$ Tính \({a^2} + {b^2}.\)
-
A.
\(9.\)
-
B.
\(25.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(13.\)
Đáp án : A
Đưa tử và mẫu của phân thức về dạng tích, khử dạng vô định và tính giới hạn.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2({x^3} + 3\sqrt 3 )}}{{3 - {x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - x} \right)\left( {\sqrt 3 + x} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 3} \right)}}{{\sqrt 3 - x}}$
$ = \dfrac{{2\left[ {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} - \sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right) + 3} \right]}}{{\sqrt 3 - \left( { - \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{18}}{{2\sqrt 3 }} = 3\sqrt 3 $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 9$.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC = a$. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm$BC$. Biết $SB = a$. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$.
-
A.
\(30^\circ \).
-
B.
\(45^\circ \).
-
C.
\(60^\circ \).
-
D.
\(75^\circ \).
Đáp án : C
- Xác định góc giữa \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\) bởi định nghĩa: là góc giữa \(SA\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {ABC} \right)\).
- Tính góc tìm được ở trên, sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) suy ra
\(AH = BH = CH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\).
Ta có: \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,HA} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha \)
$ \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{SH}}{{AH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ $.
Biết rằng \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\a&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) (với \(a\) là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị \(a\) là đúng?
-
A.
\(a\) là một số nguyên
-
B.
\(a\) là một số vô tỉ
-
C.
\(a > 5.\)
-
D.
\(a < 0.\)
Đáp án : A
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\)
Hàm số xác định và liên tục trên \(\left[ {0;1} \right)\). Khi đó \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).{\rm{ }}\left( * \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = a\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)} \right] = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow a = 4\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách từ đỉnh \(A\) của hình lập phương đó đến đường thẳng \(CD'\) bằng
-
A.
\(a\sqrt 2 \).
-
B.
\(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
-
C.
\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
-
D.
\(a\sqrt 3 \).
Đáp án : B
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD'\), chứng minh \(AM \bot CD'\) và tính độ dài \(AM\).
Gọi $M$ là trung điểm của $CD'$. Do \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình lập phương nên tam giác $ACD'$là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \).
$AM \bot CD' \Rightarrow d\left( {A,CD'} \right) = AM = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{x\sqrt x }}\) là:
-
A.
\(y' = \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
-
B.
\(y' = - \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
-
C.
\(y' = \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
-
D.
\(y' = - \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
Đáp án : D
Đưa hàm số về dạng \({x^n}\) và áp dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{{x\sqrt x }} = \dfrac{1}{{x.{x^{\frac{1}{2}}}}} = \dfrac{1}{{{x^{1 + \frac{1}{2}}}}} = \dfrac{1}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\\ \Rightarrow y' = - \dfrac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2} - 1}} = - \dfrac{3}{2}{x^{ - \frac{5}{2}}} = - \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = - \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\end{array}\)
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
\(OA \bot BC.\)
-
B.
\(OH \bot AB\)
-
C.
$H$ là trực tâm \(\Delta ABC.\)
-
D.
\(AH \bot \left( {OBC} \right)\)
Đáp án : D
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng và ngược lại.
+) \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC.\) Do đó A đúng.
+) Do \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(OH \bot AB\) nên B đúng.
Gọi \(I = AH \cap BC.\)
Theo giả thiết ta có $OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC.$ Suy ra \(BC \bot \left( {AOI} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot OI,BC \bot AI\)
Gọi \(J = BH \cap AC.\) Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot BJ\).
Suy ra $H$ là trực tâm \(\Delta ABC.\) Do đó C đúng.
Vậy D là đáp án sai vì \(AO \bot \left( {OBC} \right)\) và \(AO \ne AH\).
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}$
Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{2}.$
-
B.
$\dfrac{1}{4}.$
-
C.
$1.$
-
D.
$2.$
Đáp án : A
- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn.
$\begin{array}{l}{u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}}+ ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{2}. \left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}+ ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) \\ = \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right)\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{2}.\end{array}$
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) ta được:
-
A.
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\)
-
B.
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
-
C.
Không tồn tại đạo hàm
-
D.
\(f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Đáp án : B
+) Tính đạo hàm của hàm số khi \(x > 1\)
+) Tính đạo hàm của hàm số khi \(x < 1\)
+) Sử dụng định nghĩa đạo hàm, xét sự tồn tại của đạo hàm của hàm số tại $x = 1.$
Với \(x > 1\) ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Với \(x < 1\) ta có : \(f\left( x \right) = 2x + 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2\)
Với $x = 1$ ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = - 1 \ne f\left( 1 \right) = 4 \) \(\Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại $x = 1,$ do đó không có đạo hàm tại $x = 1.$
Vậy \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)$ bằng?
-
A.
$-1$
-
B.
$0$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$1$
Đáp án : A
- Nhân liên hợp để khử dạng $\infty - \infty $
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right) \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 1 - {{(x - 1)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}}\\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x}}{x}}}{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - \dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{2}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - 1 + \dfrac{1}{x}}}\\ = \dfrac{2}{{ - 1 - 1 + 0}} = - 1\end{array}$
Tính$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} $ bằng?
-
A.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.
-
B.
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{2}.$
Đáp án : A
- Đưa $x - 1$ vào trong căn: $x - 1 = - \sqrt {{{(x - 1)}^2}} \,\,\,\,khi\,\,x \to - \infty $
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}{{(x - 1)}^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right] \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}({x^2} - 2x + 1)}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^4} - 2{x^3} + {x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{2 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^4}}}}}} } \right] = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn $[a; b]$ và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
-
B.
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
-
C.
Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
-
D.
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Đáp án : D
Nhận xét từng đáp án, sử dụng định lí: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\).
Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 5.\) Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) và liên tục trên đoạn đó, đồng thời \(f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0\) nhưng phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0\) có nghiệm $x = \pm \sqrt 5 \in \left( { - 3;3} \right)$
Đáp án B sai vì thiếu điều kiện \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\).
Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0\\x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0\end{array} \right.\). Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), có nghiệm \(x = - 1\) thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) nhưng gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)\) nên không liên tục trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) .
Đáp án D đúng. Thật vậy:
+ Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0\\f\left( b \right) > 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) < 0\\f\left( b \right) < 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0\)
Vậy không có giá trị nào của $x$ để \(f\left( x \right) = 0\), hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 3\end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
-
A.
\(m \in \emptyset \)
-
B.
\(m \in R\)
-
C.
$m = 1$
-
D.
\(m = - 1\)
Đáp án : A
Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 3.$
Để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( 1 \right) = 1\end{array}\)
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow $ Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)$.
Vậy không có giá trị nào của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi
-
A.
\(0 < x < 2\)
-
B.
\(x < 1\)
-
C.
\(x < 0\) hoặc \(x > 1\)
-
D.
\(x < 0\) hoặc \(x > 2\)
Đáp án : A
Tính \(f'\left( x \right)\) sau đó giải bất phương trình \(f'\left( x \right) < 0\)
Có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3.2x = 3{x^2} - 6x\)
\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 3}}{{x + 4}}\) có đạo hàm là $y'$ và $y''$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(2{\left( {y'} \right)^2} = \left( {y + 1} \right)y''.\)
-
B.
\(2{\left( {y'} \right)^2} = \left( {y - 1} \right)y''.\)
-
C.
\(2{\left( {y'} \right)^2} = - \left( {y - 1} \right)y''.\)
-
D.
\(2{\left( {y'} \right)^2} = \left( { - y - 1} \right)y''.\)
Đáp án : B
Tính \(y',y''\) và kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án.
$\begin{array}{l}
y = \frac{{x - 3}}{{x + 4}} = \frac{{x + 4 - 7}}{{x + 4}}\\
= \frac{{x + 4}}{{x + 4}} - \frac{7}{{x + 4}} = 1 - \frac{7}{{x + 4}}\\
y' = \left( {1 - \frac{7}{{x + 4}}} \right)' = - \frac{{ - 7}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\\
y'' = \left[ {\frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} \right]' = \frac{{ - 7\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2}} \right]}^2}}}\\
= \frac{{ - 7.2\left( {x + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}} = - \frac{{14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}\\
2{\left( {y'} \right)^2} = 2.{\left[ {\frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} \right]^2} = \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}\\
\Rightarrow 2{\left( {y'} \right)^2}:y'' = \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}:\left[ { - \frac{{14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}} \right]\\
= \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}.\frac{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}{{ - 14}} = \frac{{ - 7}}{{x + 4}} = y - 1\\
\Rightarrow 2{\left( {y'} \right)^2}:y'' = y - 1\\
\Rightarrow 2{\left( {y'} \right)^2} = \left( {y - 1} \right)y''
\end{array}$
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Đáp án : D
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\,\,\left( d \right)\)
Cho \(A \in \left( d \right)\), tìm \({x_0}\), có bao nhiêu nghiệm \({x_0}\) thì có bấy nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua $A.$
\(y' = 3{x^2} - 3\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)\) là: \(y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\)
$\begin{array}{l}A \in d \Rightarrow - 6 = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\\ \Leftrightarrow - 6 = 3x_0^2 - 3x_0^3 - 3 + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 1\\ \Leftrightarrow - 2x_0^3 + 3x_0^2 + 4 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2\end{array}$
Vậy số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là $1$.
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\) song song với đường thẳng \(y = 8x + 2\) là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$0$
Đáp án : B
Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến phụ thuộc vào $x_0$
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\left( d \right)\)
Bước 2: Sử dụng tính chất \(\left( d \right)//\left( {y = 8x + 2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 8\)
Bước 1:
\(y' = {x^2} - 4x + 3\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:
\(y = \left( {x_0^2 - 4{x_0} + 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{1}{3}x_0^3 - 2x_0^2 + 3{x_0} + 1\left( d \right)\)
Bước 2:
\(\left( d \right)//\left( {y = 8x + 2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 8 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 8\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 5}\\{{x_0} = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 8\left( {x - 5} \right) + \dfrac{{23}}{3} = 8x - \dfrac{{97}}{3}}\\{\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 8\left( {x + 1} \right) - \dfrac{{13}}{3} = 8x + \dfrac{{11}}{3}}\end{array}} \right.\)
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $2$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$. Số đo của góc $\left( {MN,SC} \right)$ bằng:
-
A.
$45^\circ $
-
B.
$30^\circ $
-
C.
$90^\circ $
-
D.
$60^\circ $
Đáp án : C
- Chứng minh \(SA \bot SC\) bằng cách sử dụng định lý Pi-ta-go.
- Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot c\)
Ta có: $AC = a\sqrt 2 $
$ \Rightarrow A{C^2} = 2{a^2} = S{A^2} + S{C^2}$
$ \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$.
Khi đó: $\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {SC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {SC} } \right) = 90^\circ $
$ \Rightarrow \left( {MN,SC} \right) = 90^\circ $
Cho hình chóp $S.ABC$ có \(SA \bot (ABC)\) và tam giác $ABC$ không vuông, gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác$ABC$ và $SBC$. Các đường thẳng $AH,{\rm{ }}SK,{\rm{ }}BC$ thỏa mãn:
-
A.
Đồng quy.
-
B.
Đôi một song song
-
C.
Đôi một chéo nhau
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : A
Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)
Gọi $AA'$ là đường cao của tam giác $ABC$ \( \Rightarrow AA' \bot BC\) mà
\(BC \bot SA\) nên \(BC \bot SA' \Rightarrow A' \in SK\) (vì \(K\) là trực tâm của tam giác)
Cho hình chóp $S.ABC$ thỏa mãn $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}SB{\rm{ }} = {\rm{ }}SC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $mp\left( {ABC} \right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
-
A.
$\left( SBH \right)\cap ~\left( SCH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
-
B.
$\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
-
C.
\(AB \bot SH\).
-
D.
$\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$.
Đáp án : A
Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc mặt phẳng và xác định giao tuyến của các mặt phẳng.
Do SH\(\bot\) (ABC) nên \(SH\bot HA, SH\bot HB, SH\bot HC\).
Xét các tam giác vuông SHA, SHB, SHC có:
SA=SB=SC
SH chung
Do đó \(\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\)
Suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm BC hay H là trung điểm của BC.
Do đó $\left( SBH \right) \equiv \left( SCH \right)$ nên A sai.
Lại có $\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$ và $\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$ nên B và D đều đúng.
Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AB\) nên C đúng.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB = a,$ $AD = 2a.$ Cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $SO$ và vuông góc với $\left( {SAD} \right).$ Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ và hình chóp đã cho.
-
A.
$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
-
B.
$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
-
C.
$S = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
-
D.
$S = {a^2}.$
Đáp án : B
Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm $AD,{\rm{ }}BC$. Khi đó
\( \bullet \) $MN$ đi qua $O.$
\( \bullet \) $\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AD\\MN \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAD} \right).$
Từ đó suy ra $\left( \alpha \right) \equiv \left( {SMN} \right)$ và thiết diện cần tìm là tam giác $SMN$.
Tam giác $SMN$ vuông tại $M$ nên
${S_{\Delta \,SMN}} = \dfrac{1}{2}SM.MN = \dfrac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + {{\left( {\dfrac{{AD}}{2}} \right)}^2}} .AB = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho nửa đường tròn đường kính $AB = 2R$ và điểm $C$ thuộc nửa đường tròn đó sao cho $AC = R$. Trên đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$ tại $A$ lấy điểm $S$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng ${60^0}$. Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB,\,\,SC$. Độ dài cạnh $SA$ tính theo $R$ là
-
A.
$\dfrac{R}{{\sqrt 2 }}.$
-
B.
$\dfrac{R}{2}.$
-
C.
$\dfrac{R}{4}.$
-
D.
$\dfrac{R}{{2\sqrt 2 }}.$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AK$.
Do đó $AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot KH$.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SB \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\\\left( {SAC} \right) \supset HK \bot SB\end{array} \right.\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH;HK} \right)} = \widehat {AHK} = {60^0}\end{array}\)
Xét tam giác AHK vuông tại K có:
$AK = AH.\sin {60^0} \Leftrightarrow A{K^2} = \dfrac{3}{4}A{H^2} \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}}$.
Đặt SA = a, áp dụng hệ thức lượng, ta được
- $\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{R^2}}}$
- $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{R^2}}}$
Suy ra $\dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{R^2}}}} \right) = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{R^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{{{R^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{{{R^2}}}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{R}{{\sqrt 2 }}$.
Cho tứ diện $SABC$ trong đó$SA$, $SB$, $SC$ vuông góc với nhau từng đôi một và$SA = 3a$, $SB = a$,$SC = 2a$. Khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ bằng:
-
A.
$\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.
-
B.
$\dfrac{{7a\sqrt 5 }}{5}$.
-
C.
$\dfrac{{8a\sqrt 3 }}{3}$.
-
D.
$\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{6}$.
Đáp án : B
- Dựng hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\).
- Tính khoảng cách dựng được dựa vào các tính chất trong tam giác vuông.
+ Dựng $AH \bot BC$ $ \Rightarrow d\left( {A,BC} \right) = AH$.
+ $\left\{ \begin{array}{l}AS \bot \left( {SBC} \right) \supset BC \Rightarrow AS \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right.$, $AH$cắt $AS$ cùng nằm trong $\left( {SAH} \right)$.
$ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \supset SH \Rightarrow BC \bot SH$.
Xét trong $\Delta SBC$ vuông tại $S$ có $SH$ là đường cao ta có:
$\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}$ $ \Rightarrow S{H^2} = \dfrac{{4{a^2}}}{5}$ $ \Rightarrow SH = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.
+ Ta dễ chứng minh được $AS \bot \left( {SBC} \right) \supset SH \Rightarrow AS \bot SH$ $ \Rightarrow \Delta ASH$ vuông tại $S$.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho $\Delta ASH$ vuông tại $S$ta có:
$A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} = 9{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5} = \dfrac{{49{a^2}}}{5}$ $ \Rightarrow AH = \dfrac{{7a\sqrt 5 }}{5}$.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,{\rm{ }}AD = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa \(SD\) với đáy bằng \({60^0}.\) Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) theo \(a\).
-
A.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
-
B.
\(d = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.\)
-
C.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
-
D.
$d = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Xác định \({60^0} = \widehat {\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD,AD} \right)} = \widehat {SDA}\) và \(SA = AD.\tan \widehat {SDA} = 2a\sqrt 3 \).
Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$ ta có
$\begin{array}{l}CA \cap \left( {SBD} \right) = O \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{CO}}{{AO}} = 1\\ \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\end{array}$.
Trong $(ABCD)$ kẻ \(AE \bot BD\) và trong $(SAE)$ kẻ \(AK \bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AE\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BD \bot AK\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AK\).
Tam giác vuông \(BAD\), có \(AE = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).
Tam giác vuông \(SAE\), có \(AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy $d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Cho hình chóp $S.ABC $ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB = 3a, BC = 4a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa $SC$ và đáy bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC,$ tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM.$
-
A.
\(d = a\sqrt 3 .\)
-
B.
\(d = 5a\sqrt 3 .\)
-
C.
\(d = \dfrac{{5a}}{2}.\)
-
D.
\(d = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.\)
Đáp án : D
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\)
Xác định \({60^0} = \widehat {\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA}\) và \(SA = AC.\tan \widehat {SCA} = 5a\sqrt 3 .\)
Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\), suy ra \(MN\parallel AB\).
Lấy điểm \(E\) đối xứng với \(N\) qua \(M\), suy ra \(ABNE\) là hình chữ nhật.
Do đó $d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right).$
Kẻ \(AK \bot SE\).
Vì \(ME \bot AE,ME \bot SA\) nên \(ME \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow ME \bot AK\)
Mà \(AK \bot SE\) nên \(AK \bot \left( {SME} \right)\)
Khi đó \(d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.\)
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), $AA’ = 2a$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD’$.
-
A.
$d = a\sqrt 2 .$
-
B.
$d = 2a.$
-
C.
$d = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$
-
D.
$d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.$
Đáp án : C
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $D$,
suy ra $BCID$ là hình bình hành nên $BD//CI$
Do đó \(d\left( {BD;CD'} \right) = d\left( {BD;\left( {CD'I} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {CD'I} \right)} \right).\)
Kẻ \(DE \bot CI\) tại \(E\), kẻ $DK \bot D'E\,\,\left( 1 \right)$ ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CI \bot DE\\CI \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {DD'E} \right) \Rightarrow CI \bot DK\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DK \bot \left( {CD'I} \right) \)
\(\Rightarrow d\left( {D;\left( {CD'I} \right)} \right) = DK.\)
Xét tam giác $IAC$, ta có $DE // AC$ (do cùng vuông góc với $CI$) và có $D$ là trung điểm của $AI$ nên suy ra $DE$ là đường trung bình của tam giác $ACI$. Suy ra \(DE = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a.\)
Tam giác vuông $D'DE$, có $DK = \dfrac{{D'D.DE}}{{\sqrt {D'{D^2} + D{E^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$
Cho hình chóp \(S.ABDC\), với đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O;AD,SA,AB\) đôi một vuông góc \(AD = 8,SA = 6\). \((P)\)là mặt phẳng qua trung điểm của \(AB\) và vuông góc với \(AB\). Thiết diện của \((P)\) và hình chóp có diện tích bằng?
-
A.
\(36\)
-
B.
\(16\)
-
C.
\(17\)
-
D.
\(18\)
Đáp án : D
- Xác định thiết diện, sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc mặt phẳng: “Nếu một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó”.
- Chứng thiết diện là hình thang vuông và tính diện tích.
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\).
Qua \(E\) kẻ \(EF \bot CD,EG \bot AB \Rightarrow \left( {EGF} \right) \bot AB\) và \(F,G\) là trung điểm của \(DC,SB\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {EGF} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = FE\\FE//BC\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {EGF} \right) = GH//BC\) (định lý giao tuyến ba mặt phẳng)
Suy ra \(H\) là trung điểm của \(SC\).
Vậy thiết diện là hình thang \(GHFE\).
Vì \(GE//SA\) nên \(GE \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow GE \bot FE\) nên thiết diện là hình thang vuông.
\({S_{EGHF}} = \dfrac{{\left( {FE + GH} \right).GE}}{2} \) \(= \dfrac{{\left( {BC + \dfrac{1}{2}BC} \right).\dfrac{1}{2}SA}}{2} \) \( = \dfrac{{\left( {8 + 4} \right)3}}{2} = 18\)
Cho \(a, b\) là các số thực khác \(0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
-
A.
\(a + b = 0\)
-
B.
\(2a + b = 0\)
-
C.
\(3a + 4b = 0\)
-
D.
\(3a + 2b = 0\)
Đáp án : C
Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\)
Ta có:
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right) + \left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right) + \left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right)}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}.\dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}} + \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{{abx}}{{\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1} \right)}} + \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{b}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}} \right]\\ = 0 + \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3}\end{array}$
Để hàm số liên tục tại \(x = 0 \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = a + b \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{{2b}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3a + 4b = 0\)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $BC = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $\widehat {SCA} = \widehat {BSC} = {30^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$.
-
A.
$\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.$
-
B.
$\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.$
-
C.
$\dfrac{a}{3}.$
-
D.
$\dfrac{{\sqrt{3}a}}{2}.$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Đặt $AB = x \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \Rightarrow $$SA = AC.\tan \widehat {SCA} = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{3}} .$
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại $B,$ có $SB = \dfrac{{BC}}{{\tan \widehat {BSC}}} = a\sqrt 3 .$
Tam giác $SAB$ vuông tại $A,$ có $S{A^2} + A{B^2} = S{B^2}$.
$ \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{3} + {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow 4{x^2} = 8{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .$
Kẻ $DH \bot AM$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot DH\\AM \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {SAM} \right).$
\( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAM} \right)} \right) = DH\)
Xét $\Delta AMD$ vuông tại $D$, có $\dfrac{1}{{D{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{M{D^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}.$
$ \Rightarrow DH = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAM} \right)} \right) = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.$
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2