-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 1
Đề bài
Trong không gian cho tam giác đều $SAB$ và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi $H,$ $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
-
B.
$\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
-
C.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
-
D.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
-
A.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
-
B.
Nếu \(a\) và \(b\) song song (hoặc \(a\) trùng với \(b\)) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) .
-
C.
Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
-
D.
Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(b\).
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$, mặt bên $SAC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
$\left( I \right):AI \bot SC$
$\left( {II} \right):\,\,\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$
$\left( {III} \right):\,\,AI \bot BC$
$\left( {IV} \right):\,\,\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\)
-
A.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 3\)
-
B.
\(y' = 4{x^4} - 6x + 2\)
-
C.
\(y' = 4{x^3} - 3x + 2\)
-
D.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABCD} \right),\,\,SA = a\sqrt 2 .$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích $S.$ Tính $S$ theo $a.$
-
A.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{12}}.$
-
B.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
-
C.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{3}.$
-
D.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
${u_3} = 12.\,\,\,\,$
-
B.
${u_3} = - 12.$
-
C.
${u_3} = 16.$
-
D.
${u_3} = - 16.$
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(BC = a.\) Trên đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) lấy điểm \(S\) sao cho $SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\)
-
A.
\(30^\circ \).
-
B.
\(45^\circ \).
-
C.
\(60^\circ \).
-
D.
\(90^\circ \).
Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong \(\left( { - 2;1} \right)\)
-
B.
Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
-
C.
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\)
-
D.
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Xét \(y = f\left( x \right) = \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\). Phương trình \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{2}\)
-
B.
\(x = 0\) hoặc \(x = \dfrac{\pi }{6}\)
-
C.
\(x = 0\) hoặc \(x = \dfrac{\pi }{3}\)
-
D.
\(x = 0\) hoặc \(x = \dfrac{\pi }{2}\)
Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\), góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng $120^\circ $. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
-
A.
\(\left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt {19} \)
-
B.
\(\left| {\vec a - \vec b} \right| = 7\)
-
C.
\(\left| {\vec a - 2\vec b} \right| = \sqrt {139} \)
-
D.
\(\left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 9\)
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a = 12,$ gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AD.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp có diện tích bằng
-
A.
$36\sqrt 2 .$
-
B.
$40.$
-
C.
$36\sqrt 3 .$
-
D.
$36.$
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\) là:
-
A.
\(y' = \cos 2x\)
-
B.
\( - \cos 2x\)
-
C.
\(2\cos 2x\)
-
D.
\( - 2\cos 2x\)
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
$q = - 4\,.$
-
B.
$q = 4.$
-
C.
$q = - 12.$
-
D.
$q = 10.$
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB\) và \(CA = CB\). Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SC\) và \(AB.\)
-
A.
\({30^0}.\)
-
B.
\({45^0}.\)
-
C.
\({60^0}.\)
-
D.
\({90^0}.\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((ACD')\) và \((BA'C')\) bằng
-
A.
khoảng cách từ điểm \(D'\) đến đường thẳng \(A'C'\).
-
B.
khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và \(D'\).
-
C.
khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'C'\).
-
D.
khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác \(ACD'\) và \(BA'C'\)
Giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right)$ bằng?
-
A.
$ - \infty .$
-
B.
$ - \dfrac{1}{2}.$
-
C.
$0.$
-
D.
$ + \infty .$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{2}.$
-
B.
$\dfrac{9}{8}.$
-
C.
$1.$
-
D.
$\dfrac{3}{4}.$
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Hãy chọn câu đúng?
-
A.
\(4y - y'' = 0\)
-
B.
\(4y + y'' = 0\)
-
C.
\(y = y'\tan 2x\)
-
D.
\({y^2} = {\left( {y'} \right)^2} = 4\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{4}.$
-
B.
$\dfrac{1}{3}.$
-
C.
$ - \dfrac{1}{4}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{3}.$
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng góc giữa hai véc tơ chỉ phương của chúng
-
B.
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng góc giữa hai đường thẳng $a$ và $c$ thì $b$ song song với $c$
-
C.
Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
-
D.
Góc giữa hai đường thẳng không thể là góc tù.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là
-
A.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
-
B.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
-
C.
\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0} - x} \right)\)
-
D.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - {y_0}\)
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi $\widehat {BAD} = {60^0}$ và $A'A = A'B = A'D$. Gọi $O = AC \cap BD$. Hình chiếu của $A'$ trên $\left( {ABCD} \right)$ là :
-
A.
trung điểm của $AO.$
-
B.
trọng tâm $\Delta ABD.$
-
C.
giao của hai đoạn $AC$ và $BD.$
-
D.
trọng tâm$\Delta BCD.$
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt \(a,b,c\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
Nếu \(a\) và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a//b$
-
B.
Nếu $a//b$ và \(c \bot a\) thì \(c \bot b\).
-
C.
Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.
-
D.
Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $mp\left( \alpha \right)//c~$ thì góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$.
Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
-
A.
\({u_n} = \dfrac{n}{2}\)
-
B.
\({u_n} = \dfrac{2}{n}\)
-
C.
\({u_n} = n\)
-
D.
\({u_n} = \sqrt n \)
Cho ${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
-
A.
$1.$
-
B.
$ - \dfrac{1}{4}.$
-
C.
$\dfrac{4}{5}.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{4}.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,{\rm{ }}AC = a\sqrt 3 $. Tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.
-
A.
$d = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}.$
-
B.
$d = a.$
-
C.
$d = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}.$
-
D.
$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB \bot BC\). Dựng \(AH\) là đường cao của \(\Delta SAB\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(SA \bot CD\).
-
B.
\(AH \bot BC\).
-
C.
\(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
-
D.
\(AH \bot SC\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) =\) \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
-
A.
\(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
-
B.
\(\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
-
C.
\(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
-
D.
$R$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\). Giá trị của \(f'\left( 8 \right)\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{12}}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{6}\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{{12}}\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)$ bằng?
-
A.
$-1$
-
B.
$0$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$1$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} $ bằng?
-
A.
$ - \sqrt {\dfrac{3}{2}.} $
-
B.
$\sqrt {\dfrac{3}{2}} .$
-
C.
$\dfrac{3}{2}.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{2}.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 3\end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
-
A.
\(m \in \emptyset \)
-
B.
\(m \in R\)
-
C.
$m = 1$
-
D.
\(m = - 1\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn $[a; b]$ và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
-
B.
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
-
C.
Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
-
D.
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Hàm số \(y = {\tan ^2}\dfrac{x}{2}\) có đạo hàm là:
-
A.
\(y' = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}\)
-
B.
\(y' = {\tan ^3}\dfrac{x}{2}\)
-
C.
\(y' = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{co{s^3}\dfrac{x}{2}}}\)
-
D.
\(y' = \dfrac{{2\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}\)
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \)?
-
A.
${90^0}$
-
B.
${60^0}$
-
C.
${45^0}$
-
D.
${120^0}$
Đạo hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\) là:
-
A.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
-
B.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
-
C.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}}\)
-
D.
\(y' = 2\tan x - 2\cot x\)
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m + 1\) và có đồ thị \({C_m}\). Tập tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) với đường thẳng \(d:\,\,x = 1\) song song với đường thẳng \(y = - 12x + 4\) là :
-
A.
\(m = 0\)
-
B.
\(m = 1\)
-
C.
\(m = \pm 2\)
-
D.
\(m = 3\)
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
B.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
C.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
D.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA = x$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right).$ Xác định $x$ để hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ tạo với nhau một góc ${60^0}.$
-
A.
$x = \dfrac{{3a}}{2}.$
-
B.
$x = \dfrac{a}{2}.$
-
C.
$x = a.$
-
D.
$x = 2a.$
Cho hình chóp $A.BCD$ có cạnh $AC \bot \left( {BCD} \right)$ và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng $a$. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và $M$ là trung điểm của $BD$. Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AM$ bằng
-
A.
$a\sqrt {\dfrac{2}{3}} $.
-
B.
$a\sqrt {\dfrac{6}{{11}}} $.
-
C.
$a\sqrt {\dfrac{7}{5}} $.
-
D.
$a\sqrt {\dfrac{4}{7}} $.
Cho hình chóp $SABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right).$ Gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $SBC$ và$ABC$. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
-
A.
$BC \bot \left( {SAH} \right).$
-
B.
$HK \bot \left( {SBC} \right).$
-
C.
$BC \bot \left( {SAB} \right).$
-
D.
$SH,AK$ và $BC$ đồng quy.
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB = BC = a,$ \(A'B = a\sqrt 3 \). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B’C.$
-
A.
$d = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}.$
-
B.
$d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.$
-
C.
$d = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{7}.$
-
D.
$d = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}.$
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x - 1\). Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) trên \(\mathbb{R}\) là:
-
A.
\(0.\)
-
B.
\(1.\)
-
C.
\(2.\)
-
D.
\(3.\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
-
A.
\(3\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 2 \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\sqrt 3 \)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua trung điểm $E$ của $SC$ và vuông góc với $AB$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.
-
A.
${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}.$
-
B.
${S_{EFGH}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{32}}.$
-
C.
${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}.$
-
D.
${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 2 }}{{16}}.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $\widehat {BAC} = {90^0},\,\,\,BC = 2a,\,\,\,\widehat {ACB} = {30^0}.$ Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$ Biết rằng tam giác $SAB$ cân tại $S$ và tam giác $SBC$ vuông tại $S.$ Tính diện tích tam giác $SAB.$
-
A.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
-
B.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
-
C.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.$
-
D.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right).$
-
A.
${60^0}$
-
B.
${75^0}$
-
C.
${45^0}$
-
D.
${30^0}$
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) và $B$ là giao điểm thứ hai của $d$ với \(\left( C \right)\). Tính diện tích tam giác $OAB$?
-
A.
$12$
-
B.
$6$
-
C.
$18$
-
D.
$24$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$
-
A.
$\dfrac{{23}}{2}$.
-
B.
$24$.
-
C.
$\dfrac{3}{2}$.
-
D.
$3$.
Lời giải và đáp án
Trong không gian cho tam giác đều $SAB$ và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi $H,$ $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
-
B.
$\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
-
C.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
-
D.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với AB và CD.
Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ có $SH \bot AB \Rightarrow SH \bot d.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK \Rightarrow d \bot SK.$
Từ đó suy ra
$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot d\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;SK} \right)} = \widehat {HSK}.$
Trong tam giác vuông $SHK$, có $\tan \widehat {HSK} = \dfrac{{HK}}{{SH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
-
A.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
-
B.
Nếu \(a\) và \(b\) song song (hoặc \(a\) trùng với \(b\)) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) .
-
C.
Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
-
D.
Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(b\).
Đáp án : B
Sử dụng các định nghĩa, tính chất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để xét tính đúng, sai cho từng đáp án.
Đáp án A sai vì nếu trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì định nghĩa đó không còn đúng.
Đáp án C sai vì \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có thể trùng nhau.
Đáp án D sai vì \(a,b\) có thể trùng nhau.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$, mặt bên $SAC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
$\left( I \right):AI \bot SC$
$\left( {II} \right):\,\,\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$
$\left( {III} \right):\,\,AI \bot BC$
$\left( {IV} \right):\,\,\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : D
Tam giác $SAC$ đều có $I$ là trung điểm của $SC$ nên $AI \bot SC$.
\( \Rightarrow \) Mệnh đề (I) đúng.
Gọi $H$ là trung điểm $AC$ suy ra $SH \bot AC$. Mà $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ theo giao tuyến $AC$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$ do đó $SH \bot BC$. Hơn nữa theo giả thiết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $BC \bot AC$.
Từ đó suy ra $BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI.$ Do đó mệnh đề (III) đúng.
Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.
Ta có : $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\end{array}$
Vậy mệnh đề (II) đúng.
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\)
-
A.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 3\)
-
B.
\(y' = 4{x^4} - 6x + 2\)
-
C.
\(y' = 4{x^3} - 3x + 2\)
-
D.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức: $\left( {k.{x^n}} \right)' = k.n.{x^{n - 1}}$
\(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 3.2x + 2 = 4{x^3} - 6x + 2\)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABCD} \right),\,\,SA = a\sqrt 2 .$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích $S.$ Tính $S$ theo $a.$
-
A.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{12}}.$
-
B.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
-
C.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{3}.$
-
D.
$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$
Đáp án : B
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
Ta có AD vuông góc với SA và AB$ \Rightarrow AD \bot mp\,\,\left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SB.$
Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB
Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.
Vậy mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chính là mặt phẳng (AHD)
Mặt khác AD // mp(SBC) mà $AD \subset mp\,\,\left( {AHD} \right)$
Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.
Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà $AD \bot mp\,\,\left( {SAB} \right)$$ \Rightarrow \,AD \bot AH.$
Suy ra tứ giác ADKH là hình thang vuông.
Tam giác SAB vuông $ \Rightarrow \,\,AH = \dfrac{{SA.AB}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.$ Và $S{A^2} = SH.HB\,\, \Rightarrow \,\,SH = \dfrac{{S{A^2}}}{{SB}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Ta có $HK$//$BC$$ \Rightarrow \,\,\dfrac{{HK}}{{BC}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}\,\, \Rightarrow \,\,HK = \dfrac{{SH.BC}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}.$
Do đó ${S_{ADKH}} = \dfrac{{AH}}{2}.\left( {HK + AD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\left( {\dfrac{{2a}}{3} + a} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{{5a}}{3} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
${u_3} = 12.\,\,\,\,$
-
B.
${u_3} = - 12.$
-
C.
${u_3} = 16.$
-
D.
${u_3} = - 16.$
Đáp án : A
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}},\forall n \ge 2\)
Ta có: \({u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \) \(\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(BC = a.\) Trên đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) lấy điểm \(S\) sao cho $SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\)
-
A.
\(30^\circ \).
-
B.
\(45^\circ \).
-
C.
\(60^\circ \).
-
D.
\(90^\circ \).
Đáp án : D
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = 90^\circ \).
Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong \(\left( { - 2;1} \right)\)
-
B.
Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
-
C.
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\)
-
D.
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án : B
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho x0 là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).
TXĐ: D = R. Hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^2} + x + 1\) liên tục trên R.
Ta có: $f\left( { - 1} \right) = - 3,\,\,f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)\)
Ta có \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)$
\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong \(\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \) Đáp án A sai.
Ta có: $f\left( { - 1} \right) = - 3,\,\,f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow \)Đáp án C sai.
Ta có \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right) \subset \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow $ Đáp án D sai.
Xét \(y = f\left( x \right) = \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\). Phương trình \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{2}\)
-
B.
\(x = 0\) hoặc \(x = \dfrac{\pi }{6}\)
-
C.
\(x = 0\) hoặc \(x = \dfrac{\pi }{3}\)
-
D.
\(x = 0\) hoặc \(x = \dfrac{\pi }{2}\)
Đáp án : A
+) Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số đã cho. Sử dụng công thức tính đạo hàm
\(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u;\,\,\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u\)
+) Giải phương trình lượng giác.
$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 2\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\\f''\left( x \right) = - 4\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\\f'''\left( x \right) = 8\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 16\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\\x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2}\end{array}$
Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\), góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng $120^\circ $. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
-
A.
\(\left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt {19} \)
-
B.
\(\left| {\vec a - \vec b} \right| = 7\)
-
C.
\(\left| {\vec a - 2\vec b} \right| = \sqrt {139} \)
-
D.
\(\left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 9\)
Đáp án : D
Sử dụng các hằng đẳng thức bình phương của tổng, hiệu và công thức tích vô hướng của hai véc tơ để tính độ dài các véc tơ ở mỗi đáp án.
Đáp án A: \({\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\vec a^2} + {\vec b^2} + 2\vec a.\vec b \) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) \( = {3^2} + {5^2} + 2.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 19\)
Do đó \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} \)
Đáp án B: \({\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2}\)\( = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}\) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\) \( = {3^2} - 2.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {5^2} = 49\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 7\) nên B đúng.
Đáp án C: \({\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)^2}\) \( = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2}\) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\) \( = {3^2} - 4.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {4.5^2} = 139\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {139} \) nên C đúng.
Đáp án D: \({\left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)^2}\) \( = {\overrightarrow a ^2} + 4\overrightarrow a \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2}\) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\) \( = {3^2} + 4.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {4.5^2} = 79\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {79} \) nên D sai.
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a = 12,$ gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AD.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp có diện tích bằng
-
A.
$36\sqrt 2 .$
-
B.
$40.$
-
C.
$36\sqrt 3 .$
-
D.
$36.$
Đáp án : A
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, cụ thể là tính diện tích
Gọi $E $ là trung điểm của $AD$ ta có \(BE \bot AD,CE \bot AD \Rightarrow AD \bot \left( {BCE} \right) \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {BCD} \right)\)
Thiết diện là tam giác $BCE.$
Gọi $F$ là trung điểm của $BC.$
Ta có \(BE = CE = \dfrac{{12\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 ;\) \(EF = \sqrt {B{E^2} - B{F^2}} = 6\sqrt 2 \)
Diện tích thiết diện là \(S = \dfrac{1}{2}EF.BC = \dfrac{1}{2}.6\sqrt 2 .12 = 36\sqrt 2 \)
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\) là:
-
A.
\(y' = \cos 2x\)
-
B.
\( - \cos 2x\)
-
C.
\(2\cos 2x\)
-
D.
\( - 2\cos 2x\)
Đáp án : C
Bước 1: Sử dụng công thức đạo hàm của 1 tích: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)
Bước 2: Sử dụng công thức đạo hàm \(y = \sin 2x = 2\sin x\cos x\),
Bước 1:
\(\begin{array}{l}y = \sin 2x = 2\sin x\cos x\\ \Rightarrow y' = \left( {2\sin x\cos x} \right)'\\ = 2\left( {\sin x\cos x} \right)'\\ = 2\left[ {\left( {\sin x} \right)'.\cos x + \sin x.\left( {\cos x} \right)'} \right]\end{array}\)
Bước 2:
$= 2\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\\ = 2\cos 2x$
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
$q = - 4\,.$
-
B.
$q = 4.$
-
C.
$q = - 12.$
-
D.
$q = 10.$
Đáp án : A
Sử dụng định nghĩa công bội của cấp số nhân:
Nếu \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thì \(q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB\) và \(CA = CB\). Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SC\) và \(AB.\)
-
A.
\({30^0}.\)
-
B.
\({45^0}.\)
-
C.
\({60^0}.\)
-
D.
\({90^0}.\)
Đáp án : D
Tính tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) rồi suy ra đáp án.
Xét \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CS} .\left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB} \)
\( = CS.CA.\cos \widehat {SCA} - CS.CB.\cos \widehat {SCB}\)
Do \(\Delta SAC = \Delta SBC\left( {c.c.c} \right)\) nên \(\widehat {SCA} = \widehat {SCB} \Rightarrow \cos \widehat {SCA} = \cos \widehat {SCB}\)
Do đó \(CS.CA.\cos \widehat {SCA} - CS.CB.\cos \widehat {SCB} = 0\) (do \(CA = CB\)) hay \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Vậy \(SC \bot AB\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((ACD')\) và \((BA'C')\) bằng
-
A.
khoảng cách từ điểm \(D'\) đến đường thẳng \(A'C'\).
-
B.
khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và \(D'\).
-
C.
khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'C'\).
-
D.
khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác \(ACD'\) và \(BA'C'\)
Đáp án : D
- Gọi \(G,G'\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ACD'\) và \(BA'C'\).
- Chứng minh khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và \(\left( {BA'C'} \right)\) chính là \(GG'\) bằng cách chứng minh \(GG' \bot \left( {ACD'} \right),GG' \bot \left( {BA'C'} \right)\).
Gọi \(G,G'\) là trọng tâm các tam giác \(ACD',BA'C'\).
Khi đó \(DG \bot \left( {ACD'} \right),B'G' \bot \left( {BA'C'} \right)\) vì các hình chóp \(D.ACD'\) và \(B'.BA'C'\) là hình chóp đều.
Ta có: \(AC \bot \left( {BDD'B'} \right) \Rightarrow AC \bot DB'\)
Lại có \(CD' \bot \left( {ADC'B'} \right) \Rightarrow CD' \bot DB'\).
Do đó \(DB' \bot \left( {ACD'} \right)\).
Tương tự \(DB' \bot \left( {BA'C'} \right)\) nên \(\left( {ACD'} \right)//\left( {BA'C'} \right)\) và \(G,G' \in DB'\).
Do đó \(GG'\) vuông góc cả hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right),\left( {BA'C'} \right)\).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt đó là \(GG'\).
Giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right)$ bằng?
-
A.
$ - \infty .$
-
B.
$ - \dfrac{1}{2}.$
-
C.
$0.$
-
D.
$ + \infty .$
Đáp án : B
- Nhân liên hợp,
- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n.
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right)\) \(= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right).\left( {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}} \) \(= \lim \dfrac{{{n^2} - n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}} \) \(= \lim \dfrac{{ - n}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}}\) \(= \lim \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{n}} + 1}}\) \(= \dfrac{{ - 1}}{2} = - \dfrac{1}{2}.\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{2}.$
-
B.
$\dfrac{9}{8}.$
-
C.
$1.$
-
D.
$\dfrac{3}{4}.$
Đáp án : B
- Nhân liên hợp để khử dạng $\dfrac{0}{0}$.
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - \sqrt {x + 2} )(x + \sqrt {x + 2} )(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{(\sqrt {4x + 1} - 3)(\sqrt {4x + 1} + 3)(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{({x^2} - x - 2)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{(4x + 1 - 9)(x + \sqrt {x + 2} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x + 1)(x - 2)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{4(x - 2)(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x + 1)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{4(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \dfrac{{(2 + 1)(\sqrt {4.2 + 1} + 3)}}{{4(2 + \sqrt {2 + 2} )}} = \dfrac{9}{8}\end{array}$
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Hãy chọn câu đúng?
-
A.
\(4y - y'' = 0\)
-
B.
\(4y + y'' = 0\)
-
C.
\(y = y'\tan 2x\)
-
D.
\({y^2} = {\left( {y'} \right)^2} = 4\)
Đáp án : B
Tính các đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số, sau đó thử từng đáp án để chọn được đáp án đúng.
\(y' = 2\cos 2x;\,\,y'' = - 4\sin 2x = - 4y \Leftrightarrow 4y + y'' = 0\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{4}.$
-
B.
$\dfrac{1}{3}.$
-
C.
$ - \dfrac{1}{4}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{3}.$
Đáp án : C
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, chia cả tử và mẫu cho $x-2$ khử dạng vô định và tính giới hạn.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}}{{(x - 2)(x + 2)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - 1)(x - 3)}}{{x + 2}} \) \(= \dfrac{{(2 - 1)(2 - 3)}}{{2 + 2}} = \dfrac{{ - 1}}{4}\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng góc giữa hai véc tơ chỉ phương của chúng
-
B.
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng góc giữa hai đường thẳng $a$ và $c$ thì $b$ song song với $c$
-
C.
Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
-
D.
Góc giữa hai đường thẳng không thể là góc tù.
Đáp án : D
Đáp án A sai vì nếu góc giữa hai véc tơ chỉ phương lớn hơn \({90^0}\) thì góc giữa hai đường thẳng sẽ là góc bù với góc đó chứ không bằng.
Đáp án B sai vì vẫn có thể xảy ra các trường hợp \(b\) và \(c\) chéo nhau, cắt nhau, trùng nhau.
Đáp án C sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể nhọn hoặc vuông.
Do đó D đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là
-
A.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
-
B.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
-
C.
\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0} - x} \right)\)
-
D.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - {y_0}\)
Đáp án : B
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi $\widehat {BAD} = {60^0}$ và $A'A = A'B = A'D$. Gọi $O = AC \cap BD$. Hình chiếu của $A'$ trên $\left( {ABCD} \right)$ là :
-
A.
trung điểm của $AO.$
-
B.
trọng tâm $\Delta ABD.$
-
C.
giao của hai đoạn $AC$ và $BD.$
-
D.
trọng tâm$\Delta BCD.$
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa trục đường tròn đáy để tìm hình chiếu của \(A'\) trên mặt đáy
Vì $A'A = A'B = A'D \Rightarrow $ hình chiếu của \(A'\) trên $\left( {ABCD} \right)$ trùng với \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABD\,\,\left( 1 \right).\)
Mà tứ giác \(ABCD\) là hình thoi và $\widehat {BAD} = {60^0}$ nên \(\Delta BAD\) là tam giác đều \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\,\)và \(\left( 2 \right) \Rightarrow H\) là trọng tâm \(\Delta ABD\,.\)
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt \(a,b,c\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
Nếu \(a\) và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a//b$
-
B.
Nếu $a//b$ và \(c \bot a\) thì \(c \bot b\).
-
C.
Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.
-
D.
Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $mp\left( \alpha \right)//c~$ thì góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$.
Đáp án : B
A sai vì: Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với $c$)
C sai vì: Giả sử hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau, ta dựng đường thẳng $c$ là đường vuông góc chung của $a$ và $b$. Khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng với góc giữa $b$ và $c$ và cùng bằng ${90^0}$, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng $a$ và $b$ không song song.
D sai vì: Giả sử $a$ vuông góc với $c,b~$ song song với $c$, khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng ${90^0}$, còn góc giữa $b$ và $c$ bằng ${0^0}$.
Do đó B đúng.
Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
-
A.
\({u_n} = \dfrac{n}{2}\)
-
B.
\({u_n} = \dfrac{2}{n}\)
-
C.
\({u_n} = n\)
-
D.
\({u_n} = \sqrt n \)
Đáp án : B
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) mà \({u_n} = \dfrac{2}{n}\) có giới hạn \(0\).
Cho ${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
-
A.
$1.$
-
B.
$ - \dfrac{1}{4}.$
-
C.
$\dfrac{4}{5}.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{4}.$
Đáp án : B
Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^2}$.
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{3}{n}}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 4}} = \dfrac{1}{{ - 4}} = - \dfrac{1}{4}.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,{\rm{ }}AC = a\sqrt 3 $. Tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.
-
A.
$d = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}.$
-
B.
$d = a.$
-
C.
$d = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}.$
-
D.
$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Đáp án : C
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Gọi $H$ là trung điểm của $BC,$ suy ra $SH \bot BC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$.
Gọi $K$ là trung điểm $AC$, suy ra $HK \bot AC$.
Kẻ $HE \bot SK\,\,\,\,\left( {E \in SK} \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HK\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AC \bot HE\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow HE \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HE = d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\)
Ta có :
\(BH \cap \left( {SAC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BC}}{{HC}} = 2 \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HE\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)
Tam giác \(SBC\) đều cạnh \(2a\) nên đường cao \(SH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)
Lại có \(HK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(HK = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\)
Vậy \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HE = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB \bot BC\). Dựng \(AH\) là đường cao của \(\Delta SAB\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(SA \bot CD\).
-
B.
\(AH \bot BC\).
-
C.
\(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
-
D.
\(AH \bot SC\).
Đáp án : C
Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot CD\) hay A đúng.
Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot AH\) nên B đúng.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\) nên D đúng.
Do \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên nó không thể vuông góc với \(\left( {SCD} \right)\) nên C sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) =\) \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
-
A.
\(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
-
B.
\(\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
-
C.
\(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
-
D.
$R$
Đáp án : A
Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0,$ sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\) .
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\dfrac{1}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\cos x}} = 1.\dfrac{1}{1} = 1\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right\} \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)\)
\( \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0,$ do đó loại các đáp án B, C, D.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\). Giá trị của \(f'\left( 8 \right)\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{12}}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{6}\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{{12}}\)
Đáp án : B
+) Đưa hàm số về dạng \({x^n}\) và áp dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)
+) Thay $x = 8$ và tính \(f'\left( 8 \right)\)
\(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}.{x^{\frac{1}{3} - 1}} = \dfrac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\) \(\Rightarrow f'\left( 8 \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{8^2}}}}} = \dfrac{1}{{12}}\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)$ bằng?
-
A.
$-1$
-
B.
$0$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$1$
Đáp án : A
- Nhân liên hợp để khử dạng $\infty - \infty $
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right) \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 1 - {{(x - 1)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}}\\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x}}{x}}}{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - \dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{2}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - 1 + \dfrac{1}{x}}}\\ = \dfrac{2}{{ - 1 - 1 + 0}} = - 1\end{array}$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} $ bằng?
-
A.
$ - \sqrt {\dfrac{3}{2}.} $
-
B.
$\sqrt {\dfrac{3}{2}} .$
-
C.
$\dfrac{3}{2}.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{2}.$
Đáp án : A
- Đưa $x$ vào trong căn: $x = - \sqrt {{x^2}} \,\,\,\,khi\,\,x \to - \infty $
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}\left( {3x + 2} \right)}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{3{x^3} + 2{x^2}}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{3 + \dfrac{2}{x}}}{{2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^3}}}}}} } \right) = - \sqrt {\dfrac{3}{2}} \end{array}$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 3\end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
-
A.
\(m \in \emptyset \)
-
B.
\(m \in R\)
-
C.
$m = 1$
-
D.
\(m = - 1\)
Đáp án : A
Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 3.$
Để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( 1 \right) = 1\end{array}\)
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow $ Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)$.
Vậy không có giá trị nào của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn $[a; b]$ và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
-
B.
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
-
C.
Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
-
D.
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Đáp án : D
Nhận xét từng đáp án, sử dụng định lí: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\).
Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 5.\) Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) và liên tục trên đoạn đó, đồng thời \(f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0\) nhưng phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0\) có nghiệm $x = \pm \sqrt 5 \in \left( { - 3;3} \right)$
Đáp án B sai vì thiếu điều kiện \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\).
Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0\\x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0\end{array} \right.\). Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), có nghiệm \(x = - 1\) thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) nhưng gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)\) nên không liên tục trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) .
Đáp án D đúng. Thật vậy:
+ Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0\\f\left( b \right) > 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) < 0\\f\left( b \right) < 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0\)
Vậy không có giá trị nào của $x$ để \(f\left( x \right) = 0\), hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Hàm số \(y = {\tan ^2}\dfrac{x}{2}\) có đạo hàm là:
-
A.
\(y' = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}\)
-
B.
\(y' = {\tan ^3}\dfrac{x}{2}\)
-
C.
\(y' = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{co{s^3}\dfrac{x}{2}}}\)
-
D.
\(y' = \dfrac{{2\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}\)
Đáp án : C
Cách 1:
Bước 1: Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp $(u^n)'=n.u'.u^n-1$.
Bước 2: Sử dụng công thức đạo hàm của hàm $(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$
Cách 2:
\({\tan ^2}\dfrac{x}{2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\), sử dụng các công thức hạ bậc, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)
Bước 1:
$\begin{array}{l}
\left( {{{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)' = 2\tan \dfrac{x}{2}\left( {\tan \dfrac{x}{2}} \right)'\\
\end{array}$
Bước 2:
$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$
$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{\dfrac{1}{2}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \)?
-
A.
${90^0}$
-
B.
${60^0}$
-
C.
${45^0}$
-
D.
${120^0}$
Đáp án : B
- Biểu diễn các véc tơ \(\overrightarrow {AF} ,\overrightarrow {EG} \) qua ba véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} \).
- Tính tích có hướng \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} \) rồi suy ra giá trị \(\cos \left( {\overrightarrow {AF} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} }}{{\left| {\overrightarrow {AF} } \right|.\left| {\overrightarrow {EG} } \right|}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \\\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = A{B^2} + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} = A{B^2}\\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AF} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} }}{{\left| {\overrightarrow {AF} } \right|.\left| {\overrightarrow {EG} } \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt 2 .a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {\overrightarrow {AF} ,\overrightarrow {EG} } \right)} = {60^0}\end{array}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\) là:
-
A.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
-
B.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
-
C.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}}\)
-
D.
\(y' = 2\tan x - 2\cot x\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\), sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 tích: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)
$\begin{array}{l}y = {\tan ^2}x - co{t^2}x = \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)\\y' = \left( {\tan x - \cot x} \right)'\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)'\\y' = \left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\y' = \dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}$
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m + 1\) và có đồ thị \({C_m}\). Tập tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) với đường thẳng \(d:\,\,x = 1\) song song với đường thẳng \(y = - 12x + 4\) là :
-
A.
\(m = 0\)
-
B.
\(m = 1\)
-
C.
\(m = \pm 2\)
-
D.
\(m = 3\)
Đáp án : C
Bước 1: Gọi \(M = \left( {{C_m}} \right) \cap \left( {x = 1} \right)\), tìm tọa độ điểm $M$.
Bước 2:Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ song song với đường thẳng \(y = - 12x + 4 \Rightarrow y'\left( {{x_M}} \right) = - 12\)
Bước 1:
Khi $x = 1$ ta có \(y = 1 - 2{m^2} + 2m + 1 = - 2{m^2} + 2m + 2 \Rightarrow \left( {{C_m}} \right) \cap d = M\left( {1; - 2{m^2} + 2m + 2} \right)\)
Ta có : \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4 - 4{m^2}\)
Bước 2:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ song song với đường thẳng \(y = - 12x + 4\)
\( \Leftrightarrow y'\left( 1 \right) = - 12 \Leftrightarrow 4 - 4{m^2} = - 12 \Leftrightarrow 4{m^2} = 16 \Leftrightarrow m = \pm 2\)
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Đáp án : D
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\,\,\left( d \right)\)
Cho \(A \in \left( d \right)\), tìm \({x_0}\), có bao nhiêu nghiệm \({x_0}\) thì có bấy nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua $A.$
\(y' = 3{x^2} - 3\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)\) là: \(y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\)
$\begin{array}{l}A \in d \Rightarrow - 6 = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\\ \Leftrightarrow - 6 = 3x_0^2 - 3x_0^3 - 3 + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 1\\ \Leftrightarrow - 2x_0^3 + 3x_0^2 + 4 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2\end{array}$
Vậy số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là $1$.
Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
B.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
C.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
D.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
Đáp án : B
Sử dụng công thức cộng véc tơ : xen điểm \(G\) vào các véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {CD} \) với chú ý :
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) và \({\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2}\).
$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\end{array}$
$= 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 1 \right)$
Lại có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA = x$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right).$ Xác định $x$ để hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ tạo với nhau một góc ${60^0}.$
-
A.
$x = \dfrac{{3a}}{2}.$
-
B.
$x = \dfrac{a}{2}.$
-
C.
$x = a.$
-
D.
$x = 2a.$
Đáp án : C
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Từ $A$ kẻ $AH$ vuông góc với $SB\,\,\,\,\left( {H \in SB} \right).$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$ mà $AH \bot SB$ suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC$
Từ A kẻ AK vuông góc với $SD\,\,\,\left( {K \in SD} \right),$ tương tự, chứng minh được $AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AK \bot SC$
Khi đó $SC \bot \left( {AHK} \right)$ suy ra
$\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH;AK} \right)} = \widehat {HAK} = {60^0}.$
Lại có $\Delta \,SAB = \Delta \,SAD\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AH = AK$ mà $\widehat {HAK} = {60^0}$ suy ra tam giác AHK đều.
Tam giác SAB vuông tại A có $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{xa}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} = AK = HK$
Suy ra $SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{x^2} - \dfrac{{{x^2}{a^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}.$
Tương tự ta chứng minh được \(\dfrac{{SK}}{{SC}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}\)
$ \Rightarrow HK$//$BD$ suy ra $\dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{HK}}{{BD}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}} = \dfrac{{xa}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} .a\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow 2{x^2} = {x^2} + {a^2} \Rightarrow x = a.$
Cho hình chóp $A.BCD$ có cạnh $AC \bot \left( {BCD} \right)$ và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng $a$. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và $M$ là trung điểm của $BD$. Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AM$ bằng
-
A.
$a\sqrt {\dfrac{2}{3}} $.
-
B.
$a\sqrt {\dfrac{6}{{11}}} $.
-
C.
$a\sqrt {\dfrac{7}{5}} $.
-
D.
$a\sqrt {\dfrac{4}{7}} $.
Đáp án : B
- Dựng hình chiếu của \(C\) trên \(AM\).
- Tính khoảng cách dựa vào hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Dựng $CH \bot AM \Rightarrow d\left( {C,AM} \right) = CH$ .
Vì $\Delta BCD$ là tam giác đều cạnh $a$ và $M$ là trung điểm của $BD$ nên dễ tính được $CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Xét $\Delta ACM$ vuông tại $C$ có $CH$ là đường cao, ta có:
$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{C{A^2}}} + \dfrac{1}{{C{M^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} = \dfrac{{11}}{{6{a^2}}}\\ \Rightarrow C{H^2} = \dfrac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow CH = a\sqrt {\dfrac{6}{{11}}} \end{array}$
Cho hình chóp $SABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right).$ Gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $SBC$ và$ABC$. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
-
A.
$BC \bot \left( {SAH} \right).$
-
B.
$HK \bot \left( {SBC} \right).$
-
C.
$BC \bot \left( {SAB} \right).$
-
D.
$SH,AK$ và $BC$ đồng quy.
Đáp án : C
Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để xét tính đúng, sai của các đáp án.
Ta có\(BC \bot SA,\,BC\, \bot SH\,\, \Rightarrow \,BC \bot (SAH)\)
Ta có \(CK \bot AB,CK \bot SA \Rightarrow CK \bot (SAB)\) hay \(CK \bot SB\)
Mặt khác có \(CH \bot SB\) nên \(SB \bot (CHK)\) hay \(SB \bot HK\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
BK \bot AC\\
BK \bot SA
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC\)
Mà \(BH \bot SC\) nên \(SC \bot (BHK)\) nên \(SC \bot HK\).
Do đó \(HK \bot (SBC)\).
Gọi \(M\) là giao điểm của \(SH\) và \(BC\). Do \(BC \bot (SAH)\,\, \Rightarrow BC \bot AM\) hay đường thẳng
\(AM\) trùng với đường thẳng \(AK\). Hay $SH,AK$ và $BC$ đồng quy.
Do đó $BC \bot \left( {SAB} \right)$ là sai.
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB = BC = a,$ \(A'B = a\sqrt 3 \). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B’C.$
-
A.
$d = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}.$
-
B.
$d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.$
-
C.
$d = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{7}.$
-
D.
$d = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}.$
Đáp án : D
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Ta có $AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 $.
Dựng $Cx||AM$ khi đó $d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {AM;\left( {B'Cx} \right)} \right)$.
$ = d\left( {M;\left( {B'Cx} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {B;\left( {B'Cx} \right)} \right)$
(vì \(BM \cap \left( {B'Cx} \right) = C\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\))
Dựng $\left\{ \begin{array}{l}BE \bot Cx\\BF \bot B'E\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$ ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}Cx \bot BE\\Cx \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow Cx \bot \left( {BB'E} \right) \Rightarrow Cx \bot BF\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow BF \bot \left( {B'Cx} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {B'Cx} \right)} \right) = BF$
Gọi \(P = BE \cap AM\), do \(MP//CE,MB = MC\) nên \(PB = PE\)
Mà $BP = \dfrac{{AB.BM}}{{\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}$
Suy ra $BE = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow BF = \dfrac{{BE.BB'}}{{\sqrt {B{E^2} + BB{'^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 7 }}$
Do đó $d = \dfrac{a}{{\sqrt 7 }}$.
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x - 1\). Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) trên \(\mathbb{R}\) là:
-
A.
\(0.\)
-
B.
\(1.\)
-
C.
\(2.\)
-
D.
\(3.\)
Đáp án : D
Xét trên từng khoảng thích hợp, kiểm tra nghiệm của phương trình trong khoảng đó bằng cách sử dụng định lý:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\).
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 1\) là hàm đa thức có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}\left( {0;2} \right).\)
Ta có
\( \bullet \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 3\\f\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right)f\left( { - 1} \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2; - 1} \right).\)
\( \bullet \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 1\\f\left( 0 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 1;0} \right).\)
\( \bullet \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 0 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right)f\left( 0 \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;2} \right).\)
Như vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).
Tuy nhiên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có đúng \(3\) nghiệm trên \(\mathbb{R}.\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
-
A.
\(3\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 2 \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\sqrt 3 \)
Đáp án : C
Viết phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $d$.
Tìm GTLN của khoảng cách $d$.
Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:
$\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} = 0\left( \Delta \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }} \\= \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\left| {6{x_0} - 6} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} \\= \dfrac{{6\left| {{x_0} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} \\= 6\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}} \end{array}$
Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {\dfrac{t}{{{t^2} + 9}}} \)
Mà
$\begin{array}{l}
{t^2} + 9 \ge 2\sqrt {{t^2}.9} = 6t \Rightarrow \frac{t}{{{t^2} + 9}} \le \frac{t}{{6t}} = \frac{1}{6}\\
\Rightarrow 6.\sqrt {\frac{t}{{{t^2} + 9}}} \le 6.\sqrt {\frac{1}{6}} = \sqrt 6 \\
\Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt 6
\end{array}$
Dấu "=" xảy ra khi t=3
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} - 1 = \sqrt 3 \\
{x_0} - 1 = - \sqrt 3
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = \sqrt 3 + 1\\
{x_0} = - \sqrt 3 + 1
\end{array} \right.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua trung điểm $E$ của $SC$ và vuông góc với $AB$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.
-
A.
${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}.$
-
B.
${S_{EFGH}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{32}}.$
-
C.
${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}.$
-
D.
${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 2 }}{{16}}.$
Đáp án : C
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
Gọi F là trung điểm AC, suy ra EF // SA.
Do $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB$ nên $EF \bot AB$. \(\left( 1 \right)\)
Gọi J, G lần lượt là trung điểm AB, AJ.
Suy ra $CJ \bot AB$ và $FG\parallel CJ$ nên $FG \bot AB$. \(\left( 2 \right)\)
Trong $\Delta \,SAB$ kẻ $GH\parallel SA$ $\left( {H \in SB} \right)$, suy ra $GH \bot AB$. \(\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) , \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\), suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH, vuông tại G và F.
Do đó ${S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right).FG$.
Ta có $EF = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2}$; $FG = \dfrac{1}{2}CJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$; $\dfrac{{GH}}{{SA}} = \dfrac{{BG}}{{BA}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow GH = BG = \dfrac{{3a}}{4}.$
Vậy ${S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{2} + \dfrac{{3a}}{4}} \right).\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}$.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $\widehat {BAC} = {90^0},\,\,\,BC = 2a,\,\,\,\widehat {ACB} = {30^0}.$ Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$ Biết rằng tam giác $SAB$ cân tại $S$ và tam giác $SBC$ vuông tại $S.$ Tính diện tích tam giác $SAB.$
-
A.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
-
B.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
-
C.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.$
-
D.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
Đáp án : C
Gọi $H$ là trung điểm của $AB,$ tam giác $SAB$ cân tại $S \Rightarrow SH \bot AB.$
Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$ và đặt $SH = x.$
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\left\{ \begin{array}{l}AB = BC.\sin C = a\\AC = BC.\cos C = a\sqrt 3 \end{array} \right..$
Ta có $SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} ,$ $HC = \sqrt {H{A^2} + A{C^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}$
Và $SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{13{a^2}}}{4}} $
Tam giác SBC vuông tại S nên $S{B^2} + S{C^2} = B{C^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4} + {x^2} + \dfrac{{13\,{a^2}}}{4} = 4{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}$$ \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2} \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2}.$
Vậy diện tích tam giác $SAB$ là ${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{1}{2}.SH.AB = \dfrac{{{a^2}}}{4}.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right).$
-
A.
${60^0}$
-
B.
${75^0}$
-
C.
${45^0}$
-
D.
${30^0}$
Đáp án : C
- Góc giữa \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SA\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {ABC} \right)\).
- Tính góc tìm được bởi tính chất các tam giác đã học.
Do H là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Vậy $AH$ là hình chiếu của $SA$ lên mp $\left( {ABC} \right)$
\( \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA;HA} \right) = \widehat {SAH}\) (do \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH\) hay \(\widehat {SAH} <90^0\))
Mà: $\Delta ABC = \Delta SBC \Rightarrow SH = AH$
Vậy tam giác $SAH$ vuông cân tại $H$ \( \Rightarrow \widehat {SAH} = {45^0}\)
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) và $B$ là giao điểm thứ hai của $d$ với \(\left( C \right)\). Tính diện tích tam giác $OAB$?
-
A.
$12$
-
B.
$6$
-
C.
$18$
-
D.
$24$
Đáp án : A
Viết phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ điểm $B$.
Tính diện tích tam giác \(OAB:{S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;d} \right).AB\)
\(y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 9\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) là
\(y = 9\left( {x - 1} \right) + 5 = 9x - 4 \Leftrightarrow 9x - y - 4 = 0\,\,\left( d \right)\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} + 3{x^2} + 1 = 9x - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5 \Rightarrow y = - 49\\x = 1 \Rightarrow y = 5\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 5; - 49} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 49 - 5} \right)}^2}} = 6\sqrt {82} \\d\left( {O;AB} \right) = d\left( {O;d} \right) = \dfrac{{\left| { - 4} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {82} }}\\ \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;d} \right).AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{{\sqrt {82} }}.6\sqrt {82} = 12\end{array}\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$
-
A.
$\dfrac{{23}}{2}$.
-
B.
$24$.
-
C.
$\dfrac{3}{2}$.
-
D.
$3$.
Đáp án : D
- Biến đổi biểu thức, đưa về dạng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{1 + nx}} - 1}}{x}$
- Nhân liên hợp.
Ta có:
$\begin{array}{l}\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1\\ = \sqrt {1 + 2x} - \sqrt {1 + 2x} + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}} - \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}} + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1\\ = \left( {\sqrt {1 + 2x} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2x} \left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1} \right)\end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}} \right)\end{array}$
Tính:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {1 + 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 2x} + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1$
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}{{x.\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{3x}}{{x.\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{3\sqrt {1 + 2x} }}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right) = \dfrac{{3.1}}{{1 + 1 + 1}} = 1\end{array}$
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{4x}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1}} = \dfrac{{4.1.1}}{{1 + 1 + 1 + 1}} = 1\end{array}$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x} = 1 + 1 + 1 = 3$
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
