Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo - Đề số 4
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đề bài
Tìm nguyên hàm \(F = \int {{\pi ^2}dx} \).
-
A.
\(F(x) = {\pi ^2}x + C\)
-
B.
\(F(x) = 2\pi x + C\)
-
C.
\(F(x) = \frac{{{\pi ^3}}}{3} + C\)
-
D.
\(F(x) = \frac{{{\pi ^2}{x^2}}}{2} + C\)
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^{2024}}\), \(x \in \mathbb{R}\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
-
A.
\(F(x) = 2023{x^{2024}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
B.
\(F(x) = \frac{{{x^{2025}}}}{{2025}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
C.
\(F(x) = {x^{2025}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
D.
\(F(x) = 2024{x^{2023}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 - {{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
-
A.
\(\int {f(x)dx} = - \cot x + \cos x + C\)
-
B.
\(\int {f(x)dx} = - \tan x + \cos x + C\)
-
C.
\(\int {f(x)dx} = - \cot x - \cos x + C\)
-
D.
\(\int {f(x)dx} = - \tan x - \cos x + C\)
Biết \(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {2f(x)dx} \) bằng
-
A.
5
-
B.
9
-
C.
6
-
D.
\(\frac{{15}}{4}\)
Biết \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)dx} \) bằng
-
A.
\(\frac{{23}}{4}\)
-
B.
7
-
C.
9
-
D.
\(\frac{{15}}{4}\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn \(\int\limits_a^0 {f(x)dx} = m\), \(\int\limits_0^b {f(x)dx} = n\). Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bên bằng
-
A.
m.n
-
B.
m – n
-
C.
m + n
-
D.
n – m
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;3)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 1;3)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = (2;1; - 1)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = (2;1;3)\)
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;−1) và song song với mặt phẳng x − y + z + 2 = 0 là
-
A.
\(x - y + z + 1 = 0\)
-
B.
\(x - y + z + 2 = 0\)
-
C.
\(x - y + z - 1 = 0\)
-
D.
\(x - y + z = 0\)
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 2 = 0?
-
A.
P(1;-2;1)
-
B.
M(1;-2;3)
-
C.
Q(-1;2;1)
-
D.
N(1;2;-1)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(0;-1;14) và nhận vecto \(\overrightarrow u = (3; - 1;5)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d là
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = - 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(4;1;5) đến (P): 5x – 10y + 10z – 5 = 0 bằng
-
A.
10
-
B.
\(\frac{{29}}{{100}}\)
-
C.
\(\frac{{11}}{3}\)
-
D.
\(\frac{{29\sqrt {10} }}{{10}}\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
-
A.
I(-1;2;-3); R = 2
-
B.
I(-1;2;-3); R = 4
-
C.
I(1;-2;3); R = 2
-
D.
I(1;-2;3); R = 4
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6.
a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): x + 2y + 2z – 3 = 0.
a) Phương trình \(\left( \beta \right)\) đi qua M(2;-3;1) và song song với \(\left( \alpha \right)\) là x + 2y + 2z + 2 = 0.
b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
c) Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\).
d) Phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.
Bạn Huyền chạy thể dục buổi sáng với \(a(t) = - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}\) m/s, trong đó t giây là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Vào thời điểm t = 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của bạn Huyền đạt được bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f′(x) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là SA = 4 và SB = 10. Tính giá trị của f(3), biết giá trị của f(0) = 2.
Đáp án:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;m). Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc \({60^o}\) thì tổng các giá trị của m là bao nhiêu?
Đáp án:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;7), B(5;5;1) và mặt phẳng (P): 2x − y − z + 4 = 0. Điểm M thuộc (P ) sao cho MA = MB = \(\sqrt {35} \). Biết M có hoành độ nguyên, tính OM (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)?
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Tìm nguyên hàm \(F = \int {{\pi ^2}dx} \).
-
A.
\(F(x) = {\pi ^2}x + C\)
-
B.
\(F(x) = 2\pi x + C\)
-
C.
\(F(x) = \frac{{{\pi ^3}}}{3} + C\)
-
D.
\(F(x) = \frac{{{\pi ^2}{x^2}}}{2} + C\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hằng: \(\int {cdx} = cx + C\).
\(F = \int {{\pi ^2}dx} = {\pi ^2}x + C\).
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^{2024}}\), \(x \in \mathbb{R}\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
-
A.
\(F(x) = 2023{x^{2024}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
B.
\(F(x) = \frac{{{x^{2025}}}}{{2025}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
C.
\(F(x) = {x^{2025}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
D.
\(F(x) = 2024{x^{2023}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(\int {f(x)dx} = \int {{x^{2024}}dx} = \frac{{{x^{2025}}}}{{2025}} + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 - {{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
-
A.
\(\int {f(x)dx} = - \cot x + \cos x + C\)
-
B.
\(\int {f(x)dx} = - \tan x + \cos x + C\)
-
C.
\(\int {f(x)dx} = - \cot x - \cos x + C\)
-
D.
\(\int {f(x)dx} = - \tan x - \cos x + C\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác:
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\); \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
\(\int {\frac{{1 - {{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \sin x} \right)dx} = - \cot x + \cos x + C\).
Biết \(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {2f(x)dx} \) bằng
-
A.
5
-
B.
9
-
C.
6
-
D.
\(\frac{{15}}{4}\)
Đáp án : C
Áp dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} \).
\(\int\limits_1^3 {2f(x)dx} = 2\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 2.3 = 6\).
Biết \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)dx} \) bằng
-
A.
\(\frac{{23}}{4}\)
-
B.
7
-
C.
9
-
D.
\(\frac{{15}}{4}\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Áp dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} \); \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx} \).
\(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} = {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = 7\).
\(\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)dx} = \int\limits_1^2 {2dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} = 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. + {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = 9\).
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn \(\int\limits_a^0 {f(x)dx} = m\), \(\int\limits_0^b {f(x)dx} = n\). Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bên bằng
-
A.
m.n
-
B.
m – n
-
C.
m + n
-
D.
n – m
Đáp án : B
Áp dụng công thức tính diện tích diện tích hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \). Dựa vào đồ thị, xét dấu của f(x), từ đó phá dấu trị tuyệt đối.
Quan sát đồ thị, trên khoảng (a;0) thấy đồ thị f(x) nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0, hay |f(x)| = f(x). Mặt khác, trên khoảng (0;b) thấy đồ thị f(x) nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0, hay |f(x)| = -f(x).
Diện tích hình phẳng là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^b { - f(x)dx} = m - n\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;3)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 1;3)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = (2;1; - 1)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = (2;1;3)\)
Đáp án : C
Mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (A;B;C)\).
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_3}} = (2;1; - 1)\).
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;−1) và song song với mặt phẳng x − y + z + 2 = 0 là
-
A.
\(x - y + z + 1 = 0\)
-
B.
\(x - y + z + 2 = 0\)
-
C.
\(x - y + z - 1 = 0\)
-
D.
\(x - y + z = 0\)
Đáp án : D
Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.
Mặt phẳng qua A(1;0;-1) và vuông góc với đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow n = (2;1; - 1)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là:
\(1(x - 1) - 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - y + z = 0\).
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 2 = 0?
-
A.
P(1;-2;1)
-
B.
M(1;-2;3)
-
C.
Q(-1;2;1)
-
D.
N(1;2;-1)
Đáp án : D
Thay tọa độ các điểm vào phương trình, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, thấy chỉ có tọa độ điểm N(1;-2;-1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng, do: 1 – 2.(-2) + 3.(-1) – 2 = 0.
Vậy N(1;-2;-1) thuộc (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(0;-1;14) và nhận vecto \(\overrightarrow u = (3; - 1;5)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d là
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = - 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
Đáp án : C
Đường thẳng đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
d đi qua điểm M(0;-1;4) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (3; - 1;5)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(4;1;5) đến (P): 5x – 10y + 10z – 5 = 0 bằng
-
A.
10
-
B.
\(\frac{{29}}{{100}}\)
-
C.
\(\frac{{11}}{3}\)
-
D.
\(\frac{{29\sqrt {10} }}{{10}}\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
\(d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {5.4 - 10.1 + 10.5 - 5} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{( - 10)}^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{11}}{3}\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
-
A.
I(-1;2;-3); R = 2
-
B.
I(-1;2;-3); R = 4
-
C.
I(1;-2;3); R = 2
-
D.
I(1;-2;3); R = 4
Đáp án : C
Mặt cầu phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm I(a;b;c), bán kính R.
Mặt cầu phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\) có tâm I(1;-2;3), bán kính R = 2.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6.
a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
a, b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
c) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).
d) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).
a) Đúng. Trên đoạn [1;6], \(f(x) = \frac{{x + 1}}{x} > 0\), khi đó \(\left| {f(x)} \right| = \left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| = \frac{{x + 1}}{x}\).
Diện tích hình phẳng (H) là \(S = \int\limits_2^6 {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx} = x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right. + \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right.\)
\( = 6 - 2 + \ln 6 - \ln 2 = 4 + \ln \frac{6}{2} = 4 + \ln 3\).
b) Sai. Diện tích hình phẳng đó là:
\(S = \int\limits_2^6 {\left| {f(x) - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x} - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right. = \ln 6 - \ln 2 = \ln \frac{6}{2} = \ln 3\).
c) Đúng. \({V_1} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \left( {x + 2\ln x - \frac{1}{x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right.\)
\( = \pi \left( {6 + 2\ln 6 - \frac{1}{6} - 2 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}} \right) = \pi \left( {4 + 2\ln 3 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Sai. \({V_2} = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{f^2}(x) - {1^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2} - 1} \right]dx} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_2^6 {1dx} \)
\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - \pi x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array} = } \right.\frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - 4\pi = \frac{{\left( {1 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): x + 2y + 2z – 3 = 0.
a) Phương trình \(\left( \beta \right)\) đi qua M(2;-3;1) và song song với \(\left( \alpha \right)\) là x + 2y + 2z + 2 = 0.
b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
c) Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\).
d) Phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.
a) Phương trình \(\left( \beta \right)\) đi qua M(2;-3;1) và song song với \(\left( \alpha \right)\) là x + 2y + 2z + 2 = 0.
b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
c) Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\).
d) Phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.
a) \(\left( \beta \right)\) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên có cùng VTPT .
b) \(\Delta \) có VTCP là VTPT của \(\left( \alpha \right)\).
c) Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I đến \(\left( \alpha \right)\).
d) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến \(\left( \alpha \right)\), sau đó áp dụng định lý Pythagore để tìm bán kính đường tròn giao tuyến.
a) Đúng. \(\left( \beta \right)\) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên có cùng VTPT là \(\overrightarrow n = (1;2;2)\).
\(\left( \beta \right)\): \(1(x - 2) + 2(y + 3) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z + 2 = 0\).
b) Sai. Đường thẳng \(\Delta \) có VTCP là VTPT của \(\left( \alpha \right)\).
\(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + 2t\\x = 3 + 2t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\).
c) Sai. Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I đến \(\left( \alpha \right)\).
\(d\left( {I,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + 2.( - 3) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2\).
Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\].
d) Đúng. Mặt cầu (S) có tâm J(-2;1;-3), bán kính R = 5.
Khoảng cách từ tâm J đến \(\left( \alpha \right)\) là \(d\left( {J,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {1.( - 2) + 2.1 + 2.( - 3) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\).
Giao tuyến của (S) và \(\left( \alpha \right)\) là đường tròn có bán kính \(\sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\).
Bạn Huyền chạy thể dục buổi sáng với \(a(t) = - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}\) m/s, trong đó t giây là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Vào thời điểm t = 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của bạn Huyền đạt được bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Tính \(\int\limits_0^5 {a(t)dt} \).
\(v(5) = \int\limits_0^5 {a(t)dt} = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}} \right)dt} = \left( { - \frac{1}{{24}}.\frac{{{t^4}}}{4} + \frac{5}{{16}}.\frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^5}\\{_0}\end{array}} \right. = \left( { - \frac{{{t^4}}}{{96}} + \frac{{5{t^3}}}{{48}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^5}\\{_0}\end{array}} \right. = - \frac{{{5^4}}}{{96}} + \frac{{{{5.5}^3}}}{{48}} \approx 6,51\) (m/s).
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f′(x) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là SA = 4 và SB = 10. Tính giá trị của f(3), biết giá trị của f(0) = 2.
Đáp án:
Đáp án:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
Quan sát đồ thị, trên đoạn [0;1] thấy f’(x) > 0, trên đoạn [1;3] thấy f’(x) < 0.
\({S_A} = \int_0^1 {\left| {f'(x)} \right|dx} = \int_0^1 {f'(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = f(1) - f(0) = f(1) - 2 = 4 \Rightarrow f(1) = 6\).
\({S_B} = \int_1^3 {\left| {f'(x)} \right|dx} = - \int_1^3 {f'(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_3}\end{array}} \right. = f(1) - f(3) = 6 - f(3) = 10 \Rightarrow f(3) = - 4\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;m). Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc \({60^o}\) thì tổng các giá trị của m là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Lập phương trình mặt phẳng (Oxy) và (ABC) theo m. Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng để tìm m.
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.
Mặt phẳng (ABC) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;m).
Ta có \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{m} = 1 \Leftrightarrow 2mx + my + 2z - 2m = 0\).
\(\cos {60^o} = \frac{{\left| {2m.0 + m.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {m^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{{\sqrt {5{m^2} + 4} }} \Leftrightarrow \sqrt {5{m^2} + 4} = 4\)
\(5{m^2} + 4 = 16 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{12}}{5} \Leftrightarrow m = \pm \frac{{2\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là \(\frac{{2\sqrt {15} }}{5} + \left( { - \frac{{2\sqrt {15} }}{5}} \right) = 0\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;7), B(5;5;1) và mặt phẳng (P): 2x − y − z + 4 = 0. Điểm M thuộc (P ) sao cho MA = MB = \(\sqrt {35} \). Biết M có hoành độ nguyên, tính OM (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp. Lập phương trình mặt phẳng (ABCD) và (MNP) rồi áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
Giả sử M(a;b;c).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P)\\MA = MB\\MA = \sqrt {35} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\{(a - 3)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 7)^2} = {(a - 5)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 1)^2}\\{(a - 3)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 7)^2} = 35\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\c = a + 2\\{(a - 3)^2} + {(b - 1)^2} + {(c - 7)^2} = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + 2\\c = a + 2\\3{a^2} - 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\) (do \(a \in \mathbb{Z}\)).
Suy ra M(2;2;0). \(OM = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {0^2}} = 2\sqrt 2 \approx 2,83\).
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {4x - 2{m^2}} \right)dx} = \left( {2{x^2} - 2{m^2}x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = {2.1^2} - 2{m^2}.1 = 2 - 2{m^2}\).
\(I + 6 > 0 \Leftrightarrow 2 - 2{m^2} + 6 > 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} > - 8 \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\).
Mà m là số nguyên nên có 3 giá trị thỏa mãn là m = -1; m = 0; m = 1.
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Diện tích mặt cắt là \(S(x) = {\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right)^2} = 9 - {x^2}\).
Thể tích vật thể là \(V = \int\limits_0^3 {S(x)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)dx} = \left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_0}\end{array}} \right. = 9.3 - \frac{{{3^3}}}{3} = 18\).
Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
H là giao điểm của d và (P).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Giả sử parabol có bề lõm hướng xuống dưới có phương trình \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).
Parabol đó đi qua các điểm có tọa độ (20;0), (-20;0) và (0;20) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.20^2} + b.20 + c\\0 = a.{( - 20)^2} + b.( - 20) + c\\20 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}400a + 20b = - 20\\400a - 20b = - 20\\c = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{20}}\\b = 0\end{array} \right.\).
Suy ra \(f(x) = - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20\).
Giả sử đường chéo hướng xuống dưới từ trái sang của viên gạch có phương trình y = mx + n, đi qua các điểm có tọa độ (-20;40) và (20;0) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}40 = m.( - 20) + n\\0 = m.20 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 20\end{array} \right. \Rightarrow y = - x + 20\).
Đồ thị của parabol vừa tìm cắt đường chéo tại hai điểm có hoành độ x = 0 và x = 20. Trên đoạn [0;20], ta thấy parabol nằm phía trên đường thẳng nên f(x) > -x + 20.
Diện tích một nửa cánh hoa là \(I = \int\limits_0^{20} {\left| { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right|dx} = I = \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right)dx} = \frac{{200}}{3}\).
Diện tích một cánh hoa là \(S = 2I = 2.\frac{{200}}{3} = \frac{{400}}{3} \approx 133\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
