Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 4
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Đề bài
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(( - \infty ;0)\)
-
B.
\(( - 1;1)\)
-
C.
\(( - 1;0)\)
-
D.
\((1; + \infty )\)
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
-
A.
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)
-
C.
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)
-
D.
\(y = \frac{{1 - 2x}}{{x - 1}}\)
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−1;4] và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn[–1;4]. Tính M + m.
-
A.
4
-
B.
3
-
C.
2
-
D.
1
Cho hàm số y = f(x) là hàm số xác định trên R∖{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5 và tiệm cận đứng là x = 1
-
B.
Giá trị cực tiểu của hàm số là y = 3
-
C.
Giá trị cực đại của hàm số 5
-
D.
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x + 3}}\) là:
-
A.
y = x + 7
-
B.
y = -x + 7
-
C.
y = x - 7
-
D.
y = -x - 7
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) là:
-
A.
(2;1)
-
B.
(-1;2)
-
C.
(1;2)
-
D.
(1;-2)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Nếu giá của ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cắt nhau từng đôi một thì ba vecto đó đồng phẳng
-
B.
Nếu trong ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) có một vecto \(\overrightarrow 0 \) thì ba vecto đó đồng phẳng
-
C.
Nếu giá của ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cùng song song với một mặt phẳng thì ba vecto đó đồng phẳng
-
D.
Nếu trong ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) có hai vecto cùng phương thì ba vecto đó đồng phẳng
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
-
A.
\(y = {x^3} - 4x + 1\)
-
B.
\(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\)
-
C.
\(y = {x^3} - 4x - 1\)
-
D.
\(y = - {x^3} + 4x + 1\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là:
-
A.
0
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
3
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Xác định công thức của hàm số.
-
A.
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
-
B.
\(y = - {x^3} - 2{x^2} + 1\)
-
C.
\(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1\)
-
D.
\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1\)
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng:
-
A.
\({60^o}\)
-
B.
\({60^o}\)
-
C.
\({150^o}\)
-
D.
\({30^o}\)
Cho hai vecto \(\overrightarrow u = (1;4;2)\), \(\overrightarrow v = ( - 1;3;0)\). Tích \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) bằng:
-
A.
12
-
B.
-11
-
C.
0
-
D.
11
Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:
a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((3; + \infty )\)
b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 5
d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 24x\).
a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048)
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;19] bằng 6403
d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -40
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) \(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'} \)
c) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0 \)
d) \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {C'D} \)
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2; - 2; - 4)\), \(\overrightarrow b = (1; - 1;1)\).
a) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3; - 3; - 3)\)
b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
c) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)
d) \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \)
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của của hàm số \(f(x) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0;2]. Giá trị của 3M - m bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Tìm hai số a, b để đồ thị hàm số \(y = \frac{{(4a - b){x^2} + ax + 1}}{{{x^2} + ax + b - 12}}\) nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Tổng của a và b bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-3;5). Tọa độ của A’ là điểm đối xứng với A qua trục Oy là (a;b;c). Tính giá trị biểu thức a.b + c.
Đáp án:
Chu vi một tam giác là 16 cm, độ dài một cạnh tam giác là 6 cm. Diện tích lớn nhất của tam giác có thể đạt được là bao nhiêu?
Đáp án:
Tính tổng các giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} + (m + 3){x^2} - ({m^2} + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại x = 2.
Đáp án:
Cho hàm số bậc năm y = f(x) có đồ thị y = f’(x) như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số là bao nhiêu?
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(( - \infty ;0)\)
-
B.
\(( - 1;1)\)
-
C.
\(( - 1;0)\)
-
D.
\((1; + \infty )\)
Đáp án : C
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1;0)\).
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
-
A.
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)
-
C.
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)
-
D.
\(y = \frac{{1 - 2x}}{{x - 1}}\)
Đáp án : A
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2. Loại B, D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; -1).
Xét \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) khi x = 0 ⇒ y = 1. Loại đáp án C.
Xét \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) y = (2x – 1)/(x + 1) khi x = 0 ⇒ y = -1. Chọn đáp án A.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−1;4] và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn[–1;4]. Tính M + m.
-
A.
4
-
B.
3
-
C.
2
-
D.
1
Đáp án : C
Quan sát đồ thị và nhận xét.
\(M = \mathop {\max }\limits_{[ - 1;4]} f(x) = f( - 1) = 3\).
\(M = \mathop {\min }\limits_{[ - 1;4]} f(x) = f(1) = - 1\).
Vậy M + m = 3 + (-1) = 2.
Cho hàm số y = f(x) là hàm số xác định trên R∖{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5 và tiệm cận đứng là x = 1
-
B.
Giá trị cực tiểu của hàm số là y = 3
-
C.
Giá trị cực đại của hàm số 5
-
D.
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận
Đáp án : A
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 5\) nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5.
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - \infty \) nên đồ thị có một tiệm cận đứng là x = 1.
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x + 3}}\) là:
-
A.
y = x + 7
-
B.
y = -x + 7
-
C.
y = x - 7
-
D.
y = -x - 7
Đáp án : B
Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.
Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).
Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có: \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x + 3}} = - x + 7 + \frac{{ - 22}}{{x + 3}} = f(x)\).
Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - ( - x + 7)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 22}}{{x + 3}} = 0\).
Vậy đường thẳng y = -x + 7 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) là:
-
A.
(2;1)
-
B.
(-1;2)
-
C.
(1;2)
-
D.
(1;-2)
Đáp án : C
Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị và tìm giao điểm của chúng.
Tiệm cận ngang của đồ thị là y = 2, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 1 nên tâm đối xứng có tọa độ (1;2).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Nếu giá của ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cắt nhau từng đôi một thì ba vecto đó đồng phẳng
-
B.
Nếu trong ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) có một vecto \(\overrightarrow 0 \) thì ba vecto đó đồng phẳng
-
C.
Nếu giá của ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cùng song song với một mặt phẳng thì ba vecto đó đồng phẳng
-
D.
Nếu trong ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) có hai vecto cùng phương thì ba vecto đó đồng phẳng
Đáp án : D
Dựa vào khái niệm ba vecto đồng phẳng.
D sai. Khi một trong ba vecto không cùng phương thì chúng không đồng phẳng.
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
-
A.
\(y = {x^3} - 4x + 1\)
-
B.
\(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\)
-
C.
\(y = {x^3} - 4x - 1\)
-
D.
\(y = - {x^3} + 4x + 1\)
Đáp án : A
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Dựa vào đồ thị ta thấy có hai điểm cực trị nên đây là hàm số bậc ba.
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên hệ số a > 0.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là:
-
A.
0
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
3
Đáp án : B
Tìm đạo hàm của hàm số sau đó tính các giá trị f(x).
\(f'(x) = \frac{{ - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) nên \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}\).
Ta có: \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3 \); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\); \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) bằng 1.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Xác định công thức của hàm số.
-
A.
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
-
B.
\(y = - {x^3} - 2{x^2} + 1\)
-
C.
\(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1\)
-
D.
\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1\)
Đáp án : C
Dựa vào sự biến thiên, cực trị và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.
Ta có: \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm (0;1) và (−2;−3) nên ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(0) = 0}\\{f(0) = 1}\\{f'( - 2) = 0}\\{f( - 2) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{d = 1}\\{12a - 4b = 0}\\{ - 8a + 4b + 1 = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = - 3}\\{c = 0}\\{d = 1}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1\).
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng:
-
A.
\({60^o}\)
-
B.
\({60^o}\)
-
C.
\({150^o}\)
-
D.
\({30^o}\)
Đáp án : A
Xác định góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) là \(\widehat {BAC}\). Tính số đo \(\widehat {BAC}\) dựa vào tổng ba góc trong tam giác.
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)= \(\widehat {BAC} = {60^o}\) (vì tam giác ABC đều).
Cho hai vecto \(\overrightarrow u = (1;4;2)\), \(\overrightarrow v = ( - 1;3;0)\). Tích \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) bằng:
-
A.
12
-
B.
-11
-
C.
0
-
D.
11
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính tọa độ tích vô hướng của hai vecto.
Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.( - 1) + 4.3 + 2.0 = 11\).
Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:
a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((3; + \infty )\)
b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 5
d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((3; + \infty )\)
b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 5
d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.
a) Đúng. f'(x) > 0 trên \(( - \infty ;1)\) và \((3; + \infty )\).
b) Đúng. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2 (x = 1, x = 3).
c) Sai. Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất.
d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 24x\).
a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048)
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;19] bằng 6403
d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -40
a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048)
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;19] bằng 6403
d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -40
Lập bảng biến thiên và nhận xét.
\(f'(x) = 3{x^2} - 24 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\sqrt 2 \in [2;19]}\\{x = - 2\sqrt 2 \notin [2;19]}\end{array}} \right.\)
f(2) = 40; \(f(2\sqrt 2 ) = - 32\sqrt 2 \); f(19) = 6403.
a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên \((0;16)\) và đồng biến trên \((16; + \infty )\).
b) Đúng. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048).
c) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên [-1;2] bằng 6403.
d) Sai. Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;2] bằng \( - 32\sqrt 2 \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) \(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'} \)
c) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0 \)
d) \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {C'D} \)
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) \(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'} \)
c) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0 \)
d) \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {C'D} \)
Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc hình hộp.
a) Đúng. Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \) (quy tắc hình hộp).
b) Sai. Vì \(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {DD'} - \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {D'B'} + \overrightarrow {D'D} = \overrightarrow {D'D} = \overrightarrow {B'B} \).
c) Đúng. Vì \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {C'B} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A'} = \overrightarrow 0 \).
d) Sai. Vì \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {DC'} \ne \overrightarrow {C'D} \).
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2; - 2; - 4)\), \(\overrightarrow b = (1; - 1;1)\).
a) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3; - 3; - 3)\)
b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
c) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)
d) \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \)
a) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3; - 3; - 3)\)
b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
c) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)
d) \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \)
Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, khái niệm hai vecto cùng phương, công thức tính độ dài vecto.
a) Đúng. Vì \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2 + 2; - 2 - 1; - 4 + 1) = (3; - 3; - 3)\).
b) Sai. Vì \(\frac{2}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 4}}{1}\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương.
c) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).
d) Đúng. Vì \(\overrightarrow a = (2; - 2; - 4) = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \).
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của của hàm số \(f(x) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0;2]. Giá trị của 3M - m bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0
- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.
Ta có: \(f'(x) = - \frac{8}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0\) \((\forall x \in D)\) nên hàm nghịch biến trên tập xác định.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [0;2] là f(2) = -5, giá trị lớn nhất của f(x) trên [0;2] là \(\frac{1}{3}\).
Vậy \(M = \frac{1}{3},m = - 5\) nên \(3M - m = 3.\frac{1}{3} - ( - 5) = 6\).
Tìm hai số a, b để đồ thị hàm số \(y = \frac{{(4a - b){x^2} + ax + 1}}{{{x^2} + ax + b - 12}}\) nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Tổng của a và b bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.
Do đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang nên 4a – b = 0.
Do đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng, suy ra biểu thức \({x^2} + ax + b - 12\) nhận x = 0 làm nghiệm, tức b = 12.
Từ b, ta tìm được a = 3.
Thử lại, ta có a = 3 và b = 12 là hai số cần tìm.
Vậy a + b = 3 + 12 = 15.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-3;5). Tọa độ của A’ là điểm đối xứng với A qua trục Oy là (a;b;c). Tính giá trị biểu thức a.b + c.
Đáp án:
Đáp án:
Tìm hình chiếu H của A trên đường thẳng Oy rồi tìm điểm đối xứng A’ của A qua H.
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng Oy, suy ra H(0;-3;0).
A’ là điểm đối xứng với A(2;-3;5) qua đường thẳng Oy.
Như vậy, H là trung điểm của AA’. Ta tìm được A’(-2;-3;-5).
Vậy a.b + c = (-2).(-3) + (-5) = 1.
Chu vi một tam giác là 16 cm, độ dài một cạnh tam giác là 6 cm. Diện tích lớn nhất của tam giác có thể đạt được là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Thiết lập hàm số biểu diễn diện tích của tam giác dựa vào công thức Heron. Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.
Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.
Ta có: x + y = 16 - 6 = 10 (x > 0, y > 0).
Diện tích tam giác là: \(S = \sqrt {p(p - 6)(p - x)(p - y)} = \sqrt {8.2(8 - x)(8 - y)} = 4\sqrt {(8 - x)(8 - y)} \).
Thay y = 10 – x, ta được: \(S = 4\sqrt {(8 - x)(x - 2)} = 4\sqrt { - {x^2} + 10x - 16} \), \(x \in \left( {0;10} \right)\).
Đặt \(f(x) = - {x^2} + 10x - 16\), ta có \(f'(x) = - 2x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = 5\).
Từ bảng biến thiên, suy ra f(x) lớn nhất khi x = 5. Khi đó, diện tích tam giác cũng đạt giá trị lớn nhất là 12 \(c{m^2}\) khi x = 5.
Tính tổng các giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} + (m + 3){x^2} - ({m^2} + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại x = 2.
Đáp án:
Đáp án:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = {x_0}\) khi thỏa mãn hai điều kiện: \(y'({x_0}) = 0\) và \(y''({x_0}) < 0\).
Tập xác định: D = R.
Ta có: \(y' = - 3{x^2} + 2(m + 3)x - ({m^2} + 2m)\), \(y'' = - 6x + 2(m + 3)\).
Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y'(2) = 0}\\{y''(2) < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 12 + 4(m + 3) - {m^2} - 2m = 0}\\{ - 12 + 2m + 6 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 2m = 0}\\{m < 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = 2}\end{array}} \right.\]
Vậy tổng các giá trị của m bằng 2 + 0 = 2.
Cho hàm số bậc năm y = f(x) có đồ thị y = f’(x) như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình g’(x) = 0.
Ta có: \(g'(x) = (2x - 3)f'\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\)
\[g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3 = 0}\\{f'({x^2} - 3x + 4) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{2}}\\\begin{array}{l}{x^2} - 3x + 4 = 0\\{x^2} - 3x + 4 = a,a > 2\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{2}}\\{x = {a_1}}\\{x = {a_2}}\end{array}} \right.\]
Do a > 2 nên \({a_1},{a_2} \ne \frac{3}{2}\). Suy ra phương trình g’(x) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt nên g(x) có 3 điểm cực trị.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R{-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau:
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau: