Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 1
Đề bài
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}\) có bao nhiêu tiệm cận?
-
A.
\(3\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(2\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên:
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng:
-
A.
\(\left( {1;\,2} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;\,\,3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Biết \(A'C\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha \) với \(\tan \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\). Thể tích khối chóp $A'.ICD$ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Lắp ghép 2 khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
-
B.
Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
-
C.
Khối hộp là khối đa diện lồi.
-
D.
Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{mx + 1}}{{x - m}}\) có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {1;\;2} \right]\) bằng \( - 2\).
-
A.
\(m = - 3\).
-
B.
\(m = 2\).
-
C.
\(m = 4\).
-
D.
\(m = 3\).
Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\), trên các cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt lấy các điểm \(A',B',C'\). Khi đó:
-
A.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C,\)\(AB = a\sqrt 5 ,\)\(AC = a.\) Cạnh bên \(SA = 3a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}{a^3}.\)
-
B.
\(3{a^3}.\)
-
C.
\({a^3}.\)
-
D.
\(2{a^3}.\)
Số giá trị $m$ nguyên để hàm số \(y = \dfrac{{mx + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là
-
A.
\(3.\)
-
B.
$2.$
-
C.
\(1.\)
-
D.
\(4.\)
Khối đa diện đều nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều
-
A.
Nhị thập diện đều
-
B.
Bát diện đều
-
C.
Thập nhị diện đều
-
D.
Tứ diện đều
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
\(a > 0\)
-
B.
\(a < 0\)
-
C.
\(a = 0\)
-
D.
\(a \le 0\)
Số cực trị của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ và $y = {x^3} + {x^2} + x + 1$ là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Hai hình tứ diện có các cạnh bằng nhau và bằng \(a\) thì chúng:
-
A.
bằng nhau
-
B.
trùng nhau
-
C.
chung đỉnh
-
D.
chung đáy
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
-
A.
Hình 1
-
B.
Hình 2
-
C.
Hình 3
-
D.
Hình 4
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(3\)
Cho khối chóp \(S.ABC\). Trên các cạnh \(SA,SB,SC\) lấy các điểm \(A',B',C'\) sao cho \(A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC'\), khi đó tồn tại một phép vị tự biến khối chóp \(S.ABC\) thành khối chóp \(S.A'B'C'\) với tỉ số đồng dạng là:
-
A.
\(k = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(k = 2\)
-
C.
\(k = \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(k = 3\)
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là:
-
A.
$0$
-
B.
$2$
-
C.
$1$
-
D.
$3$
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là $\left( {0;0} \right)$.
-
B.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
C.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
D.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Hình nào dưới đây bằng hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)?
-
A.
\(AA'D'.BB'C'\)
-
B.
\(ABCD.A'B'C'D'\)
-
C.
\(C'.CDAB\)
-
D.
\(B.ACC'A'\)
Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau?
-
A.
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
-
B.
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
-
C.
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\).
-
D.
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\).
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 6 \). Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)
-
B.
\({a^3}\sqrt {6.} \)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) + 3 = 0\) là:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(1\)
Cho khối đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh lần lượt là \(D,M,C\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(D - C + M = 2\)
-
B.
$D + C - M = 2$
-
C.
$D + C + M = 2$
-
D.
$D - C + M = 0$
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
B.
$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
-
C.
$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
D.
$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$ là:
-
A.
$\;1.$
-
B.
$0.$
-
C.
$2.$
-
D.
$ - 1.$
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
-
A.
\(\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}\)
-
B.
\(\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}\)
-
C.
\(\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}\)
-
D.
\(4c{m^3}\)
Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (các kích thước khác nhau) là:
-
A.
\(3\)
-
B.
\(6\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(9\)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
A.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
B.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
-
C.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
D.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là:
-
A.
tiệm cận ngang
-
B.
tiệm cận đứng
-
C.
tiệm cận xiên
-
D.
trục đối xứng
Hàm số $y = {x^3} + 2a{x^2} + 4bx - 2018,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,{\mkern 1mu} b \in R)$ đạt cực trị tại $x = - 1$ . Khi đó hiệu $a - b$ là:
-
A.
$\dfrac{4}{3}$
-
B.
$-1$
-
C.
$\dfrac{3}{4}$
-
D.
$ - \dfrac{3}{4}$ .
Tìm giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{mx + 5}}{{x + 1}}\) đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\)
-
A.
\(m = - 11\)
-
B.
\(m = 1\)
-
C.
\(m = 11\)
-
D.
\(m = - 1\)
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
-
A.
$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
-
B.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1$
-
C.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2$
-
D.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 5\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
-
B.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
-
C.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
-
D.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 5$ là điểm
-
A.
$Q\left( {3;1} \right)$
-
B.
$N\left( { - 1;7} \right)$
-
C.
$P\left( {7; - 1} \right)$
-
D.
$M\left( {1;3} \right)$
Cho hàm số $y = {\rm{\;}} - {x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} - 1} \right)x - 5$ . Với giá trị nào của tham số $m$ thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung?
-
A.
$m > 1$
-
B.
$m = 2$
-
C.
$ - 1 < m < 1$
-
D.
$m > 2$ hoặc $m < 1$
Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^5} - 5{x^4} + 5{x^3} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$
-
A.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 10,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 2$
-
B.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 2,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 10$
-
C.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 10,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 2$
-
D.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 7,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 1$
Điểm $I\left( {2; - 3} \right)$ là tâm đối xứng của những đồ thị hàm số nào dưới đây?
(1) $y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ ; (2) $y = \dfrac{{ - 3x + 1}}{{x - 2}}$ ; (3) $y = \dfrac{{3x + 1}}{{2 - x}}$ ; (4) $y = \dfrac{{ - 6x}}{{2x + 4}}$ ; (5) $y = - \dfrac{{x + 1}}{{3x - 6}}$
-
A.
$\left( 1 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$
-
B.
$\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$
-
C.
$\left( 2 \right),\left( 3 \right)$
-
D.
$\left( 2 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right)$
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của$m$ để đồ thị hàm số$y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}$ có đúng hai tiệm cận đứng.
-
A.
$\left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).$
-
B.
$\left( {0; + \infty } \right)$
-
C.
$\left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right].$
-
D.
$\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right].$
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình bên. Trong các hệ số a, b, c và d có bao nhiêu số âm?
-
A.
\(1\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(4\)
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình vẽ
Tính giá trị của \(a + 2b + c.\)
-
A.
\(0.\)
-
B.
\( - 2.\)
-
C.
\(3.\)
-
D.
\(2.\)
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ như hình vẽ bên.
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$2a - d = - 3$
-
B.
$a = d$
-
C.
$3a + d = 7$
-
D.
$a + d = 0$
Cho hàm số\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a \ne 0)\)có đồ thị (C), tiếp tuyến của (C ) có hệ số góc đạt giá trị bé nhất khi nào?
-
A.
\(a < 0\) và hoành độ tiếp điểm bằng \(\frac{b}{{3a}}.\)
-
B.
\(a < 0\) và hoành độ tiếp điểm bằng \( - \frac{b}{{3a}}.\)
-
C.
\(a > 0\) và hoành độ tiếp điểm bằng \( - \frac{b}{{3a}}.\)
-
D.
\(a > 0\) và hoành độ tiếp điểm bằng \(\frac{b}{{3a}}.\)
Cho hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.\) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
-
A.
\(2x + y + 4 = 0.\)
-
B.
\(2x + y - 4 = 0.\)
-
C.
\(2x - y - 4 = 0.\)
-
D.
\(2x - y + 4 = 0.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Đường thẳng \(SC\) tạo với đáy góc \({45^0}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Thể tích của khối chóp \(S.MCDN\) là:
-
A.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
-
B.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều?
-
A.
$5$
-
B.
$4$
-
C.
Vô số
-
D.
$3$
Cho \(x\), \(y\) là những số thực thoả mãn \({x^2} - xy + {y^2} = 1\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}\). Giá trị của \(A = M + 15m\) là
-
A.
\(A = 17 - 2\sqrt 6 \).
-
B.
\(A = 17 + \sqrt 6 \).
-
C.
\(A = 17 + 2\sqrt 6 \).
-
D.
\(A = 17 - \sqrt 6 \).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(MB = 2MB'\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AC'\) cắt các cạnh \(DD'\), \(DC\), \(BC\) lần lượt tại \(N\), \(P\), \(Q\). Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối đa diện \(CPQMNC'\).Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\).
-
A.
\(\dfrac{{31}}{{162}}\)
-
B.
\(\dfrac{{35}}{{162}}\)
-
C.
\(\dfrac{{34}}{{162}}\)
-
D.
\(\dfrac{{13}}{{162}}\)
Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là \(64\pi \left( {{m^3}} \right)\). Tìm bán kính đáy \(r\) của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
-
A.
\(r = 3\left( m \right)\).
-
B.
\(r = \sqrt[3]{{16}}\left( m \right)\).
-
C.
\(r = \sqrt[3]{{32}}\left( m \right)\).
-
D.
\(r = 4\left( m \right)\).
Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \dfrac{{{x^2}}}{4} + x\). Gọi \(M = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right);\) \(m = \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right).\) Khi đó\(M-m\) bằng:
-
A.
\(1\).
-
B.
\(\dfrac{3}{5}.\)
-
C.
\(\dfrac{7}{5}.\)
-
D.
\(\dfrac{9}{5}.\)
Số điểm cực đại của hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right)\) bằng:
-
A.
\(45\)
-
B.
\(49\)
-
C.
\(44\)
-
D.
\(100\)
Lời giải và đáp án
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}\) có bao nhiêu tiệm cận?
-
A.
\(3\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(2\)
Đáp án : A
- Tìm ĐKXĐ của hàm số.
- Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\):
+ Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\).
+ Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = - \infty \)
Suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = - 1\)
Suy ra \(y = 1,\,\,y = - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên:
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng:
-
A.
\(\left( {1;\,2} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;\,\,3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Đáp án : A
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\) từ đó suy ra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y = - 2f\left( x \right).\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) và \(\left( {2;\, + \infty } \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\,\,2} \right).\)
Xét hàm số: \(y = - 2f\left( x \right)\) ta có: \(y' = - 2f'\left( x \right).\)
Hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow - 2f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\)
Vậy hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến \( \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right].\)
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Biết \(A'C\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha \) với \(\tan \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\). Thể tích khối chóp $A'.ICD$ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
Đáp án : A
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Tính độ dài đường cao \(A'I\) và diện tích đáy \(ICD\).
- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Theo bài ra ta có: $IC$ là hình chiếu vuông góc của $A'C$ trên $\left( {ABCD} \right)$
\( \Rightarrow \widehat {\left( {A'C;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'C;IC} \right)} = \widehat {A'CI} = \alpha \)
Xét tam giác vuông $IBC$ có: \(IC = \sqrt {I{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Xét tam giác vuông $A'IC$ có: \(A'I = IC.\tan \alpha = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = a\)
\({S_{\Delta ICD}} = \dfrac{1}{2}d\left( {I;CD} \right).CD = \dfrac{1}{2}a.a = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
Vậy \({V_{A'.ICD}} = \dfrac{1}{3}A'I.{S_{\Delta ICD}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Lắp ghép 2 khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
-
B.
Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
-
C.
Khối hộp là khối đa diện lồi.
-
D.
Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
Đáp án : A
Các khối tứ diện, khối hộp, khối lăng trụ tam giác đều là khối đa diện lồi.
Lắp ghép 2 khối hộp chưa chắc được một khối đa diện lồi.
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{mx + 1}}{{x - m}}\) có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {1;\;2} \right]\) bằng \( - 2\).
-
A.
\(m = - 3\).
-
B.
\(m = 2\).
-
C.
\(m = 4\).
-
D.
\(m = 3\).
Đáp án : D
- Tìm điều kiện xác định của hàm số suy ra điều kiện của \(m\) để hàm số có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {1;\;2} \right]\).
- Tính \(y'\), xét dấu \(y'\) suy ra tính đơn điệu, từ đó tìm được GTLN theo \(m\).
- Sử dụng dữ kiện GTLN bằng \( - 2\) để tìm \(m\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\)\( \Rightarrow m \notin \left[ {1;\;2} \right]\).
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \dfrac{{m + 1}}{{1 - m}}\)
Theo đề bài \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = - 2 \Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{{1 - m}} = - 2 \Leftrightarrow m + 1 = 2m - 2 \Leftrightarrow m = 3\)
Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\), trên các cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt lấy các điểm \(A',B',C'\). Khi đó:
-
A.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Đáp án : D
Nếu \(A',B',C'\) là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(SA,SB,SC\) của hình chóp tam giác \(S.ABC\). Khi đó:
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C,\)\(AB = a\sqrt 5 ,\)\(AC = a.\) Cạnh bên \(SA = 3a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}{a^3}.\)
-
B.
\(3{a^3}.\)
-
C.
\({a^3}.\)
-
D.
\(2{a^3}.\)
Đáp án : C
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Vì \(\Delta ABC\) vuông nên áp dụng pitago.
\(CB = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a.\).
Diện tích đáy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.a.2a = {a^2}\).
Thể tích khối chóp: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.{a^2}.3a = {a^3}.\)
Số giá trị $m$ nguyên để hàm số \(y = \dfrac{{mx + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là
-
A.
\(3.\)
-
B.
$2.$
-
C.
\(1.\)
-
D.
\(4.\)
Đáp án : A
- Tìm TXĐ.
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \( \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in D.\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\).
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó \( \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in D.\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2 < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).
Khối đa diện đều nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều
-
A.
Nhị thập diện đều
-
B.
Bát diện đều
-
C.
Thập nhị diện đều
-
D.
Tứ diện đều
Đáp án : C
Xem lại hình vẽ các khối đa diện đều đếm số khối đa diện có mặt bên là hình tam giác.
Bát diện đều có $8$ mặt là các tam giác đều.
Nhị thập diện đều có $20$ mặt là các tam giác đều.
Tứ diện đều có $4$ mặt là các tam giác đều.
Thập nhị diện đều có $12$ mặt là các ngũ giác đều.
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
\(a > 0\)
-
B.
\(a < 0\)
-
C.
\(a = 0\)
-
D.
\(a \le 0\)
Đáp án : B
Quan sát đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \) nên \(a < 0\).
Số cực trị của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : A
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị.
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ và $y = {x^3} + {x^2} + x + 1$ là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : B
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm .
- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ trên TXĐ.
+ Tính $h'\left( x \right)$, giải phương trình $h'\left( x \right) = 0$ tìm các nghiệm và các điểm $h'\left( x \right)$ không xác định.
+ Xét dấu $h'\left( x \right)$ và lập bảng biến thiên.
- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$.
+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $h\left( x \right)$ với trục hoành (đường thẳng $y = 0$)
Phương trình hoành độ giao điểm: $3{x^2} = {x^3} + {x^2} + x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x + 1 = 0$.
Xét hàm $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x + 1$ ta có:
$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 \hfill \\ x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{31}}{{27}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y = 0$ chỉ cắt đồ thị hàm số tại $1$ điểm duy nhất nên hai đồ thị hàm số cắt nhau tại duy nhất $1$ điểm.
Hai hình tứ diện có các cạnh bằng nhau và bằng \(a\) thì chúng:
-
A.
bằng nhau
-
B.
trùng nhau
-
C.
chung đỉnh
-
D.
chung đáy
Đáp án : A
Hai hình tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng \(a\) thì chúng bằng nhau.
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
-
A.
Hình 1
-
B.
Hình 2
-
C.
Hình 3
-
D.
Hình 4
Đáp án : C
Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là hình được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:
+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Quan sát bốn hình, có hình C có cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, vậy hình này không phải khối đa diện.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : D
Ta có: \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại.
Hay số điểm cực trị của hàm số là số lần đổi dấu của \(f'\left( x \right).\)
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu qua \(x = - 1,\,\,\,x = 0\) và \(x = 2\) nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Cho khối chóp \(S.ABC\). Trên các cạnh \(SA,SB,SC\) lấy các điểm \(A',B',C'\) sao cho \(A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC'\), khi đó tồn tại một phép vị tự biến khối chóp \(S.ABC\) thành khối chóp \(S.A'B'C'\) với tỉ số đồng dạng là:
-
A.
\(k = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(k = 2\)
-
C.
\(k = \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(k = 3\)
Đáp án : C
Ta có: \(A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC' \)
$\Rightarrow \overrightarrow {SA'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} $
Do đó phép vị tự tâm \(S\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{3}\) biến các điểm \(A,B,C\) thành \(A',B',C'\).
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là:
-
A.
$0$
-
B.
$2$
-
C.
$1$
-
D.
$3$
Đáp án : D
Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\).
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = 3\) tại 3 điểm phân biệt\( \Rightarrow f\left( x \right) = 3\) có 3 nghiệm phân biệt.
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là $\left( {0;0} \right)$.
-
B.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
C.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
D.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$
Đáp án : A
Sử dụng tính chất hàm số lẻ: Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ là tâm đối xứng.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Hình nào dưới đây bằng hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)?
-
A.
\(AA'D'.BB'C'\)
-
B.
\(ABCD.A'B'C'D'\)
-
C.
\(C'.CDAB\)
-
D.
\(B.ACC'A'\)
Đáp án : A
Ta thấy hai lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) và \(AA'D'.BB'C'\) có một phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( {AB'C'D} \right)\) nên hai lăng trụ này bằng nhau.
Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau?
-
A.
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
-
B.
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
-
C.
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\).
-
D.
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\).
Đáp án : D
Quan sát bảng biến thiên, nhận xét hệ số \(a,b,c\) và kết luận.
Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy:
Đây là dạng hàm số trùng phương có hệ số $a < 0$. Loại A và C.
Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;2} \right)\) nên loại B.
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 6 \). Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)
-
B.
\({a^3}\sqrt {6.} \)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Đáp án : C
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao.
${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3} \cdot a\sqrt 6 \cdot {a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) + 3 = 0\) là:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : A
+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m.\)
+) Dựa vào BBT để xác định số giao điểm của các đồ thị hàm số.
Ta có: \(Pt \Leftrightarrow 2f\left( x \right) = - 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{3}{2}.\;\;\left( * \right)\)
Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = - \dfrac{3}{2}.\)
Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt.
\( \Rightarrow Pt\;\;\left( * \right)\) có 4 nghiệm phân biệt.
Cho khối đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh lần lượt là \(D,M,C\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(D - C + M = 2\)
-
B.
$D + C - M = 2$
-
C.
$D + C + M = 2$
-
D.
$D - C + M = 0$
Đáp án : A
Khối đa diện lồi có \(D\) đỉnh, \(M\) mặt và \(N\) cạnh thì \(D - C + M = 2\).
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
B.
$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
-
C.
$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
D.
$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
Đáp án : D
Nếu $M = - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$ là:
-
A.
$\;1.$
-
B.
$0.$
-
C.
$2.$
-
D.
$ - 1.$
Đáp án : B
- Tính \(y'\), xét dấu \(y'\) suy ra tính đơn điệu của hàm số.
- Tìm GTLN của hàm số trên khoảng đề bài cho.
Ta có : $y' = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]$.
Suy ra hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $y( - 1) = 0$.
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
-
A.
\(\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}\)
-
B.
\(\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}\)
-
C.
\(\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}\)
-
D.
\(4c{m^3}\)
Đáp án : C
- Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), tính \(OE,SE \Rightarrow SO\).
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì chóp $S.ABCD$ đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $ABCD$ là hình vuông \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = 16 \Rightarrow AB = 4\left( {cm} \right) = AD\)
Gọi $E$ là trung điểm của AB\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của tam giác ABD\( \Rightarrow OE//AD \Rightarrow OE \bot AB\) và \(OE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.4 = 2\left( {cm} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}OE \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow AB \bot SE\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SE.AB = 8\sqrt 3 \Rightarrow SE = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{{AB}} = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OE \Rightarrow \Delta SOE\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {48 - 4} = \sqrt {44} = 2\sqrt {11} \left( {cm} \right)\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt {11} .16 = \dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)
Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (các kích thước khác nhau) là:
-
A.
\(3\)
-
B.
\(6\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(9\)
Đáp án : A
Vẽ hình hộp chữ nhật, xác định mặt phẳng đối xứng.
Hình hộp chữ nhật có \(3\) mặt phẳng đối xứng, đó là mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh đối diện.
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
A.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
B.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
-
C.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
D.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án : C
- Tính diện tích đáy $ABC$
- Tính thể tích theo công thức $V=\dfrac{1}{3}S.h$
Ta có \(SA = a,{\rm{ }}{{\rm{S}}_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Suy ra thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là:
-
A.
tiệm cận ngang
-
B.
tiệm cận đứng
-
C.
tiệm cận xiên
-
D.
trục đối xứng
Đáp án : B
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Hàm số $y = {x^3} + 2a{x^2} + 4bx - 2018,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,{\mkern 1mu} b \in R)$ đạt cực trị tại $x = - 1$ . Khi đó hiệu $a - b$ là:
-
A.
$\dfrac{4}{3}$
-
B.
$-1$
-
C.
$\dfrac{3}{4}$
-
D.
$ - \dfrac{3}{4}$ .
Đáp án : C
Hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x = {x_0}$ $ \Rightarrow f'({x_0}) = 0$ .
$y = {x^3} + 2a{x^2} + 4bx - 2018,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,{\mkern 1mu} b \in R) \Rightarrow y' = 3{x^2} + 4ax + 4b$
Hàm số trên đạt cực trị tại $x = - 1$
$ \Rightarrow 3{( - 1)^2} + 4a.( - 1) + 4b = 0 $ $\Leftrightarrow 3 - 4a + 4b = 0 \Leftrightarrow 3 - 4(a - b) = 0 $ $\Leftrightarrow a - b = \dfrac{3}{4}$
Tìm giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{mx + 5}}{{x + 1}}\) đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\)
-
A.
\(m = - 11\)
-
B.
\(m = 1\)
-
C.
\(m = 11\)
-
D.
\(m = - 1\)
Đáp án : A
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(A\left( {a;b} \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \in D\\f\left( a \right) = b\end{array} \right.\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{mx + 5}}{{x + 1}}\) đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\) nên ta có : \(f\left( 1 \right) = - 3 \Leftrightarrow \dfrac{{m + 5}}{{1 + 1}} = - 3 \Rightarrow m = - 11\)
Vậy \(m = - 11\) thì hàm số đã cho đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\).
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
-
A.
$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
-
B.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1$
-
C.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2$
-
D.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Đáp án : B
+) Tính đạo hàm y' và giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_i}.$
+) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;\;b} \right],$ ta tính các giá trị $y\left( a \right);\;y\left( {{x_i}} \right);\;\;y\left( b \right)$ và đưa ra kết luận đúng.
Ta có $y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Do $x\in \left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ nên $k=-1$ hay $x=-\dfrac{\pi }{2}$
Suy ra $y\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1;\;\;y\left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{\mathop {\max}\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]}y = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - 1}\end{array}} \right.$
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 5\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
-
B.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
-
C.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
-
D.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
Đáp án : D
Tính đạo hàm, xét dấu của y’; nếu y’ > 0 kết luận hàm số đồng biến; y’ < 0 kết luận hàm số nghịch biến.
$y = {x^3} - 3{x^2} + 5 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)$
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( {0;2} \right)$
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 5$ là điểm
-
A.
$Q\left( {3;1} \right)$
-
B.
$N\left( { - 1;7} \right)$
-
C.
$P\left( {7; - 1} \right)$
-
D.
$M\left( {1;3} \right)$
Đáp án : D
Với hàm số $y = a{x^3} + bx + c$
+ Tính y' ; giải phương trình $y' = 0$ tìm $2$ nghiệm ${x_1} < {x_2}$ (nếu có)
+ Với $a > 0$ , đồ thị hàm số có điểm cực đại $\left( {{x_1};y\left( {{x_1}} \right)} \right)$ và điểm cực tiểu $\left( {{x_2};y\left( {{x_2}} \right)} \right)$
+ Với $a < 0$ , đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $\left( {{x_1};y\left( {{x_1}} \right)} \right)$ và điểm cực đại $\left( {{x_2};y\left( {{x_2}} \right)} \right)$
Có $y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\;}} \pm 1$
Vì hệ số của ${x^3}$ là dương nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $\left( {1;3} \right)$
Cho hàm số $y = {\rm{\;}} - {x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} - 1} \right)x - 5$ . Với giá trị nào của tham số $m$ thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung?
-
A.
$m > 1$
-
B.
$m = 2$
-
C.
$ - 1 < m < 1$
-
D.
$m > 2$ hoặc $m < 1$
Đáp án : C
Hàm số đa thức bậc ba có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Ta có: $y' = {\rm{\;}} - 3{{\rm{x}}^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right)$
Hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía trục tung$ \Leftrightarrow {\rm{\;}} - 3{{\rm{x}}^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) > 0}\\{{m^2} - 1 < 0}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow {\rm{\;}} - 1 < m < 1$
Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^5} - 5{x^4} + 5{x^3} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$
-
A.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 10,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 2$
-
B.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 2,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 10$
-
C.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 10,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 2$
-
D.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 7,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 1$
Đáp án : A
Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:
- Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ và tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ của đạo hàm mà $a \leqslant {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \leqslant b$.
- Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$ và so sánh các giá trị, chọn ra GTLN, GTNN từ tập giá trị tìm được.
Ta có: $y' = 5{{\text{x}}^4} - 20{{\text{x}}^3} + 15{{\text{x}}^2} = 0 \Leftrightarrow 5{x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\x = 3 \notin \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$f( - 1) = - 10, f(0) = 1,$ $ f(1) = 2, f(2) = - 7$
Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên $\left[ { - 1;2} \right]$ lần lượt là $2$ và $ - 10$
Điểm $I\left( {2; - 3} \right)$ là tâm đối xứng của những đồ thị hàm số nào dưới đây?
(1) $y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ ; (2) $y = \dfrac{{ - 3x + 1}}{{x - 2}}$ ; (3) $y = \dfrac{{3x + 1}}{{2 - x}}$ ; (4) $y = \dfrac{{ - 6x}}{{2x + 4}}$ ; (5) $y = - \dfrac{{x + 1}}{{3x - 6}}$
-
A.
$\left( 1 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$
-
B.
$\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$
-
C.
$\left( 2 \right),\left( 3 \right)$
-
D.
$\left( 2 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right)$
Đáp án : C
Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số đã cho và đối chiếu kết quả.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad \ne bc} \right)$ là $I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)$.
Đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là $\left( { - 3;1} \right)$ nên loại.
Đồ thị hàm số (2) có tâm đối xứng là $\left( {2; - 3} \right)$ nên đúng.
Đồ thị hàm số (3) có tâm đối xứng là $\left( {2; - 3} \right)$ nên đúng.
Đồ thị hàm số (4) có tâm đối xứng là $\left( { - 2; - 3} \right)$ nên loại.
Đồ thị hàm số (5) có tâm đối xứng là $\left( {2; - \dfrac{1}{3}} \right)$ nên loại.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của$m$ để đồ thị hàm số$y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}$ có đúng hai tiệm cận đứng.
-
A.
$\left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).$
-
B.
$\left( {0; + \infty } \right)$
-
C.
$\left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right].$
-
D.
$\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right].$
Đáp án : B
- Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = {\rm{\;}} \pm \infty {\rm{\;}} \Rightarrow x = {x_0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số.
- Hàm số có TCĐ $x = {x_0}$ khi $x = {x_0}$ là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử.
(Lưu ý điều kiện xác định của hàm số)
Chọn $m = 2,$ khi đó hàm số trở thành $y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 6} }}$
Rõ ràng $1 + \sqrt {x + 1} > 0{\mkern 1mu} ,\forall x \ge - 1$
Khi đó để hàm số$y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}$ có hai tiệm cận đứng thì phương trình ${x^2} - mx - 3m = 0$ cần có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ { - 1; + \infty } \right)$ .
Gọi hai nghiệm phân biệt là \({x_1}\) và \({x_2}\).
Khi đó ta phải có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta > 0}\\{{x_1},{x_2} \ge - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( { - m} \right)}^2} - 4\left( { - 3m} \right) > 0}\\{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + 12m > 0}\\{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)}\\{3m + m + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)}\\{m \ge - \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình bên. Trong các hệ số a, b, c và d có bao nhiêu số âm?
-
A.
\(1\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : A
- Dựa vào \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y\) xác định dấu của hệ số a.
- Dựa vào số điểm cực trị suy ra dấu của hệ số b.
- Dựa vào dấu của tích hai điểm cực trị suy ra dấu của hệ số c.
- Thay \(x = 0\) vào hàm số và xác định dấu của d.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0\).
\(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Dựa vào BBT ta thấy hàm số có hai điểm cực trị \({x_1} = - 1,\,\,{x_2} = 2\) nên phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(S = {x_1} + {x_2} = 1 > 0\), \(P = {x_1}{x_2} = - 2 < 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {b^2} - 3ac > 0\\S = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0\\P = \dfrac{c}{{3a}} < 0\end{array} \right.\).
Mà \(a < 0\) nên \(b > 0\) và \(c > 0\).
Dựa vào BBT ta thấy tại điểm \(x = 0\) thì \(y > 0\), do đó \(d > 0\).
Vậy trong 4 hệ số a, b, c, d chỉ có 1 số âm.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình vẽ
Tính giá trị của \(a + 2b + c.\)
-
A.
\(0.\)
-
B.
\( - 2.\)
-
C.
\(3.\)
-
D.
\(2.\)
Đáp án : D
Dựa vào đồ thị hàm số, tìm hàm số, từ đó suy ra \(a,\,\,b,\,\,c.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: \(x = - 1 \Rightarrow c = 1.\)
Đồ thị hàm số có TCN: \(y = - 1 \Rightarrow a = - 1.\)
\( \Rightarrow y = \frac{{ - x + b}}{{x + 1}}.\)
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\,\,1} \right) \Rightarrow b = 1.\)
\( \Rightarrow a + 2b + c = - 1 + 2.1 + 1 = 2.\)
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ như hình vẽ bên.
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$2a - d = - 3$
-
B.
$a = d$
-
C.
$3a + d = 7$
-
D.
$a + d = 0$
Đáp án : C
- Quan sát bảng biến thiên, tìm các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.
- Tìm $a,d$ và thay vào kiểm tra các đáp án.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ có $\left\{ \begin{align} & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{2}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow d=1 \\ & \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{a}{2}=1\Rightarrow a=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow 3a+d=7$
Cho hàm số\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a \ne 0)\)có đồ thị (C), tiếp tuyến của (C ) có hệ số góc đạt giá trị bé nhất khi nào?
-
A.
\(a < 0\) và hoành độ tiếp điểm bằng \(\frac{b}{{3a}}.\)
-
B.
\(a < 0\) và hoành độ tiếp điểm bằng \( - \frac{b}{{3a}}.\)
-
C.
\(a > 0\) và hoành độ tiếp điểm bằng \( - \frac{b}{{3a}}.\)
-
D.
\(a > 0\) và hoành độ tiếp điểm bằng \(\frac{b}{{3a}}.\)
Đáp án : C
Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) là \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) .
Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) là \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)là 1 parabol đạt GTNN khi \(a > 0\) tại \(x = - \frac{{2b}}{{2.3a}} = \frac{{ - b}}{{3a}}\).
Cho hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.\) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
-
A.
\(2x + y + 4 = 0.\)
-
B.
\(2x + y - 4 = 0.\)
-
C.
\(2x - y - 4 = 0.\)
-
D.
\(2x - y + 4 = 0.\)
Đáp án : A
- Tính \(y',y''\) và tìm nghiệm của \(y'' = 0\) suy ra điểm uốn.
- Trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số chính là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Ta có \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'' = 6x + 6\); \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Vứi \(x = - 1\) thì \(y = - 2\). Vậy \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Mà \(M\left( { - 1; - 2} \right) \in d:2x + y + 4 = 0\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Đường thẳng \(SC\) tạo với đáy góc \({45^0}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Thể tích của khối chóp \(S.MCDN\) là:
-
A.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
-
B.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
Đáp án : D
- Chứng minh \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và tính \(SA\).
- Xác định góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy, sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Tính diện tích đáy \(MCDN\).
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên \(\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA} = {45^0}\)
(vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A \Rightarrow \widehat {SCA} < {90^o}\))
\( \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {a^2}\\{S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AM.AN = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\\{S_{BCM}} = \dfrac{1}{2}BM.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow {S_{MCDN}} = {S_{ABCD}} - {S_{AMN}} - {S_{BCM}} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{8} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\\ \Rightarrow {V_{S.MCDN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{MCDN}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 2 .\dfrac{{5{a^2}}}{8} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\end{array}\)
Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều?
-
A.
$5$
-
B.
$4$
-
C.
Vô số
-
D.
$3$
Đáp án : A
Có \(5\) khối đa diện đều: Khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối $12$ mặt đều, khối $20$ mặt đều.
Có $5$ và chỉ $5$ khối đa diện đều: Khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối $12$ mặt đều, khối $20$ mặt đều.
Cho \(x\), \(y\) là những số thực thoả mãn \({x^2} - xy + {y^2} = 1\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}\). Giá trị của \(A = M + 15m\) là
-
A.
\(A = 17 - 2\sqrt 6 \).
-
B.
\(A = 17 + \sqrt 6 \).
-
C.
\(A = 17 + 2\sqrt 6 \).
-
D.
\(A = 17 - \sqrt 6 \).
Đáp án : A
- Tìm tập giá trị của tích \(xy\) dựa vào điều kiện bài cho.
- Biến đổi \(P\) chỉ làm xuất hiện tích \(xy\) rồi đặt \(t = xy\)
- Xét hàm số \(P\left( t \right)\) và tìm \(\max ,\min \), chú ý điều kiện của \(t\) tìm được từ đầu.
Ta có
+) \(1 + xy = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 1\) vì \({\left( {x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\).
+) \({x^2} - xy + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 3xy \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - \dfrac{1}{3}\).
Khi đó \(P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2} - 2{{\left( {xy} \right)}^2} + 1}}{{xy + 2}}\).
Đặt \(t = xy,\,t \in \left[ { - \dfrac{1}{3};\,\,1} \right]\), xét hàm số \(P = \dfrac{{ - {t^2} + 2t + 2}}{{t + 2}}\)
\(P' = \dfrac{{ - {t^2} - 4t + 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\); \(P' = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt 6 \)
Mà \(P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}\); \(P\left( 1 \right) = 1\); \(P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Khi đó: \(m = P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}\); \(M = P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Vậy \(A = M + 15m = 17 - 2\sqrt 6 \).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(MB = 2MB'\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AC'\) cắt các cạnh \(DD'\), \(DC\), \(BC\) lần lượt tại \(N\), \(P\), \(Q\). Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối đa diện \(CPQMNC'\).Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\).
-
A.
\(\dfrac{{31}}{{162}}\)
-
B.
\(\dfrac{{35}}{{162}}\)
-
C.
\(\dfrac{{34}}{{162}}\)
-
D.
\(\dfrac{{13}}{{162}}\)
Đáp án : B
Gọi cạnh của hình lập phương là \(a\).
Ta có:
\(\left( \alpha \right) \bot AC'\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BD\). Trong \(\left( {BDD'B'} \right)\) kẻ \(MN\parallel BD\,\,\left( {N \in DD'} \right)\).
\(\left( \alpha \right) \bot AC' \Rightarrow \alpha \parallel B'C\). Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) kẻ \(MQ\parallel B'C\,\,\left( {Q \in BC} \right)\).
\(\left( \alpha \right) \bot AC'\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BD\). Trong \(\left( {BDD'B'} \right)\) kẻ \(MN\parallel BD\,\,\left( {N \in DD'} \right)\).
\(\left( \alpha \right) \bot AC' \Rightarrow \alpha \parallel B'C\). Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(PQ\parallel BD\,\,\left( {P \in DC} \right)\).
Khi đó \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)\).
Theo cách dựng ta có \(BQ = 2QC,\,\,DP = 2PC,\,\,DN = 2ND'\).
Gọi \(H\) là điểm thuộc \(CC'\) sao cho \(CH = 2HC'\).
Khi đó ta có: \({V_{CPQMNC'}} = {V_{C.MHN}} + {V_{CQP.MHN}}\).
Xét hình chóp \(C'.MHN\) có \(C'H = \dfrac{a}{3}\), \({S_{\Delta MHN}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\).
\( \Rightarrow {V_{C'.MHN}} = \dfrac{1}{3}C'H.{S_{\Delta MHN}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{18}} = \dfrac{V}{{18}}\).
Xét hình chóp cụt \(CQP.MHN\) có
\(\begin{array}{l}{V_{CQP.MHN}} = {V_{I.MHN}} - {V_{I.CQP}} = \dfrac{1}{3}\left( {IH.{S_{\Delta MHN}} - IC.{S_{\Delta CQP}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\left( {a.\dfrac{1}{2}{a^2} - \dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{3}} \right) = \dfrac{{13{a^3}}}{8} = \dfrac{{13V}}{{81}}\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_1} = {V_{CPQMNC'}} = {V_{C.MHN}} + {V_{CQP.MHN}} = \dfrac{V}{{18}} + \dfrac{{13V}}{{81}} = \dfrac{{35V}}{{162}}\).
Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{35}}{{162}}\)
Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là \(64\pi \left( {{m^3}} \right)\). Tìm bán kính đáy \(r\) của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
-
A.
\(r = 3\left( m \right)\).
-
B.
\(r = \sqrt[3]{{16}}\left( m \right)\).
-
C.
\(r = \sqrt[3]{{32}}\left( m \right)\).
-
D.
\(r = 4\left( m \right)\).
Đáp án : C
- Lập hàm số diện tích hình trụ theo biến \(r\).
- Tìm GTNN của hàm số và kết luận.
Gọi hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\).
Ta có: \(V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \dfrac{{64\pi }}{{\pi {r^2}}} = \dfrac{{64}}{{{r^2}}}\)
Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Ta có: \({S_{tp}} = 2{S_{day}} + {S_{xq}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + \dfrac{{128\pi }}{r}\).
Xét hàm số \(f\left( r \right) = 2\pi {r^2} + \dfrac{{128\pi }}{r}\) với \(r > 0\).
Ta có \(f'\left( r \right) = 4\pi r - \dfrac{{128\pi }}{{{r^2}}};f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{32}}\,\).
Lập bảng biến thiên ta có \(f\left( r \right)\) đạt GTNN khi \(r = \sqrt[3]{{32}}\).
Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \dfrac{{{x^2}}}{4} + x\). Gọi \(M = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right);\) \(m = \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right).\) Khi đó\(M-m\) bằng:
-
A.
\(1\).
-
B.
\(\dfrac{3}{5}.\)
-
C.
\(\dfrac{7}{5}.\)
-
D.
\(\dfrac{9}{5}.\)
Đáp án : D
- Đặt ẩn phụ \(t = {x^2} - 4x + 5\), tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left[ {0;3} \right]\).
- Khảo sát hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng giá trị của \(t\), từ đó kết luận max, min của hàm số.
Ta có :
\[\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \dfrac{{{x^2}}}{4} + x\\f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \dfrac{{{x^2} - 4x}}{4}\end{array}\]
Đặt \(t = {x^2} - 4x + 5\) với \(x \in \left[ {0;3} \right]\) ta có \(t' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]\).
Ta có : \(t\left( 0 \right) = 5;\,\,t\left( 2 \right) = 1,\,\,t\left( 3 \right) = 2\).
\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {0;3} \right]\) thì \(t \in \left[ {1;5} \right]\), khi đó hàm số trở thành \(f\left( t \right) = \dfrac{1}{t} - \dfrac{{t - 5}}{4}\) với \(t \in \left[ {1;5} \right]\).
Ta có \(f'\left( t \right) = - \dfrac{1}{{{t^2}}} - \dfrac{1}{4} < 0\,\,\forall t \in \left[ {1;5} \right]\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {1;5} \right]\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2 = M\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( 5 \right) = \dfrac{1}{5} = m\end{array} \right.\)
Vậy \(M - m = 2 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{5}\).
Số điểm cực đại của hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right)\) bằng:
-
A.
\(45\)
-
B.
\(49\)
-
C.
\(44\)
-
D.
\(100\)
Đáp án : B
Xét phương trình \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right) = 0\), phương trình có 100 nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y = f\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc 100, có 100 nghiệm, do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 99 điểm cực trị.
Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên số điểm cực tiểu nhiều hơn số điểm cực đại là 1.
Do đó hàm số có 50 điểm cực tiểu, 49 điểm cực đại.