Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {16 - {x^2}} \right)\sqrt {x - 3}  \le 0\)         (1)

ĐKXĐ: \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Đặt \(f\left( x \right) = (16 - {x^2})\sqrt {x - 3} \) . Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x \ge 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ 3 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn \(\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn \(\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Tam thức \(f(x) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m + 4\) không âm với mọi giá trị của \(x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3m + 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3m - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow m - 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le 3.\end{array}\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {4 - 3x} \right| \le 8 \Leftrightarrow  - 8 \le 4 - 3x \le 8 \Leftrightarrow  - 4 \le 3x \le 12 \Leftrightarrow  - \frac{4}{3} \le x \le 4\)

Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ { - \frac{4}{3};4} \right]\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn \(\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn \(\left[ {{x_1};\,{x_2}} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0\\f\left( 0 \right) = 8m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 4 - 32m - 4 < 0\\m \ne \frac{{ - 1}}{8}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 28m < 0\\m \ne \frac{{ - 1}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 28\\m \ne \frac{{ - 1}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 28.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu và giải bất phương trình

Lời giải chi tiết:

\(\left( {x - a} \right)\left( {ax + b} \right) \ge 0\)      

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {ax + b} \right)\) . Ta có a,b là các số thực dương \( \Rightarrow  - \frac{b}{a} < 0 < a\)

Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le  - \frac{b}{a}\\x \ge a\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tập nghiệm của phương trình là \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right] \cup \left[ {a; + \infty } \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

-  Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong khoảng \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0\) với mọi \(x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.\left( {8m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 28m < 0 \Leftrightarrow m\left( {m - 28} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28\\ \Rightarrow m \in Z \Rightarrow m = \left\{ {1;\;2;\;3;.....;\;27} \right\}.\end{array}\)

Vậy có 27 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu và giải bất phương trình hoặc giải bất phương bằng công thức:

\(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{2x - 4}}{{3 - x}} \ge 0\)      ĐKXĐ: \(x \ne 3\)   

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) . Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x < 3 \Rightarrow \) Tập nghiệm của phương trình là \(\left[ {2;3} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế, lập bảng xét dấu và giải bất phương trình

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{{3x - 9}}{{x + 1}}} \right| \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{9{x^2} - 54x + 81}}{{{x^2} + 2x + 1}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{8{x^2} - 56x + 80}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 56x + 80 \ge 0\;\;\left( {do\;\;{{\left( {x + 1} \right)}^2} > 0\;\;\forall x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 8\left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le 2\end{array} \right..\end{array}\)            

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left( { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \({x^2} + 4x - 5 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 5\end{array} \right.\)

\(\frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} + 4x - 5}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)}} \le 0\)               

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\)  Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 5; - 3} \right] \cup \left( {1;3} \right].\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải BPT bậc hai áp dụng quy tắc xet dấu: “Trong trái, ngoài cùng”.

Lời giải chi tiết:

\({x^2} + x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 3\end{array} \right..\)

Vậy tập nghiệm của BPT là \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong khoảng \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3\).

Để \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\;\;\forall m\\{m^2} - 2m - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3.\)

Vậy có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu, giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\((x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) \le 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 7x + 4} \right)\) .

Xét phương trình : \(3{x^2} + 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \frac{4}{3}\end{array} \right..\)   

Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài khoảng \(\,\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong khoảng \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình \(m{x^2} - 2mx - 1 \ge 0\) vô nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx - 1 < 0\,\,\,\forall x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' = {m^2} + m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 1 < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m < 0.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu, giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{2x + 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \ge 0\)            ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Đặt  \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\) . Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\)  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình:\(\left( {2m + 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + m + 1 > 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + m + 1 \le 0\) có nghiệm với mọi \(m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 0\\\Delta  = 9{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m + 1} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\9{m^2} + 18m + 9 - 8{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\{m^2} + 6m + 5 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\\left( {m + 1} \right)\left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\ - 5 \le m \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 \le m \le  - 1.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(\sqrt {f\left( x \right)}  \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \le {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt {{x^2} - 4x - 21}  \le x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 21 \ge 0\\x - 3 \ge 0\\{x^2} - 4x - 21 \le {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {x - 7} \right) \ge 0\\x \ge 3\\2x \le 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le  - 3\\x \ge 7\end{array} \right.\\x \ge 3\\x \le 15\end{array} \right. \Leftrightarrow 7 \le x \le 15\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của BPT là: \(S = \left[ {7;15} \right].\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

\(f\left( x \right) \ge 0\) có nghiệm với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m + 3 \ge 0\) có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)\)  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Định m để biểu thức sau luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) : \(f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 1 - m\)

+) Với \(2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2\) biểu thức có dạng :

\(f\left( x \right) =  - 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right).\) 

+) Với \(2 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\)

Để biểu thức luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {2 - m} \right)\left( {1 - m} \right) < 0\\2 - m < 0\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 2 + 3m - {m^2} < 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m + 7 < 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{7}{3}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{7}{3}\)

Vậy với \(m > \frac{7}{3}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn A.

Phương pháp giải:

Để bất phương trình dạng \(ax + b > 0\,\,\left( { < 0,\,\, \ge 0,\,\, \le 0} \right)\) có tập nghiệm là 1 tập con của \(a \ne 0\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\\ \Leftrightarrow mx + {m^2} + x > 3x + 4\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x >  - {m^2} + 4\end{array}\)

Để bất phương trình có tập nghiệm là 1 tập con của \(\mathbb{R} \Leftrightarrow m - 2 \ne 0\).

+) \(m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\).

\(Bpt \Leftrightarrow x > \dfrac{{ - {m^2} + 4}}{{m - 2}} =  - m - 2\).

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình \(\left( { - m - 2; + \infty } \right)\) (tm).

Vậy \(m > 2\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Dựa vào giả thiết \(m < 2\) xác định tập nghiệm của bất phương trình sau đó tìm phần bù.

Lời giải chi tiết:

\(mx + 6 < 2x + 3m \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x < 3m - 6\).

Do \(m < 2 \Rightarrow m - 2 < 0\). Khi đó bất phương trình \( \Leftrightarrow x > \dfrac{{3m - 6}}{{m - 2}} = \dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{{m - 2}} = 3\).

\( \Rightarrow S = \left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow \) phần bù của tập hợp \(S\) là \(\left( { - \infty ;3} \right]\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Chia các trường hợp \(m > 0,m < 0,m = 0\) để biện luận bất phương trình sau đó kết hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| x \right| < 8 \Leftrightarrow  - 8 < x < 8.\)

\(mx + 4 > 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Với \(m > 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x > \frac{{ - 4}}{m}.\)

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\) thỏa mãn \( - 8 < x < 8\) thì \(\frac{{ - 4}}{m} \le  - 8 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}.\)

Vậy \(0 < m \le \frac{1}{2}\) thỏa mãn.

Với \(m < 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x < \frac{{ - 4}}{m}.\)

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\) thỏa mãn \( - 8 < x < 8\) thì \(\frac{{ - 4}}{m} \ge 8 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{1}{2}.\)

Vậy \( - \frac{1}{2} \le m < 0\) thỏa mãn.

Với \(m = 0 \Rightarrow \) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4 > 0,\) luôn đúng với mọi \(x.\) Thỏa mãn.

Vậy tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(\left[ {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}} \right].\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối:\(\left| {f\left( x \right)} \right| \le A\,\,\,\left( {A \ge 0} \right) \Leftrightarrow  - A \le f\left( x \right) \le A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {2x - 3} \right| \le 5 \Leftrightarrow  - 5 \le 2x - 3 \le 5\)\( \Leftrightarrow  - 2 \le 2x \le 8 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 4\)

Lại có: \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng Vi-ét để tính \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Để bất phương trình \({x^2} - 2mx + 5m - 8 \le 0\) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) sao cho \(b - a = 4\)

\( \Leftrightarrow \) Phương trình  \({x^2} - 2mx + 5m - 8 = 0\)   (1)  có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = b > {x_2} = a\) sao cho  \({x_1} - {x_2} = 4\)

\(\Delta ' = {m^2} - 5m + 8 = {\left( {m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\) với mọi m

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 5m - 8\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {5m - 8} \right) = 16 \Leftrightarrow 4{m^2} - 20m + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ {1;4} \right\}.\end{array}\)

 Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng \(1 + 4 = 5\)

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3m{x^2} - mx - 2m\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 2\\f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 2 + m\left( {3{x^2} - x - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left( {3{x^2} - x - 2 + 2 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - 1} \right)} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\dfrac{{{x^2} - x + 1 - 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}} \right]\\f\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} - x - 1} \right) + m\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 2 - \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}} \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} - {x^2} - x - 1} \right) + m\left( {3x + 2 - \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}} \right)} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Điều kiện cần: \(g\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4 + m\left( {5 - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4 + 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Điều kiện đủ:

Khi \(m = 1\) ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} - x - 2\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 2\\f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - x + 1 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1\\f\left( x \right) = 2{x^2}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = 1\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Tách VT, đưa về hằng đẳng thức \(VT \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 9 - 2x - 6} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9 + 2x + 6} \right) - m + 2017\)

+) Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0\), từ điều kiện \({x^2} + 6x + 6 \le 0\) tìm điều kiện của t.

+) Cô lập m, ta được \(f\left( t \right) = m\). Lập BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {{x^2} + 8x + 14} \right) - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 9 - 2x - 6} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9 + 2x + 6} \right) - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)^2} - {\left( {2x + 6} \right)^2} - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^4} - 4{\left( {x + 3} \right)^2} - m + 2017 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 4t - m + 2017 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 2017 = m\).

Ta có: \({x^2} + 6x + 6 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 \le 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} \le 3 \Leftrightarrow t \le 3\)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 2017\,\,\left( {0 \le t \le 3} \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 2017\,\,\left( {t \le 3} \right)\) ta có BBT :

Dựa vào BBT ta có : để phương trình có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right]\) thì \(2013 \le m \le 2017\).

Vậy \(m \in \left[ {2013;2017} \right]\).

Phương pháp giải:

Nhân liên hợp với biểu thức ở VT, chuyển vế, đưa bất phương trình về dạng tích.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \( - 2 \le x \le 2\).

Với điều kiện trên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {2x + 4}  - 2\sqrt {2 - x}  \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {2x + 4}  - 2\sqrt {2 - x} } \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} } \right)}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4 - 4\left( {2 - x} \right)}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x - 4}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \left( {6x - 4} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) \ge 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có \(5\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 5 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} \le \dfrac{1}{5} \Rightarrow  - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge  - \dfrac{1}{5}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :

\(\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x}  = \sqrt 2 \sqrt {x + 2}  + 2\sqrt {2 - x}  \le \sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {2^2}} \right]\left( {x + 2 + 2 - x} \right)}  = \sqrt {6.4}  = 2\sqrt 6  < 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} > \dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\end{array}\) 

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow 6x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\).

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{2}{3};2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow P = 3a - 2b =  - 2\).

Chọn B.  

Phương pháp giải:

+) Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình.

+) Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2018;2} \right]\) \( \Rightarrow \left[ { - 2018;2} \right] \subset S\).

Lời giải chi tiết:

\({m^2}\left( {x - 2} \right) - mx + x + 5 < 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - m + 1} \right)x < 2{m^2} - 5\)

Vì \({m^2} - m + 1 = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\,\,\forall m\)

Do đó \(bpt \Leftrightarrow x < \dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}}\) \( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}}} \right)\).

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2018;2} \right]\) \( \Rightarrow \left[ { - 2018;2} \right] \subset S\).

\( \Rightarrow 2 < \dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}} \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 2 < 2{m^2} - 5 \Leftrightarrow  - 2m <  - 7 \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{2}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\left| {f\left( x \right)} \right| < g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\{f^2}\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| + \left| x \right| < 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {x^2} + 2\left| x \right|\left| {x + 1} \right| < 9 \Leftrightarrow \left| x \right|\left| {x + 1} \right| <  - {x^2} - x + 4\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - x + 4 > 0\\{x^2}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) < {x^4} + {x^2} + 16 + 2{x^3} - 8{x^2} - 8x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2} < x < \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\\ - 8{x^2} - 8x + 16 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2} < x < \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\\ - 2 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < x < 1.\end{array}\)

 Vậy bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện để bất phương trình có nghĩa sau đó bình phương hai vế để giải BPT.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 1\end{array} \right.\)

 \(\begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  \le \sqrt {{x^2} - 4x + 3}  \Leftrightarrow x - 1 \le {x^2} - 4x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 4\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 4\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu để giải BPT.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 6\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left[ {6, + \infty } \right) \cup \left\{ 1 \right\}\)      

Chọn D.

Phương pháp giải:

Chuyển vế để được bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) từ đó giải tìm \(x\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne 2\)      

\(\frac{1}{{x - 2}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 2}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - x}}{{x - 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{x - 2}} \le 0 \Leftrightarrow 2 < x \le 3\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( {2;3} \right]\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {4m + 8} \right) = {m^2} - 6m - 7\)

Bất phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4m + 8 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 7 \le 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 7} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 7\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ, giải bất phương trình và kết hợp ĐKXĐ.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x + 2 > 0 \Leftrightarrow x >  - 2\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }} \le 0 \Rightarrow 3x - 1 \le 0\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt {x + 2}  > 0\,\,\,\forall x >  - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 3x \le 1 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}.\end{array}\)  

Kết hợp  ĐKXĐ \( \Rightarrow  - 2 < x \le \frac{1}{3}\)   

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\left| {f\left( x \right)} \right| < g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\{f^2}\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {2x + 1} \right| < x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\{\left( {2x + 1} \right)^2} < {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\4{x^2} + 4x + 1 < {x^2} + 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\3{x^2} - 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x < 1\)

Vậy tập nghiệm của BPT là \(\left( { - 1;1} \right).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(2 \le \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2\,\,\,\,(1)\\\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải từng bất phương trình sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(2 \le \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2\,\,\,\,(1)\\\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Tập xác định:  \(D = R\backslash \left\{ 3 \right\}.\)

Giải (1) ta có:

\(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} - 2 \ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{2x + 1 - 2x + 6}}{{x - 3}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{7}{{x - 3}} \ge 0 \Leftrightarrow x > 3\)

Vậy tập nghiệm của (1) là \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Giải (2) ta có tập nghiệm là: \(\left( { - \infty ;3} \right) \cup \left[ {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của hệ là: \(\left[ {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Bất phương trình \(ax + b > 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \le 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{m^2}x + 1 > \left( {x + 1} \right)m \Leftrightarrow {m^2}x - mx - m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right)x - m + 1 > 0\,\,\,\left( * \right)\,\end{array}\)

Bất phương trình vô nghiệm \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 1} \right) = 0\\ - m + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\left| A \right| > B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B < 0\\\left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\{A^2} > {B^2}\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| > x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} > {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\4 - 4x > 2x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\6x < 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\ - 1 \le x < \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu, giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\((x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) \le 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 7x + 4} \right)\) .

Xét phương trình : \(3{x^2} + 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \frac{4}{3}\end{array} \right..\)   

Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| A \right| > a\,\,\,\left( {a > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A > a\\A <  - a\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left| {{x^2} - 2x + 2} \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2 > 1\\{x^2} - 2x + 2 <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 > 0\\{x^2} - 2x + 3 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} > 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 < 0\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\end{array}\)

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \ne 1.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu và đánh giá biểu thức giá trị tuyệt đối rồi giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(3x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - \frac{4}{3}.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3x + 4} \right| > 0\,\,\forall x \ne  - \frac{4}{3}\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}.{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left| {3x + 4} \right|}} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} \ge 0\)\( \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {1; + \infty } \right).\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định sau đó giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({x^2} - 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3{x^2} - 9x}}{{{x^2} - 5x + 6}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{3x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{x - 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất để tìm điều kiện và bỏ dấu giá trị tuyệt đối sau đó giải bất phương trình trong từng trường hợp.

Giải bất phương trình sau đó ta cần tìm các nghiệm nguyên của bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {{x^2} - 3} \right| + \left| {4 - {x^2}} \right| \le 3{x^2} - 12\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \({x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\x =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\end{array} \right..\)

Ta có bảng xét dấu:

TH1: Với \(\left\{ \begin{array}{l}x <  - 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - 3} \right| = {x^2} - 3\\\left| {4 - {x^2}} \right| = {x^2} - 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3 + {x^2} - 4 \le 3{x^2} - 12\\ \Leftrightarrow {x^2} \ge 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \sqrt 5 \\x \le  - \sqrt 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\end{array}\)

TH2: Với \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le x <  - \sqrt 3 \\\sqrt 3  \le x < 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - 3} \right| = {x^2} - 3\\\left| {4 - {x^2}} \right| = 4 - {x^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3 + 4 - {x^2} \le 3{x^2} - 12\\ \Leftrightarrow 3{x^2} \ge 13 \Leftrightarrow {x^2} \ge \frac{{13}}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{\sqrt {39} }}{3}\\x \le  - \frac{{\sqrt {39} }}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow x \in \emptyset .\end{array}\)

TH3: Với \( - \sqrt 3  \le x < \sqrt 3  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - 3} \right| = 3 - {x^2}\\\left| {4 - {x^2}} \right| = 4 - {x^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3 - {x^2} + 4 - {x^2} \le 3{x^2} - 12\\ \Leftrightarrow 5{x^2} \ge 19 \Leftrightarrow {x^2} \ge \frac{{19}}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{\sqrt {95} }}{5}\\x \le  - \frac{{\sqrt {95} }}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow x \in \emptyset .\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ; + \infty } \right).\)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với \(a = m = 0\) thì:

\(f\left( x \right) = 4x - 3\) , do đó không thể có \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R\)

Trường hợp 2: Với \(a = m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai nên để \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R\) điều kiện là:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{\left( {m - 2} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 3m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\4 - m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset .\end{array}\)  

Vậy không tồn tại \(m\) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = 4\\x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Từ đó ta có bảng xét dấu:

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thoả mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\)

Tức là:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left| {\frac{{2\sqrt {{\Delta'}} }}{a}} \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\\sqrt {1 - m}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

\({x^2} - \left( {4a + 3} \right)x + 3{a^2} + 9a < 0.\)

Tam thức bậc hai ở vế trái có hai nghiệm 3a và a+3 (\(a \ne \frac{3}{2}\) )

Nếu \(a > \frac{3}{2}\) thì điều kiện của đề thoả khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + 3 \le 1\\3a \ge 3\end{array} \right.\)  hệ này vô nghiệm.

Nếu \(a < \frac{3}{2}\) thì điều kiện của đề thoả khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + 3 \ge 3\\3a \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{1}{3}\) 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Chuyển vế, quy đồng, xét dấu.

Lời giải chi tiết:

Biến đổi bất phương trình về dạng:

\(\dfrac{{11{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} + 5x + 6}} - x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} + 5x + 6}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} + 5x + 6}} > 0\)

Bảng xét dấu:

Chọn A.

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của hàm số là \(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\) Giải bất phương trình \(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hàm số là \(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\)

Giải bất phương trình \(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\)

Vì \({{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0\)  nên ta có

\(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\Leftrightarrow \left| 2x-1 \right|-x-2>0\)

TH1: Nếu \(2x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}\) ta có \(\left| 2x-1 \right|-x-2>0\Leftrightarrow 2x-1-x-2>0\Leftrightarrow x-3>0\Leftrightarrow x>3\)(thỏa mãn điều kiện)

TH2: Nếu \(2x-1<0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}\) ta có \(\left| 2x-1 \right|-x-2>0\Leftrightarrow -2x+1-x-2>0\Leftrightarrow -3x-1>0\Leftrightarrow x<-\frac{1}{3}\)(thỏa mãn điều kiện) 

Kết hợp hai TH ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left( -\infty ;-\frac{1}{3} \right)\cup \left( 3;+\infty  \right)\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\left( -\infty ;-\frac{1}{3} \right)\cup \left( 3;+\infty  \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tương giao giữa hai đồ thị hàm số.

Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right) + m = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right)\) và đường thẳng \(y =  - m\).

Lời giải chi tiết:

Dùng phương pháp đồ thị:

Xét tương giao của hai đường:

\(y = \left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right)\)  và \(y =  - m\)

\(y = \left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2{\rm{           }}(x \ge 2)\\ - \left( {{x^2} - x - 2} \right){\rm{    }}(x \le 2)\end{array} \right.\)

Ta có đồ thị :

Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right)\) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 0 <  - m < \frac{9}{4} \Leftrightarrow  - \frac{9}{4} < m < 0.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ của tổng hai căn, biến đổi ra tích, đưa về giải bất phương trình cơ bản

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(0\le x\le 2-\sqrt{3}\) hoặc \(x\ge 2+\sqrt{3}\)             \(\left( * \right).\)

Nhận xét: \(x=0\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với \(x>0,\) bất phương trình đã cho tương đương với: \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}-4}\ge 3\)       \(\left( 1 \right).\)

Đặt \(t=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+\frac{1}{x}+2\) bất phương trình

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} - 6}  \ge 3 - t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t^2} - 6 \ge 0\\3 - t < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3 - t \ge 0\\{t^2} - 6 \ge {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 3\\t \ge \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge \frac{5}{2}.\)

Khi đó \(\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  \ge 2\\\sqrt x  \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \le \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\cup \left[ 4;+\,\infty  \right)\)\(\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align}  a=0 \\  4b=1 \\  c=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,P=-\,3.\)

Chọn B