Phương pháp giải:

Ba điểm  A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right).\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {2m + 1;\,\, - \frac{4}{3}} \right)\end{array} \right..\)

Ba điểm  A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right)\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right) = k\left( {2m + 1; - \frac{4}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m = k\left( {2m + 1} \right)\\2 - 2m =  - \frac{4}{3}k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{2}\\2 - m = \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{2}\left( {2m + 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 4 - 2m = 6{m^2} + 3m - 6m - 3\\ \Leftrightarrow 6{m^2} - m - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {6m - 7} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6m - 7 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{6}\\m =  - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow {m_1} + {m_2} = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}.\end{array}\)

Đáp án  D.

Phương pháp giải:

Cho các vecto \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};\,\,{b_2}} \right)\) và \(k \in \mathbb{R}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};\,\,{a_2} + {b_2}} \right)\\k\overrightarrow a  = k\left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right) = \left( {k{a_1};\,\,k{a_2}} \right)\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = x\left( {3; - 1} \right) + y\left( {5; - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = \left( {3x; - x} \right) + \left( {5y; - 4y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 3x + 5y\\ - 5 =  - x - 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow x + y =  - 3 + 2 =  - 1.\end{array}\)

Đáp án  D.

Phương pháp giải:

\(ABDC\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \)

Hai véc tơ bằng nhau khi hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \left( {x - 4;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2} \right)\)

Để \(ABDC\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\)  nên \(D\left( {5;1} \right)\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm và trực tâm của tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

* Giả sử \(A\left( {a;b} \right);\,\,B\left( {c;d} \right)\)

\(M\)  là trung điểm của \(AB\)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\\b + d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 6 - a\\d = 2 - b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {a;b} \right);\,\,B\left( {6 - a;2 - b} \right)\)

\(\begin{array}{l}*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {KA}  = \left( {a;b - 2} \right)\\\overrightarrow {KH}  = \left( {1; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KH}  = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 5;b - 2} \right)\\\overrightarrow {KH}  = \left( {1; - 2} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {BH} //\overrightarrow {KH}  \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{1} = \frac{{b - 2}}{{ - 2}} \Leftrightarrow  - 2a - b + 12 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right):\,\,\,a - 2b + 4 = 0\\\left( 2 \right):\,\,\, - 2a - b + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {4;4} \right)\\B\left( {2; - 2} \right)\end{array} \right.\)

* Giả sử \(C\left( {m;n} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( { - 3; - 4} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {m - 2;n + 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow  - 3m - 4n - 2 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CK}  = \left( { - m;2 - n} \right)\\\overrightarrow {KA}  = \left( {4;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\overrightarrow {CK} //\overrightarrow {KA}  \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{4} = \frac{{2 - n}}{2} \Leftrightarrow  - m - 4 + 2n = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 3 \right):\,\, - 3m - 4n - 2 = 0\\\left( 4 \right):\,\, - m + 2n - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 2\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 2;1} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC}  =  \pm 3\overrightarrow {BM} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {6 - 3x;\,\,4 - 2x} \right) + \left( { - 9 - 3y;\,\,3 + y} \right) = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)\\x\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {3x - 3;2x + 1} \right)\\\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\)

\(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \Leftrightarrow \exists \,\,k,\,\,l\,\,\left( {k,\,\,l \ne 0} \right)\)  sao cho \(\overrightarrow u  = k\left( {x\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow u  = l\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)}\\{ - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)}\\{ - 3x - 3y - 3 = 0}\\{ - 2x + y + 7 = 3l}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x + y = k - 1\\\left( {2k + 2} \right)x - y = 7 - k\\x + y =  - 1\\2x - y = 7 - 3l\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3k + 3} \right)x = 6\\\left( {2k + 3} \right)x = 6 - k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x = 2\\kx = k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\\\left( {k + 1} \right)x = 2\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {3;\,\,2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b  = \left( { - 3;\,\,1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u  = \left( {2 - x} \right)\overrightarrow a  + \left( {3 + y} \right)\overrightarrow b \). Tìm \(x,\,\,y\) sao cho \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) .

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {6 - 3x;\,\,4 - 2x} \right) + \left( { - 9 - 3y;\,\,3 + y} \right) = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)\\x\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {3x - 3;2x + 1} \right)\\\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\)

\(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \Leftrightarrow \exists \,\,k,\,\,l\,\,\left( {k,\,\,l \ne 0} \right)\)  sao cho \(\overrightarrow u  = k\left( {x\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow u  = l\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)}\\{ - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)}\\{ - 3x - 3y - 3 = 0}\\{ - 2x + y + 7 = 3l}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x + y = k - 1\\\left( {2k + 2} \right)x - y = 7 - k\\x + y =  - 1\\2x - y = 7 - 3l\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3k + 3} \right)x = 6\\\left( {2k + 3} \right)x = 6 - k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x = 2\\kx = k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\\\left( {k + 1} \right)x = 2\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow u  = (x;y)\) ;\(\overrightarrow {u'}  = (x';y')\)

Nếu \(xy \ne 0\) ta có \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương \(\overrightarrow u  \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là giao điểm \(AC\)  và \(BD\)  suy ra \(\overrightarrow {AI\,} \,;\,\overrightarrow {AC} \) cùng phương và \(\overrightarrow {BI\,} \,;\,\,\overrightarrow {BD} \) cùng phương

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = \left( {x\,;\,y - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2\,;\,6} \right) \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{6} \Leftrightarrow 6x - 2y =  - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {BI}  = \left( {x - 1;y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;0} \right)\, \Rightarrow y = 3\,\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 6x - 2.3 =  - 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.\)

Vậy \({\rm{I }}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}};\,3} \right)\) là điểm cần tìm.     

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow u  = (x;y)\) ;\(\overrightarrow {u'}  = (x';y')\)

Nếu \(xy \ne 0\) ta có \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương \(\overrightarrow u  \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\)

Lời giải chi tiết:

+ Với \(m = 0\): Ta có \(\overrightarrow {u\,}  = ( - 2;4)\,\,\,;\overrightarrow {v\,}  = (0;2)\)

Vì \(\,\frac{0}{{ - 2}} \ne \frac{2}{4}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {u\,} \,;\,\overrightarrow {v\,} \,\,\)không cùng phương

+ Với \(m \ne 0\): Ta có \(\overrightarrow {u\,} \,;\,\overrightarrow {v\,} \,\,\)cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{{{m^{\rm{2}}} + m - 2}}{m} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 2m \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{m = 2\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy với \(m =  - 1\) và \(m = 2\) là các giá trị cần tìm.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt \(C\left( {4 - x; - 1 - y} \right),\,\,D\left( {4 + x; - 1 + y} \right)\) vì \(I\left( {4; - 1} \right)\) là trung điểm của CD.

Lời giải chi tiết:

Do \(I\left( {4; - 1} \right)\) là trung điểm của \(CD\)  nên đặt \(C\left( {4 - a; - 1 - b} \right),\,\,D\left( {4 + a; - 1 + b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} \left( {2a;\,\,\,2b} \right)\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3 + 1\\2b = 4 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 1}\end{array}} \right..\)

Vậy \(C\left( {2; - 2} \right),\,\,D\left( {6;0} \right),\,\,O\left( {\frac{5}{2};1} \right).\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(E,\,\,F.\)

Xét xem điểm \(A,\,\,B\) có nằm cùng phía với \(d\) hay không.

TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA - MB} \right| \le AB \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right|\,\,\,Max = AB\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\)

TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\)

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(d\)  đi qua \(E,\,\,F\) là: \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{3 - 0}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) =  - y \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0.\)

Thay tọa độ điểm \(A,\,\,B\) vào biểu thức: \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 3x + y - 3\) ta được:

\(\left( {3.3 + 4 - 3} \right)\left( {3.\left( { - 2} \right) + 1 - 3} \right) = 10.\left( { - 8} \right) =  - 80 < 0\)

\( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) là:

\(x - 3 - 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 9 = 0.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(AA'.\) Khi đó \(I\) là trung điểm của\(AA'\) và tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,3} \right).\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A} = 2.0 - 3 =  - 3\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\,2} \right).\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\,\,\,\frac{{x + 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow  - x - 3 = y - 2 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\3x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\, - 3} \right).\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Xét xem điểm  có nằm cùng phía với \(d\) hay không.

TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:

+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\)

TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:

+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA' + MB \ge A'B \Leftrightarrow MA + MB \ge A'B\)

\( \Rightarrow \left( {MA + MB} \right)\,\,\,Min \Leftrightarrow MA' + MB = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

Thay tọa độ điểm \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\, - 6} \right)\) vào biểu thức \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 2x + y - 4\) ta được:

\(\left( {2.4 + 1 - 4} \right)\left( {2.1 - 6 - 4} \right) = 5.\left( { - 8} \right) =  - 40 < 0\)

\( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

Phương trình đường thẳng \(AB:\,\,\frac{{x - 4}}{{1 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6 - 1}} \Leftrightarrow 7\left( {x - 4} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 7x - 3y - 25 = 0.\)

Khi đó tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\7x - 3y - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{37}}{{13}}\\y =  - \frac{{22}}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác \(APMN\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {NM}  \Rightarrow \) tọa độ điểm \(A.\) 

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CA,\,\,AB\)

Theo tính chất đường trung tuyến \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN = AP = \frac{1}{2}AB\\MN//AB\end{array} \right. \Rightarrow APMN\) là hình bình hành (dhnb).

Gọi \(A\left( {a;\,\,b} \right).\)  Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AP}  = \left( { - a; - 5 - b} \right)\\\overrightarrow {NM}  = \left( { - 2;\,\, - 3} \right)\end{array} \right..\)

Vì \(APMN\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a =  - 2\\ - 5 - b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2; - 2} \right).\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

\(\Delta ABC\) vuông cân tại\(C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BC\\AC = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 0\\AC = BC\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(C\left( {a;\,\,b} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC}  = \left( {a - 5;\,\,b + 2} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {a + 3;\,\,\,b - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \end{array} \right..\)

Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại\(C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BC\\AC = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 0\\AC = BC\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 5} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {b + 2} \right)\left( {b - 4} \right) = 0\\\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a - 15 + {b^2} - 2b - 8 = 0\\{\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 2a - 2b - 23 = 0\\25 - 10a + 4b + 4 = 6a + 9 - 8b + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 2a - 2b - 23 = 0\\4a = 1 + 3b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{{1 + 3b}}{4}} \right)^2} + {b^2} - 2.\frac{{1 + 3b}}{4} - 2b - 23 = 0\,\,\,\left( * \right)\\4a = 1 + 3b\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 1 + 6b + 9{b^2} + 16{b^2} - 8 - 24b - 32b - 368 = 0\\ \Leftrightarrow 25{b^2} - 50b - 375 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( { - 2;\, - \,3} \right)\\C\left( {4;\,\,5} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Lại có  là điểm có hoành độ âm nên  là điểm thỏa mãn bài toán.

Chọn  B.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm \(M\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( {1 - x; - 2 - y} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  = \left( {2 - 2x; - 4 - 2y} \right)\,\,;\,\,3\overrightarrow {MB}  = \left( { - 9 - 3x;\;15 - 3y} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \left( {2 - 2x + 9 + 3x; - 4 - 2y - 15 + 3y} \right) = \left( {x + 11;\;y - 19} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 11 = 0\\y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 11\\y = 19\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 11;\;19} \right).\end{array}\) 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức : \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};\;{y_B} - {y_A}} \right),\;\;\overrightarrow a \;\left( {{a_1};\;{a_2}} \right) + \overrightarrow b \left( {{b_1};\;{b_2}} \right) = \left( {{a_1} + {b_1};\;{a_2} + {b_2}} \right).\)

 \(\overrightarrow a \;\left( {{a_1};\;{a_2}} \right) = \overrightarrow b \left( {{b_1};\;{b_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - {x_0};\;3 - {y_0}} \right);\;\;\overrightarrow {MB}  = \left( {4 - {x_0}; - {y_0}} \right);\;\;\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - {x_0}; - 5 - {y_0}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( { - 1 + {x_0};\;18 + {y_0}} \right) = \left( {0;\;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + {x_0} = 0\\18 + {y_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} =  - 18\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 18} \right).\end{array}\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {10} \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {20} \\\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {10} \end{array}\)

Chu vi tam giác ABC \( = AB + AC + BC = 2\sqrt {10}  + \sqrt {20} \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\,\,;\,\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\vec a = m\vec u + \vec v = m\left( {2;\;5} \right) + \left( { - 3;\;1} \right) = \left( {2m - 3;\;5m + 1} \right)\\ \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( {2m - 3} \right)}^2} + {{\left( {5m + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} \\\overrightarrow b  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \\\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2m - 3 + 5m + 1 = 7m - 2\end{array}\)

 Mặt khác: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} .\sqrt 2 .\cos {45^o} = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} .\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7m - 2 = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7m - 2 \ge 0\\49{m^2} - 28m + 4 = 29{m^2} - 2m + 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{2}{7}\\20{m^2} - 26m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{2}{7}\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m =  - \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

G là trọng tâm tam giác ABC.  M, N, P là trung điểm các cạnh của tam giác ABC thì G cũng là trọng tâm tam giác MNP.

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \) G cũng là trọng tâm tam giác MNP

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{ - 3 + 5 + 1}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{5 - 6 + 0}}{3} =  - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\\\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\end{array} \right..\end{array}\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  = \left( {m.\left( { - 1} \right) + n.3;\;m.2 - n.5} \right) = \left( { - m + 3n;\;2m - 5n} \right)\\m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 3n = 1\\2m - 5n = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 8\\n = 3\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3; - 2} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 1} \right) - \left( { - 3; - 2} \right) = \left( {1;\;1} \right).\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau để làm bài toán:

\(\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;1} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;\;1} \right)\)

\(m\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = m\left( { - 1;2} \right) + \left( {3; - 5} \right) = \left( {m.\left( { - 1} \right) + 3;\;m.2 - 5} \right) = \left( { - m + 3;\;2m - 5} \right)\)

Để \(m\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j  \Leftrightarrow \left( { - m + 3;\;2m - 5} \right).\left( {1;\;1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - m + 3 + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Py-ta-go và quy tắc 3 điểm.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 5.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B},\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \)

H là trung điểm của BC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4; - 2} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A (định nghĩa).

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow H\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( { - 1;\;1} \right)\)

Do \(\Delta ABC\) cân tại A (cmt) \( \Rightarrow \) AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow AH = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow i  = \left( {1;\;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;\;1} \right)\) từ đó tìm tọa độ \(\overrightarrow {OM} \) suy ra tọa độ điểm M chính là tọa độ \(\overrightarrow {OM} \)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {{x_0};\;{y_0}} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = 4\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  = 4\left( {1;\;0} \right) - 2\left( {0;\;1} \right) = \left( {4.1 - 2.0;\;4.0 - 2.1} \right) = \left( {4; - 2} \right) \Rightarrow M\left( {4; - 2} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\), tính \(2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} \)

+) Sử dụng công thức tính độ dài vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\) ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - m;0} \right);\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - m;3} \right);\,\,\overrightarrow {MC}  = \left( { - 3 - m; - 5} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - 2m + 3m - 6 - 2m; - 9 - 10} \right) = \left( { - m - 4; - 19} \right)\\ \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + {{19}^2}}  \ge \sqrt {{{19}^2}}  = 19\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m + 4 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4 \Rightarrow M\left( { - 4;0} \right)\).

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 5} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 4} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {8;1} \right)\)

Vậy \(\vec v = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AC}  + 4\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \vec v = \left( {12;6} \right)\).

Phương pháp giải:

+) Tính vectơ u.

+) Sử dụng các giả thiết để tìm x.

+) Dựa vào điều kiện \(\overrightarrow u \) là vectơ ngược chiều với \(\overrightarrow v \)  để loại đáp án.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {4 + 2x + 1; - 6 + 2} \right) = \left( {2x + 5; - 4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \\\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {25 + 64}  = \sqrt {89} ;\,\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right| \Leftrightarrow \sqrt {89}  = 2\sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \\ \Leftrightarrow 89 = 4{\left( {2x + 5} \right)^2} + 64 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = \frac{5}{2}\\2x + 5 =  - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5}}{4}\\x = \frac{{ - 15}}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Khi \(x = \frac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {\frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 5;8} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow v \,\,\left( {tm} \right)\)

Khi \(x = \frac{{ - 15}}{4} \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {\frac{{ - 5}}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( {5;8} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy \(x = \frac{{ - 5}}{4}\).

Phương pháp giải:

G là trọng tâm tam giác MNP thì G là trọng tâm giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm tam giác MNP, ta dễ dàng chứng minh được G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: \(G\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm D để \(\overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(CD = 2AB \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 - {x_D} = 2\left( { - 1 - 1} \right)\\1 - {y_D} = 2\left( {2 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_D} =  - 4\\1 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4\\{y_D} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4; - 1} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

Để ABDC là hình chữ nhật cần thêm điều kiện \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 6} \right);\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1; - 7} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 3.2 + 1.\left( { - 6} \right) = 0 \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A.

Để ABDC là hình bình hành

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \left( {3;1} \right) = \left( {{x_D} - 4;{y_D} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 4 = 3\\{y_D} + 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 7\\{y_D} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {7; - 3} \right)\end{array}\)

Hơn nữa \(\widehat {BAC} = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) nên ABDC là hình chữ nhật.

Vậy \(D\left( {7; - 3} \right)\).

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm \( \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Rightarrow M\left( {7;8} \right)\) (M là trung điểm AC).

\(AC = 2AB \Rightarrow AM = AB\).

Giả sử \(M\left( {a;b} \right).\,\,A{M^2} = A{B^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2}\\ \Rightarrow a = 8 - 2b\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {7 - a;8 - b} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - a;4 - b} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = 0 \Leftrightarrow \left( {7 - a} \right)\left( {1 - a} \right) + \left( {8 - b} \right)\left( {4 - b} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( { - 2;5} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right)\\A\left( {10; - 1} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

M là trung điểm của AC \( \Rightarrow C\left( {4;17} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(H\left( {a;b} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 8} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Rightarrow 2a + b - 10 = 0\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 2;b + 1} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 5} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow a - b + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ (1); (2) \( \Rightarrow H\left( {3;4} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xét vị trí trương đối của A, B so với trục hoành.

Tìm A' là điểm đối xứng với A qua trục hoành. Sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(A,\,B\)  cùng phía với trục hoành.

Gọi \(A'\)  là điểm đối xứng với \(A\)  qua trục hoành.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'\left( {1; - 2} \right)\\PA = PA'\end{array} \right..\)

Ta có \(PA + PB = PA' + PB \ge A'B\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'P} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'B} \)

Suy ra \(\frac{{{x_P} - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{0 + 2}}{{4 + 2}} \Rightarrow {x_P} = \frac{5}{3} \Rightarrow P\left( {\frac{5}{3};0} \right)\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \left( {x - 2;y - 5} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 4} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {AE}  = 3\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3.\left( { - 1} \right) - 2.1\\y - 5 = 3.\left( { - 4} \right) - 2.\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 3; - 3} \right).\)

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\vec u = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \vec u = 2\vec i - 3\vec j\\\overrightarrow u  = \left( {0; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  =  - \overrightarrow j \\\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  =  - \overrightarrow i  + 8\overrightarrow j \\\overrightarrow u  = \left( {0;\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = 0\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow u  = \left( {2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = 2\overrightarrow i \\\overrightarrow u  = \left( {\pi ; - \sin {{10}^0}} \right) = \pi \overrightarrow i  - \sin {10^0}\overrightarrow j \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c = \left( {4;\,2} \right) - \left( {9;12} \right) + \left( {7;2} \right) = \left( {2; - 8} \right)\\b)\,\,\overrightarrow v  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow v  =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c \\ \Leftrightarrow \overrightarrow v  =  - \left( {2;\,\,1} \right) + \left( {3;\,\,4} \right) - \left( {7;\,\,2} \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow v  = \left( { - 2 + 3 - 7;\,\, - 1 + 4 - 2} \right) = \left( { - 6;\,\,1} \right)\\c)\,\,\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  = k\left( {2;\,\,1} \right) + m\left( {3;\,\,4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {7;\,\,2} \right) = \left( {2k + 3m;\,\,k + 4m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k + 3m = 7\\k + 4m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{22}}{5}\\m =  - \frac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow c  = \frac{{22}}{5}\overrightarrow a  - \frac{3}{5}\overrightarrow b .\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(PANM\)  là hình bình hành nên: \(\overrightarrow {PA}  = \overrightarrow {MN} \)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 1}\\{{y_A} + 4 = 2}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 1}\\{{y_A} =  - 2}\end{array}} \right.\)

Tương tự ta tính được : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} =  - 1}\\{{y_B} =  - 6}\end{array}} \right.;\,\,\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C} = 3}\\{{y_C} = 8}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ các đỉnh của \(\Delta ABC\) là: \(A\left( {1; - 2} \right),\,\,B\left( { - 1; - 6} \right),\,\,C\left( {3;\,\,8} \right).\)